Aufgaben zu Bruchgleichungen - lernen mit Serlo!

Löse folgende Bruchgleichungen:

(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)

$\frac{2}{x - 3} = \frac{3}{x - 1}$ mit der Definitionsmenge $D = ℚ \ {1,3}$ .

$\frac{2}{5 x + 15} = \frac{1}{10}$
Mit der Definitionsmenge $D = ℚ \ {- 3}$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
Lösen der Bruchgleichung
Es handelt sich hier um eine Bruchgleichung, also wende dein Wissen zur Lösung von Bruchgleichungen an.
Ziel ist es die Gleichung Bruchtermfrei zu machen.Dazu benutzt du die Hauptnenner-Methode.
Hauptnenner finden
Suche zunächst nach dem Hauptnenner.
Dazu schaust du dir beide Terme der Gleichung an. Der Nenner von $\frac{1}{10}$ ist $10$ und der Nenner von $\frac{2}{5 x + 15}$ ist $5 x + 15$ .
Man bekommt die faktorisierten Bausteine:
$[10] = [2] \cdot [5]$
$[5 x + 15] = [5] \cdot [x + 3]$
Der Baustein $5$ kommt zweimal vor, für die Bildung des Hauptnenners braucht man es nur einmal. Alle anderen Bausteine kommen nur einmal vor.
Es ergibt sich für den Hauptnenner:
$[2] \cdot [5] \cdot [x + 3] = 10 (x + 3)$
Brüche auf Hauptnenner erweitern
Zweiter Schritt der Hauptnenner-Methode ist es die Bruchterme so zu erweitern, dass der Hauptnenner im Nenner steht.
$\frac{2}{5 x + 15}$ $=$ $\frac{2}{5 (x + 3)} \cdot \frac{2}{3}$
$=$ $\frac{4}{10 (x + 3)}$
$\frac{1}{10} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$ $=$ $\frac{x + 3}{10 (x + 3)}$
Gleichung bruchtermfrei machen
Nun kannst du mit dem Hauptnenner die Gleichung multiplizieren. So bekommst du eine bruchtermfreie Gleichung.
$\frac{2}{5 x + 15}$ $=$ $\frac{1}{10}$
↓
Auf den Hauptnenner $10 (x + 3)$ erweitern.
$\frac{4}{10 (x + 3)}$ $=$ $\frac{x + 3}{10 (x + 3)}$ $\cdot 10 (x + 3)$
↓
mit dem Hauptnenner multiplizieren
$4$ $=$ $x + 3$
Bruchtermfreie Gleichung lösen
Du hast die Bruchgleichung in eine äquivalente lineare Gleichung umgeformt. Diese kannst du nun mit deinem Vorwissen lösen.
$4$ $=$ $x + 3$ $- 3$
$x$ $=$ $1$
$1$ ist in der Definitionsmenge enthalten, also ist die Lösungsmenge $𝕃 = {1}$ .
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$\frac{3 x^{2}}{x - 1} - 3 x = \frac{1}{x - 1} + 2$ mit der Definitionsmenge $D = ℚ \ {1}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
Bruchgleichungen
Es handelt sich hier um eine Bruchgleichung, also wende dein Wissen zur Lösung von Bruchgleichungen an.
Bringe zuerst beide Terme auf jeweils einen Bruch.
$\frac{3 x^{2}}{x - 1} - 3 x$ $=$ $\frac{3 x^{2}}{x - 1} - \frac{3 x (x - 1)}{x - 1}$
$=$ $\frac{3 x^{2}}{x - 1} - \frac{3 x^{2} - 3 x}{x - 1}$
$=$ $\frac{3 x}{x - 1}$
$\frac{1}{x - 1} + 2$ $=$ $\frac{1}{x - 1} + \frac{2 (x - 1)}{x - 1}$
$=$ $\frac{1}{x - 1} + \frac{2 x - 2}{x - 1}$
$=$ $\frac{2 x - 1}{x - 1}$
Die Gleichung lässt sich auf $\frac{3 x}{x - 1} = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ vereinfachen.
Beide Bruchterme haben als Nenner $x - 1$ , also ist dieser auch der Hauptnenner.
$\frac{3 x^{2}}{x - 1} - 3 x$ $=$ $\frac{1}{x - 1} + 2$
↓
Auf den Hauptnenner $(x - 1)$ erweitern und vereinfachen (siehe oben).
$\frac{3 x}{x - 1}$ $=$ $\frac{2 x - 1}{x - 1}$
↓
Mit dem Hauptnenner $(x - 1)$ multiplizieren.
$3 x$ $=$ $2 x - 1$ $- 2 x$
$x$ $=$ $- 1$
$- 1$ ist in der Definitionsmenge enthalten, also ist $𝕃 = {- 1}$ .
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$\frac{5}{2 x + 6} - \frac{1 - 0,25 x^{2}}{x^{2} + 3 x} = \frac{1}{4}$ mit der Definitionsmenge $D = ℚ \ {- 3,0}$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl → Was bedeutet das?

