Aufgaben im Sandkasten - lernen mit Serlo!

Der Funktionsgraph von $f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 3 x$ wird in der Stelle $x_{0} = 2$ von einer Tangente berührt. Bestimme die Gleichung dieser Tangente.

Bestimmte den Funktionsterm $f_{t} (x)$ der Tangente.

Parallel zu dieser Tangente verläuft einer weitere Gerade, welche die Funktion an der Stelle $x_{0} = - 2$ schneidet. Bestimme deren Funktionsterm.
- Eine parallele Gerade besitzt die gleiche Steigung.
- Eine parallele Gerade besitzt den gleichen y-Achsenabschnitt.
Die neue Gerade kann beschrieben werden durch:
$g (x) = - 13 x + b$
Der y-Achsenabschnitt wird berechnet durch das Einsetzen von $P$ :
$- 14$ $=$ $- 13 \cdot (- 2) + b$ $- 26$
$- 40$ $=$ $b$
Damit ist $g (x) = - 13 x - 40$ .
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Die Steigung der neuen Gerade kann direkt angegeben werden, es fehlt noch der y-Achsenabschnitt $b$ . Setze den Punkt $P (- 2, - 14)$ in die neue Geradengleichung ein.

Schritt	Lösung
$f (x_{0})$ berechnen	$f (2) = - \frac{1}{2} \cdot 2^{4} + 3 \cdot 2 = - 2$
$f^{'} (x)$ bestimmen	$f^{'} (x) = - 2 x^{3} + 3$
$f^{'} (x_{0})$ berechnen	$f^{'} (2) = - 2 \cdot 2^{3} + 3 = - 13$
$f (x_{0}), f^{'} (x_{0}), x_{0}$ in Formel einsetzen	$f_{t} (x) = - 13 (x - 2) + (- 2)$
Funktionsterm vereinfachen	$f_{t} (x) = - 13 x + 26 - 2 = - 13 x + 24$

Welchen Funktionsterm besitzt eine Normale, die den Funktionsgraph von $f (x)$ in $x_{0} = 1$ schneidet?

Schritt	Lösung
$f (x_{0})$ berechnen	$f (3) = - \frac{1}{2} \cdot 1^{4} + 3 \cdot 1 = 2,5$
$f^{'} (x)$ bestimmen	$f^{'} (x) = - 2 x^{3} + 3$
$f^{'} (x_{0})$ berechnen	$f^{'} (1) = - 2 \cdot 1^{3} + 3 = 1$
$f (x_{0}), f^{'} (x_{0}), x_{0}$ in Formel einsetzen	$f_{n} (x) = - 1 (x - 1) + 2,5$
Funktionsterm vereinfachen	$f_{n} (x) = - 1 x + 1 + 2,5 = - x + 3,5$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$- 14$	$=$	$- 13 \cdot (- 2) + b$	$- 26$
$- 40$	$=$	$b$

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