Erstelle die Hesse-Normalenform von $E$:

$E_{HNF}:{\displaystyle \frac{3x_1-4x_2+12x_3-130}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2+{12}^2}}}={\displaystyle \frac{3x_1-4x_2+12x_3-130}{13}}=0$

Abstand des Punktes $O(0|0)$ von Ebene $E$:

$d(O,E)=\left|{\displaystyle \frac{3\cdot 0-4\cdot 0+12\cdot 0-130}{13}}\right|=10$

Die Ebene $E$ hat vom Koordinatenursprung den Abstand $10\mathrm{LE}$.

Erstelle die Gleichung einer Ebene $H$, die parallel zu $E$ durch den Ursprung verläuft. Jeder Punkt von $H$ hat den Abstand $10$ zu $E$.

$H:3x_1-4x_2+12x_3=0$

Der Punkt $P$ soll von $O$ den Abstand $10$ haben.

$|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}=10\Rightarrow x_1^2+x_2^2+x_3^2=100$

Mit $x_3=0$ folgt für $H$:

$(\mathrm{I}):3x_1-4x_2=0$.

Mit $x_3=0$ folgt für $x_1^2+x_2^2+x_3^2=100$:

$(\mathrm{I}\mathrm{I}):x_1^2+x_2^2=100$.

Aus $(\mathrm{I})$ folgt: $3x_1=4x_2\Rightarrow x_1={\displaystyle \frac{4}{3}}{x}_2$

Setze $x_1$ in $(\mathrm{I}\mathrm{I})$ ein:

${\left({\displaystyle \frac{4}{3}}{x}_2\right)}^2+x_2^2=100\Rightarrow {\displaystyle \frac{16}{9}}{x}_2^2+x_2^2=100\Rightarrow {\displaystyle \frac{25}{9}}{x}_2^2=100\Rightarrow x_2^2={\displaystyle \frac{900}{25}}=36$

$\Rightarrow x_2^2=36\Rightarrow x_2=\pm 6$

Mit $x_2=6\Rightarrow x_1={\displaystyle \frac{4}{3}}{x}_2={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot 6=8\Rightarrow P(8|6|0)$.

Mit $x_2=-6\Rightarrow Q(-8|-6|0)$ (ein möglicher zweiter Punkt).