$\frac{2}{x - 3}$	$=$	$\frac{3}{x - 1}$
	↓	Erweitere beide Brüche auf den Hauptnenner $(x - 3) (x - 1)$
$\frac{2 (x - 1)}{(x - 3) (x - 1)}$	$=$	$\frac{3 (x - 3)}{(x - 1) (x - 3)}$	$\cdot (x - 3) (x - 1)$
	↓	Multipliziere die ganze Gleichung mit dem Hauptnenner
$2 {(x - 1)}_{}$	$=$	$3 (x - 3)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$2 x - 2$	$=$	$3 x - 9$	$- 2 x + 9$
$x$	$=$	$7$

$\frac{5}{2 x + 6} - \frac{1 - 0,25 x^{2}}{x^{2} + 3 x}$	$=$	$\frac{1}{4}$
	↓	Im $1$ . Bruch den Faktor $2$ und im $2$ . Bruch $x$ ausklammern.
$\frac{5}{2 (x + 3)} - \frac{1 - 0,25 x^{2}}{x (x + 3)}$	$=$	$\frac{1}{4}$
	↓	Auf den Hauptnenner $4 x (x + 3)$ erweitern.
$\frac{5}{2 (x + 3)} \cdot \frac{2 x}{2 x} - \frac{1 - 0,25 x^{2}}{x (x + 3)} \cdot \frac{4}{4}$	$=$	$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (x + 3)}{x (x + 3)}$
	↓	Vereinfache
$\frac{10 x}{4 x (x + 3)} - \frac{4 - x^{2}}{4 x (x + 3)}$	$=$	$\frac{x (x + 3)}{4 x (x + 3)}$	$\cdot 4 x (x + 3)$
	↓	Mit dem Hauptnenner multiplizieren.
$10 x - 4 + x^{2}$	$=$	$x^{2} + 3 x$	$- x^{2} - 3 x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$7 x - 4$	$=$	$0$	$+ 4$
$7 x$	$=$	$4$	$: 7$
$x$	$=$	$\frac{4}{7}$

$\frac{2}{5 x + 15}$	$=$	$\frac{2}{5 (x + 3)} \cdot \frac{2}{3}$
	$=$	$\frac{4}{10 (x + 3)}$

$\frac{2}{5 x + 15}$	$=$	$\frac{1}{10}$
	↓	Auf den Hauptnenner $10 (x + 3)$ erweitern.
$\frac{4}{10 (x + 3)}$	$=$	$\frac{x + 3}{10 (x + 3)}$	$\cdot 10 (x + 3)$
	↓	mit dem Hauptnenner multiplizieren
$4$	$=$	$x + 3$

$\frac{3 x^{2}}{x - 1} - 3 x$	$=$	$\frac{3 x^{2}}{x - 1} - \frac{3 x (x - 1)}{x - 1}$
	$=$	$\frac{3 x^{2}}{x - 1} - \frac{3 x^{2} - 3 x}{x - 1}$
	$=$	$\frac{3 x}{x - 1}$

$\frac{1}{x - 1} + 2$	$=$	$\frac{1}{x - 1} + \frac{2 (x - 1)}{x - 1}$
	$=$	$\frac{1}{x - 1} + \frac{2 x - 2}{x - 1}$
	$=$	$\frac{2 x - 1}{x - 1}$

$\frac{3 x^{2}}{x - 1} - 3 x$	$=$	$\frac{1}{x - 1} + 2$
	↓	Auf den Hauptnenner $(x - 1)$ erweitern und vereinfachen (siehe oben).
$\frac{3 x}{x - 1}$	$=$	$\frac{2 x - 1}{x - 1}$
	↓	Mit dem Hauptnenner $(x - 1)$ multiplizieren.
$3 x$	$=$	$2 x - 1$	$- 2 x$
$x$	$=$	$- 1$

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