$4x^2$

${4x}^2$

$4x^2$

Abbildung 1 in der Anlage zeigt den Graphen der in $ℝ$ definierten Funktion f mit

$f(x)=(2-x)e^x$ .

a) Geben Sie die Nullstelle von f sowie das Verhalten von f für x → −∞ und für

x → +∞ an.

b) Berechnen Sie die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von f.

c) Begründen Sie mithilfe geeigneter Eintragungen in Abbildung 1 geometrisch, dass

der Wert des Terms ${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot e\cdot 4$ ein Näherungswert für das Integral $${\displaystyle {\int }_{-3}^{1}f(x)dx}$$ ist.

d) Die in IR definierte Funktion F mit $F(x)=(3-x)e^x$ ist eine Stammfunktion von f.

Berechnen Sie den exakten Wert des Integrals $${\displaystyle {\int }_{-3}^{1}f(x)dx}$$ sowie die prozentuale Abweichung des Näherungswerts ${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot e\cdot 4$ vom exakten Wert.

Für die Nullstelle setzen wir f(x) = 0:

(2 - x)e^x = 0

Da e^x immer größer als 0 ist, muss (2 - x) = 0 sein.

Daraus folgt x = 2.

Die Nullstelle ist also bei x = 2.

Verhalten für x → -∞:

lim (x→-∞) (2 - x)e^x

Dies ist ein unbestimmter Ausdruck der Form ∞ * 0. Wir können ihn umschreiben als:

lim (x→-∞) (2 - x) / e^(-x)

Nun ist dies ein unbestimmter Ausdruck der Form ∞ / ∞, wir können die Regel von L'Hôpital anwenden:

lim (x→-∞) (-1) / (-e^(-x)) = lim (x→-∞) 1 / e^(-x) = 0.

Also, f(x) → 0 für x → -∞.

Verhalten für x → +∞:

lim (x→+∞) (2 - x)e^x

Hier geht (2 - x) gegen -∞ und e^x geht gegen +∞.

Daher ist das Produkt negativ unendlich.

Also, f(x) → -∞ für x → +∞.

Um den Hochpunkt zu finden, berechnen wir die erste Ableitung von f(x) und setzen sie gleich Null.

f(x) = (2 - x)e^x

Wir verwenden die Produktregel: (uv)' = u'v + uv'

u = 2 - x => u' = -1

v = e^x => v' = e^x

f'(x) = (-1)e^x + (2 - x)e^x

f'(x) = e^x (-1 + 2 - x)

f'(x) = e^x (1 - x)

Setze f'(x) = 0, um die kritischen Punkte zu finden:

e^x (1 - x) = 0

Da e^x > 0, muss (1 - x) = 0 sein.

Daraus folgt x = 1.

Um zu überprüfen, ob es sich um einen Hochpunkt handelt, verwenden wir die zweite Ableitung.

f'(x) = e^x - xe^x

f''(x) = e^x - (1e^x + xe^x)

f''(x) = e^x - e^x - xe^x

f''(x) = -xe^x

Setze x = 1 in f''(x) ein:

f''(1) = -1 * e^1 = -e

Da f''(1) < 0, liegt bei x = 1 ein Hochpunkt vor.

Berechne die y-Koordinate des Hochpunkts, indem du x = 1 in f(x) einsetzt:

f(1) = (2 - 1)e^1 = 1 * e = e.

Die Koordinaten des Hochpunkts sind (1, e).

Um den Wert des Integrals ∫−31f(x)dx zu approximieren, betrachten wir die Fläche unter der Kurve im Intervall [-3, 1]. Die Abbildung 1 (die hier nicht gegeben ist, aber wir können uns vorstellen, dass sie eine Skizze des Graphen von f(x) zeigt) würde zeigen, dass die Funktion im Intervall [-3, 1] positiv ist. Der Term 1/2 * e * 4 kann als Fläche eines Rechtecks interpretiert werden, wenn wir einige Annahmen treffen. Wenn wir annehmen, dass die Abbildung 1 ein Rechteck zeigt, dessen Höhe durch den maximalen Wert der Funktion im Intervall (oder einen repräsentativen Wert) und dessen Breite durch die Länge des Intervalls gegeben ist, könnten wir eine Annäherung erhalten.

