Lineare Gleichungssysteme

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Löse das lineare Gleichungssystem. Notiere deinen Lösungsweg.
$I 3 x - 2 y = 29$
$II 6 x + 3 y = 9$
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Additionsverfahren
Das Additionsverfahren wendest du am besten an, wenn in beiden Gleichungen der gleiche Ausdruck vorkommt (z.B. beides mal 3x).
Du kannst es auch anwenden, wenn sich eine Gleichung so umformen lässt, dass in beiden Gleichungen der gleiche Ausdruck vorkommt (in diesem Beispiel: $2 \cdot 3 x = 6 x$ ).
Schritt 1: $2 \cdot I$ , damit in beiden Gleichungen $6 x$ vorkommt.
$\begin{array}{llrl} 2 \cdot (3 x & - & 2 y & = & 29) \\ (I^{'}) & 6 x & - & 4 y & = & 58 \end{array}$
Schritt 2: $I - I I$ , weil dadurch die Variable x wegfällt:
$\begin{array}{llrl} (I^{'}) & 6 x & - & 4 y & = & 58 \\ - & (I I) & 6 x & + & 3 y & = & 9 \\ - & 7 y & = & 49 \end{array}$
Schritt 3: nach $y$ auflösen:
$\begin{array}{rcccc} - & 7 y & = & 49 & | : (- 7) \\ y & = & - 7 \end{array}$
Schritt 4: $y = - 7$ in $I$ oder $I I$ einsetzen und nach $x$ auflösen (Hinweis: in welche Gleichung du y einsetzt, ist egal. Hier wurde Gleichung $I$ gewählt.):
$\begin{array}{llrl} (I) & 3 x & - & 2 & \cdot & (- 7) & = & 29 \\ 3 x & + & 14 & = & 29 & | - & 14 \\ 3 x & = & 15 & | : 3 \\ x & = & 5 \end{array}$
Lösung: $x = 5$ und $y = - 7$
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Löse das lineare Gleichungssystem. Notiere deinen Lösungsweg.
$I 3 x = 4 y - 30$
$II y + 2 = 3 x + 14$

Gleichsetzungsverfahren
Das Gleichsetzungsverfahren wendest du am besten an, wenn du beide Gleichungen leicht nach dem gleichen Term auflösen kannst. Hier ist Gleichung $I$ bereits nach $3 x$ aufgelöst und Gleichung $I I$ kannst du leicht nach $3 x$ auflösen.
Schritt 1: $I I$ nach $3 x$ auflösen:
$\begin{array}{llrl} (I I) & y & + & 2 & = & 3 x & + & 14 & | - 14 \\ (I I^{'}) & y & - & 12 & = & 3 x \\ (I I^{'}) & 3 x & = & y & - & 12 \end{array}$
Schritt 2: $(I)$ und $(I I)$ gleichsetzen (Weil beide Gleichungen nach 3x aufgelöst sind, können die rechten Seiten gleichgesetzt werden):
$\begin{array}{llrl} 4 y & - & 30 & = & y & - & 12 & | + 30 \\ 4 y & = & y & + & 18 & | - y \\ 3 y & = & 18 & | : 3 \\ y & = & 6 \end{array}$
Schritt 3: $y = 6$ in $(I)$ oder $(I I)$ einsetzen und nach $x$ auflösen (Hinweis: in welche Gleichung du y einsetzt ist egal, hier wurde Gleichung I gewählt):
$\begin{array}{llrl} (I) & 3 x & = & 4 & \cdot & 6 & - & 30 \\ 3 x & = & 24 & - & 30 \\ 3 x & = & - 6 & | : 3 \\ x & = & - 2 \end{array}$
Lösung: $x = - 2$ und $y = 6$
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Löse das lineare Gleichungssystem. Notiere deinen Lösungsweg.
$\begin{array}{llrl} (I) & 5 y & = & - 2 x & + & 10 \\ (I I) & - 3 x & = & 6 y & - & 9 \end{array}$

Einsetzungsverfahren
Das Einsetzungsverfahren wendest du am besten an, wenn sich eine Gleichung leicht nach einer Variablen auflösen lässt. Hier lässt sich Gleichung $I I$ leicht nach $x$ auflösen.
Schritt 1: $(I I)$ nach $x$ auflösen:
$\begin{array}{llrl} (I I) & - 3 x & = & 6 y & - & 9 & | : (- 3) \\ (I I^{'}) & x & = & - 2 y & + & 3 \end{array}$
Schritt 2: $x$ in $(I)$ einsetzen:
$\begin{array}{llrl} (I) & 5 y & = & - 2 & \cdot & (- 2 y & + & 3) & + & 10 \\ 5 y & = & 4 y & - & 6 & + & 10 \\ 5 y & = & 4 y & + & 4 & | - 4 y \\ y & = & 4 \end{array}$
Schritt 3: $y$ in $(I I^{'})$ einsetzen, weil $(I I^{'})$ schon nach $x$ aufgelöst ist:
$\begin{array}{llrl} (I I^{'}) & x & = & - 2 & \cdot & 4 & + & 3 \\ x & = & - 8 & + & 3 \\ x & = & - 5 \end{array}$
Lösung: $x = - 5$ und $y = 4$

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