Fixpunkte und Fixgeraden

Allgemein

Ist $f$ eine Abbildung und gilt für einen Wert $x$, dass $f(x) = x$, dann handelt es sich bei $x$ um einen Fixpunkt.

Falls die Abbildung nun mithilfe einer Matrix $M =\begin{pmatrix}m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{pmatrix}$ dargestellt wird und geprüft werden soll, ob ein Punkt $A = (x|y)$ ein Fixpunkt bezüglich dieser Abbildungsmatrix ist, so rechnet man Folgendes nach:

Man prüft nach, ob $x = x'\,$ bzw. $\,y = y'$. Wenn dies zutrifft, handelt es sich bei $A$ um einen Fixpunkt.

Typische Abbildungen mit Fixpunkten oder Fixgeraden

• bei Drehungen um 360° oder ganzzahligen Vielfachen von 180° werden alle Punkte und Geraden auf sich selbst abgebildet:

• Spiegelungen an einer Ursprungsgeraden bilden die Punkte, die auf der Spiegelachse liegen, auf sich selbst ab, da der Abstand zur Ursprungsgerade bei $\,0\,$ bleibt:

• Zentrische Streckung um den Faktor $k=1$ bildet alle Punkte wieder auf sich selbst ab

• Parallelverschiebungen um den Vektor $v=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ bilden alle Geraden und Punkte auf sich selbst ab

• Bei Drehungen wird das Drehzentrum immer auf sich selbst abgebildet

• Bei Spiegelungen an Ursprungsgeraden wird der Ursprung stets auf sich selbst abgebildet

Beispiel

Gegeben ist die Matrix $M =\begin{pmatrix}0{,}5 & -1 \\ -1 & -0{,}5 \end{pmatrix}$ und der Punkt $P(2|-3)$. Du sollst nun bestimmen, ob $P$ ein Fixpunkt dieser Abbildung $M$ ist oder nicht. Wende dafür die obige Formel an,

Damit sieht man, dass $P$ kein Fixpunkt der Abbildung $M$ ist.

Aufgaben