Der Wert des Hochpunkts ist e bei x=1. Wenn wir ein Rechteck mit der Höhe e und der Breite (1 - (-3)) = 4 betrachten würden, wäre die Fläche 4e.

Der gegebene Näherungswert ist 1/2 * e * 4 = 2e. Dies deutet darauf hin, dass die Abbildung 1 möglicherweise ein Dreieck oder eine andere geometrische Form zeigt, die mit der Fläche unter der Kurve in Beziehung gesetzt wird. Wenn wir uns vorstellen, dass die Fläche durch ein Dreieck mit der Basis 4 und der Höhe e angenähert wird, wäre die Fläche 1/2 * Basis * Höhe = 1/2 * 4 * e = 2e. Dies passt zum gegebenen Näherungswert. Geometrisch könnte dies bedeuten, dass die Fläche unter der Kurve im Intervall [-3, 1] durch ein Dreieck mit der Basis 4 und der Höhe des Funktionswertes am rechten Rand des Intervalls (oder einem anderen repräsentativen Wert) angenähert wird. Da der Hochpunkt bei x=1 liegt und der Wert e ist, und das Intervall von -3 bis 1 geht (Breite 4), könnte die Fläche als Dreieck mit Höhe e und Basis 4 angenähert werden, was zu 1/2 * 4 * e = 2e führt.

Berechne den exakten Wert des Integrals ∫−31f(x)dx mit der gegebenen Stammfunktion F(x) = (3 - x)e^x.

Das bestimmte Integral ist F(1) - F(-3).

F(1) = (3 - 1)e^1 = 2e.

F(-3) = (3 - (-3))e^(-3) = (3 + 3)e^(-3) = 6e^(-3) = 6/e^3.

Berechne den exakten Wert des Integrals:

∫−31f(x)dx = F(1) - F(-3) = 2e - 6e^(-3) = 2e - 6/e^3.

Berechne den Näherungswert:

1/2 * e * 4 = 2e.

Berechne die prozentuale Abweichung.

Abweichung = |Exakter Wert - Näherungswert|

Abweichung = |(2e - 6e^(-3)) - 2e| = |-6e^(-3)| = 6e^(-3).

Prozentuale Abweichung = (Abweichung / |Exakter Wert|) * 100%

Prozentuale Abweichung = (6e^(-3) / |2e - 6e^(-3)|) * 100%

Da 2e viel größer ist als 6e^(-3) (da e^3 sehr groß ist), können wir den exakten Wert näherungsweise als 2e betrachten, um die prozentuale Abweichung zu vereinfachen, oder wir verwenden den exakten Wert im Nenner.

Verwenden wir den exakten Wert im Nenner:

Prozentuale Abweichung = (6e^(-3) / (2e - 6e^(-3))) * 100%

Um dies zu vereinfachen, können wir e^(-3) ausklammern:

Prozentuale Abweichung = (6e^(-3) / (e^(-3) * (2e^4 - 6))) * 100%

Prozentuale Abweichung = (6 / (2e^4 - 6)) * 100%

Prozentuale Abweichung = (3 / (e^4 - 3)) * 100%

Numerische Berechnung:

e ≈ 2.71828

e^4 ≈ 54.598

e^4 - 3 ≈ 51.598

Prozentuale Abweichung ≈ (3 / 51.598) * 100% ≈ 0.05814 * 100% ≈ 5.814%

Wenn wir den Näherungswert 2e als Referenz für die prozentuale Abweichung verwenden (was oft bei Näherungen üblich ist, wenn die Abweichung klein ist):

Prozentuale Abweichung = (6e^(-3) / 2e) * 100%

Prozentuale Abweichung = (3e^(-4)) * 100%

Numerische Berechnung:

e^(-4) ≈ 0.0183156

Prozentuale Abweichung ≈

Aufgabe I 1.2

Auf einer Internetseite wird an einem bestimmten Tag um 12:00 Uhr ein Beitrag veröffentlicht.

Die Anzahl der für diesen Beitrag abgegebenen Likes wird mithilfe der in ${ℝ}_0^{+}$

definierten Funktion a beschrieben, deren Graph in der Abbildung dargestellt ist. Dabei

bezeichnet x die seit 12:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $a(x)$ die Anzahl der seit

12:00 Uhr abgegebenen Likes.

a) Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von a im Sachzusammenhang.

b) Bestimmen Sie die Anzahl der von 14:00 Uhr bis 16:00 Uhr durchschnittlich pro

Stunde abgegebenen Likes.

c) Betrachtet wird die Gleichung $a(x+3)=a(x)+1000$, die im Bereich $x>0$ genau

eine Lösung hat. Ermitteln Sie die Lösung der Gleichung grafisch in der Abbildung.

