Aufgabenstellung Du wirfst eine faire Münze zweimal nacheinander. Eine Münze hat die zwei Seiten Kopf (K) und Zahl (Z). 1. Zeichne das zugehörige Baumdiagramm für dieses zweistufige Zufallsexperiment. Schreibe an jeden Ast die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten als Bruch oder Dezimalzahl. 2. Bestimme die Ergebnismenge $S$ aller möglichen Ergebnisse. 3. Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: • A: Du wirfst zweimal hintereinander Kopf ($K,K$). • B: Du wirfst genau einmal Kopf und einmal Zahl (in beliebiger Reihenfolge). • C: Du wirfst mindestens einmal Kopf. Lösungen 1. Das Baumdiagramm • 1. Wurf: Zwei Äste nach oben (Kopf mit $\mathrm{0,5}$) und nach unten (Zahl mit $\mathrm{0,5}$). • 2. Wurf: Von jedem der beiden Enden gehen wieder zwei Äste ab: • Von Kopf ($\to$ Kopf $\mathrm{0,5}$ und $\to$ Zahl $\mathrm{0,5}$) • Von Zahl ($\to$ Kopf $\mathrm{0,5}$ und $\to$ Zahl $\mathrm{0,5}$) 2. Die Ergebnismenge Die Ergebnismenge enthält alle 4 möglichen Kombinationen: $S=\{(K|K),(K|Z),(Z|K),(Z|Z)\}$ 3. Berechnungen mit den Pfadregeln

Jeder der 4 Pfade hat die Endwahrscheinlichkeit: $\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,5}=\mathrm{0,25}(25\%)$ • Ereignis A (zweimal Kopf): Nur der Pfad $(K|K)$ passt. $P(A)=\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,5}=\mathrm{0,25}(25\%)$ • Ereignis B (genau einmal Kopf): Hier passen die Pfade $(K|Z)$ und $(Z|K)$. Du rechnest sie mit der Summenregel zusammen: $P(B)=\mathrm{0,25}+\mathrm{0,25}=\mathrm{0,50}(50\%)$ • Ereignis C (mindestens einmal Kopf): Das trifft auf alle Ergebnisse außer $(Z|Z)$ zu. $P(C)=P(K|K)+P(K|Z)+P(Z|K)=\mathrm{0,25}+\mathrm{0,25}+\mathrm{0,25}=\mathrm{0,75}(75\%)$ (Alternativ über das Gegenereignis: $1-P(\text{zweimal Zahl})=1-\mathrm{0,25}=\mathrm{0,75}$)

Aufgabenstellung Ein standardmäßiger, fairer Spielwürfel wird zweimal hintereinander geworfen. Uns interessiert bei dieser Aufgabe nur, ob eine Sechs (6) gewürfelt wird oder keine Sechs (6̄). 1. Zeichne ein reduziertes Baumdiagramm für dieses zweistufige Zufallsexperiment. Notiere an den Ästen die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse „6“ und „6̄“. 2. Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: • A: Du würfelst zweimal hintereinander eine Sechs. • B: Du würfelst genau eine Sechs (in beliebiger Reihenfolge). • C: Du würfelst mindestens eine Sechs. Lösungen 1. Das reduzierte Baumdiagramm Für jeden einzelnen Wurf gilt: • Wahrscheinlichkeit für eine Sechs: $P(6)=\frac{1}{6}$ • Wahrscheinlichkeit für keine Sechs: $P(\bar{6})=\frac{5}{6}$ Struktur des Baums: • 1. Wurf: Teilt sich auf in 6 ($\frac{1}{6}$) und 6̄ ($\frac{5}{6}$). • 2. Wurf: Von jedem dieser beiden Punkte gehen wieder zwei Äste für 6 ($\frac{1}{6}$) und 6̄ ($\frac{5}{6}$) ab. Es ergeben sich insgesamt 4 Pfade: (6|6), (6|6̄), (6̄|6) und (6̄|6̄). 2. Berechnungen mit den Pfadregeln

• Ereignis A (zweimal eine Sechs): Du folgst dem Pfad (6|6) und wendest die Produktregel an. $P(A)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}\approx \mathrm{2,78}\%$ • Ereignis B (genau eine Sechs): Hierzu gehören die beiden Pfade (6|6̄) und (6̄|6). Du berechnest beide Pfade und addierst sie (Summenregel). $P(6|\bar{6})=\frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}=\frac{5}{36}$ $P(\bar{6}|6)=\frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{5}{36}$ $P(B)=\frac{5}{36}+\frac{5}{36}=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}\approx \mathrm{27,78}\%$ • Ereignis C (mindestens eine Sechs): Dies lässt sich am schnellsten über das Gegenereignis bestimmen („Keine einzige Sechs“, also der Pfad (6̄|6̄)). $P(\text{keine Sechs})=\frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}=\frac{25}{36}$