Fixpunkte und Fixgeraden

Ein Punkt, der bei einer Abbildung genau auf sich selbst abgebildet wird, heißt Fixpunkt dieser Abbildung. Wenn sogar eine Gerade auf sich selbst abgebildet wird, so spricht man von einer Fixgerade dieser Abbildung.

Allgemein

Ist $f$ eine Abbildung und gilt für einen Wert $x$ , dass $f (x) = x$ , dann handelt es sich bei $x$ um einen Fixpunkt.

Falls die Abbildung nun mithilfe einer Matrix $M =\begin{pmatrix}m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{pmatrix}$ dargestellt wird und geprüft werden soll, ob ein Punkt $A = (x ∣ y)$ ein Fixpunkt bezüglich dieser Abbildungsmatrix ist, so rechnet man Folgendes nach:

\displaystyle \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} m_{11}x + m_{12}y \\m_{21}x + m_{22}y \end{pmatrix}

Man prüft nach, ob $x = x^{'}$ bzw. $y = y^{'}$ . Wenn dies zutrifft, handelt es sich bei $A$ um einen Fixpunkt.

Typische Abbildungen mit Fixpunkten oder Fixgeraden

bei Drehungen um 360° oder ganzzahligen Vielfachen von 180° werden alle Punkte und Geraden auf sich selbst abgebildet:
Spiegelungen an einer Ursprungsgeraden bilden die Punkte, die auf der Spiegelachse liegen, auf sich selbst ab, da der Abstand zur Ursprungsgerade bei $0$ bleibt:
Zentrische Streckung um den Faktor $k = 1$ bildet alle Punkte wieder auf sich selbst ab
Parallelverschiebungen um den Vektor $v=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ bilden alle Geraden und Punkte auf sich selbst ab
Bei Drehungen wird das Drehzentrum immer auf sich selbst abgebildet
Bei Spiegelungen an Ursprungsgeraden wird der Ursprung stets auf sich selbst abgebildet

Beispiel

Gegeben ist die Matrix $M =\begin{pmatrix}0{,}5 & -1 \\ -1 & -0{,}5 \end{pmatrix}$ und der Punkt $P (2 ∣ - 3)$ . Du sollst nun bestimmen, ob $P$ ein Fixpunkt dieser Abbildung $M$ ist oder nicht. Wende dafür die obige Formel an,

$\displaystyle \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
	↓	Werte einsetzen
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0{,}5 & -1 \\ -1 & -0{,}5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$
	↓	Matrix-Vektor-Multiplikation
$\displaystyle x'$	$=$	$\displaystyle 0{,}5 \cdot 2 + (-1) \cdot (-3) = 4$
$\displaystyle y'$	$=$	$\displaystyle -1 \cdot 2 + (-0{,}5) \cdot (-3) =-0{,}5$
	↓	Koordinaten von $P$ vergleichen

$x'\neq x$ und $y'\neq y$

Damit sieht man, dass $P$ kein Fixpunkt der Abbildung $M$ ist.

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