Interpretieren Sie die Gleichung im Sachzusammenhang.

Antwort

a) Der Beitrag erhält anfangs viele Likes, die Rate der Likes nimmt jedoch mit der Zeit ab, bis sich die Gesamtzahl der Likes stabilisiert.

b) 500 Likes pro Stunde

c)$x\approx 2.5$

. Nach 12:00 Uhr steigt die Anzahl der Likes in jedem 3-Stunden-Zeitraum um 1000.

Erklärung

Beschreibung:

Der Graph zeigt die Anzahl der Likes (y-Achse) für einen Internetbeitrag über die Zeit (x-Achse) in Stunden seit 12:00 Uhr.

Der Graph beginnt bei (0,0) und steigt zunächst steil an, bevor die Steigung abnimmt und sich asymptotisch einem Wert von etwa 2500 Likes nähert.

Erklärung:

a)

Der Graph beginnt bei Null Likes zur Veröffentlichungszeit (x=0).

Die Anzahl der Likes steigt in den ersten Stunden schnell an, was auf eine hohe anfängliche Popularität des Beitrags hinweist.

Mit zunehmender Zeit verlangsamt sich die Zunahme der Likes, was bedeutet, dass der Beitrag weniger neue Aufmerksamkeit erhält, aber weiterhin Likes sammelt, bis sich die Anzahl stabilisiert.

b)

Bestimme die Anzahl der Likes um 14:00 Uhr (x=2) und um 16:00 Uhr (x=4) aus dem Graphen. Aus dem Graphen abgelesen: a(2) ≈ 1000 Likes und a(4) ≈ 2000 Likes.

Berechne die Differenz der Likes: a(4) - a(2) = 2000 - 1000 = 1000 Likes.

Teile die Differenz durch die vergangene Zeit (4 - 2 = 2 Stunden), um die durchschnittliche Anzahl der Likes pro Stunde zu erhalten: 1000 Likes / 2 Stunden = 500 Likes/Stunde.

c)

Die Gleichung a(x+3) = a(x) + 1000

bedeutet, dass die Zunahme der Likes über einen Zeitraum von 3 Stunden konstant 1000 beträgt. Grafisch suchen wir einen Punkt x, an dem der Wert des Graphen bei x+3

genau 1000 höher ist als der Wert bei x.

Verschiebe den Graphen um 3 Einheiten nach links und um 1000 Einheiten nach oben. Die Schnittpunkte der beiden Graphen repräsentieren die Lösungen. Alternativ kann man den Abstand zwischen den Graphen a(x+3) und a(x)

betrachten.

Durch visuelle Inspektion des Graphen und durch Ausprobieren von Werten für x

(z.B. x=1)

: a(4) - a(1) \approx 2000 - 250 = 1750

; x=2

: a(5) - a(2) \approx 2300 - 1000 = 1300

; x=3

: a(6) - a(3) \approx 2500 - 1700 = 800). Wir suchen einen Wert, bei dem die Differenz 1000 ist. Der Wert x \approx 2.5 scheint eine gute Annäherung zu sein, da a(5.5) - a(2.5) \approx 2400 - 1400 = 1000

Interpretation: Die Gleichung besagt, dass in jedem 3-Stunden-Intervall, das nach 12:00 Uhr beginnt (für x>0), die Anzahl der Likes um 1000 steigt. Die gefundene Lösung x \approx 2.5

bedeutet, dass das 3-Stunden-Intervall von 14:30 Uhr bis 17:30 Uhr eine Zunahme von 1000 Likes aufweist.

ISBN: 978-3-7430-0132-9

Buch Seite 77: Aufg. 3: Zeigen Sie, dass gilt:$${\displaystyle {\int }_1^4(\ln (x)\cdot \sqrt{x})dx={\displaystyle \frac{32}{2}}\ln (2)-{\displaystyle \frac{28}{9}}}$$

Richtig: $${\displaystyle {\int }_1^4(\ln (x)\cdot \sqrt{x})dx={\displaystyle \frac{32}{3}}\ln (2)-{\displaystyle \frac{28}{9}}}$$ $\Rightarrow {\displaystyle \frac{32}{3}}$ statt ${\displaystyle \frac{32}{2}}$

Buch Seite 79: Monotonieverhalten

Wegen des negativen Vorzeichens im $\cancel{\text{Nenner}}$ Zähler ist damit.....

Buch Seite 79: Steigung der Tangente $(f^{-1}{)}^{\prime }(\mathrm{2,5})=....=2^2\cdot {\displaystyle \frac{4}{-20}}$ , hier fehlt die 2 in der Potenz.

Buch Seite 83: Mitte: Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Frage $\cancel{\text{noch}}$ nach Oberdorf und....

Buch Seite 86: Volumen der Lehmhütte: $V=.....=\pi \cdot (-{\displaystyle \frac{216}{12}}-18+{\displaystyle \frac{512}{12}})\cancel{0}=\pi \cdot {\displaystyle \frac{20}{3}}$, statt der $0$ muss $=$ stehen.

Buch Seite 90: Weiterhin gilt dann: ${\displaystyle \frac{dz}{dt}}=(-\mathrm{0,03}\cdot e^{\mathrm{0,5}t}+\mathrm{0,5})\cdot z$, hier muss am Ende noch das $z$ stehen. Erst in der nächsten Zeile verschwindet es.

Buch Seite 99: Hier bin ich nicht ganz sicher, ob bei $t(v)$ der $\ln$ Betragsstriche braucht?

Buch Seite 112: Bei der Berechnung der Obersumme lese ich $q(\mathrm{1,5})=1$ und nicht $\mathrm{0,9}$ ab. Dann ist $O_4=\mathrm{8,55}$ FE.

Buch Seite 113: $f^{\prime }(x)=2\cdot \left[{\displaystyle \frac{1}{(\cancel{2}3-5x-2x^2{)}^2}}.......\right]$, die 2 muss durch 3 ersetzt werden.

und 2 Zeilen weiter $={\displaystyle \frac{-8x-10}{(3-5x-2x^2{)}^2+1}}$, hier fehlt bei der Klammer das Quadrat.

Buch Seite 114: Hier bin ich nicht ganz sicher, ob bei $h^{-1}$ der $\ln$ Betragsstriche braucht?

Buch Seite 121: Um weiter vereinfachen zu können...... da fehlt das n bei vereinfachen.

Buch Seite 135: Bei $h^{\prime }(x)$ 3. Zeile ....... $\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{x-1}}\right)}^{\prime }=(-1)\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{x-1}}\right)}^2$, es ist etwas ungünstig, es so zu schreiben. Besser ..... $\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{x-1}}\right)}^{\prime }=(-1)\cdot {\displaystyle \frac{1}{(x-1{)}^2}}$ zumal es in der 4. Zeile so steht.

Buch Seite 141: Oben rechts muss es heißen 2021-31.

Buch Seite 142: Oben links muss es heißen 2021-32.

Buch Seite 160: Angeben ist oben: $D_H=ℝ\backslash \{-\frac{1}{2};\frac{3}{2}\}$

Das ist leider falsch. Richtig ist $D_H=]-\frac{1}{2};\frac{3}{2}[$

Warum ist das so? Z.B. $$H(2)={\displaystyle {\int }_0^{2}h(t)dt}$$ ist nach der angegebenen $D_H$ möglich, aber $h(\frac{3}{2})$ ist nicht definiert und dann darf nicht darüber integriert werden, deshalb ist $D_H=]-\frac{1}{2};\frac{3}{2}[$.

Buch Seite 184: Widerlegen der Aussage: $g^{\prime }(x)=e^{-3x}\cdot (-3\cdot (-3x-2)-3)$

$=e^{-3x}\cdot (9x+6-3)=e^{-3x}\cdot (9x+3)$ (also Vorzeichen $+3$ und nicht $-3$)

Buch Seite 193: Die Koordinaten des Wendepunktes sind etwas ungenau $WP(\mathrm{0,9}|1)$

stattdessen $WP(\mathrm{0,9}|\mathrm{1,2})$

Buch Seite 226: $g^{-1}(x)={\displaystyle \frac{\tan (y)-.........}{2}}$ Auf der rechten Seite der Gleichung muss $y$ durch $x$ ersetzt werden.