Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 2

Die Abbildung zeigt modellhaft wesentliche Elemente einer Kletteranlage: zwei horizontale Plattformen, die jeweils um einen vertikal stehenden Pfahl gebaut sind, sowie eine Kletterwand, die an einer der beiden Plattformen angebracht ist.

Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die $x_1x_2$ -Ebene den horizontalen Untergrund. Die Plattformen und die Kletterwand werden als ebene Vielecke betrachtet. Eine Längeneinheit entspricht 1 m in der Wirklichkeit. Die Punkte, in denen die Pfähle aus dem Untergrund austreten, werden durch $P_{1}(0|0|0)$ und $P_2(5|10|0)$ dargestellt. Außerdem sind die Eckpunkte $A(3|0|2)$ , $B(0|3|2)$ , $E(6|0|0)$ , $F(0|6|0)$ , $R(5|7|3)$ und $T(2|10|3)$ gegeben. Die Materialstärke aller Bauteile der Anlage soll vernachlässigt werden.

(3 BE)

In den Mittelpunkten der oberen und unteren Kante der Kletterwand sind die Enden eines Seils befestigt, das 20% länger ist als der Abstand der genannten Mittelpunkte. Berechnen Sie die Länge des Seils.

(4 BE)

Die Punkte $A$ , $B$ , $E$ und $F$ liegen in der Ebene $L$ . Ermitteln Sie eine Gleichung von $L$ in Normalenform.

(2 BE)

Zeigen Sie, dass die Kletterwand die Form eines Trapezes hat.

(3 BE)

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Kletterwand mit dem Untergrund einschließt.

Über ein Kletternetz kann man von einer Plattform zur anderen gelangen. Die vier Eckpunkte des Netzes sind an den beiden Pfählen befestigt. Einer der beiden unteren Eckpunkte befindet sich an Pfahl 1 auf der Höhe der zugehörigen Plattform, der andere untere Eckpunkt an Pfahl 2 oberhalb der Plattform 2. An jedem Pfahl beträgt der Abstand der beiden dort befestigten Eckpunkte des Netzes $1{,}80\,\text{m}$ . Das Netz ist so gespannt, dass davon ausgegangen werden kann, dass es die Form eines ebenen Vierecks hat.

(3 BE)

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Netzes und erläutern Sie Ihren Ansatz.

(5 BE)

Die untere Netzkante berührt die Plattform 2 an der Seite, die durch die Strecke $[RT]$ dargestellt wird. Betrachtet wird der untere Eckpunkt des Netzes, der oberhalb der Plattform 2 befestigt ist. Im Model hat dieser Eckpunkt die Koordinaten $(5|10|h)$ mit einer reellen Zahl $h>3$ . Die untere Netzkante liegt auf der Geraden $g:\vec X=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}+\lambda\cdot \begin{pmatrix}5\\10\\h-2\end{pmatrix}\,,\,\lambda \in \mathbb{R}$ .

Berechnen Sie den Abstand des betrachteten Eckpunkts von der Plattform 2.

Teilaufgabe a)

Um letztlich die Seillänge zu berechnen sind folgende Arbeitsschritte nach und nach zu machen:

Mittelpunkt $M_o$ der oberen Kante $[AB]$ bestimmen
Mittelpunkt $M_u$ der unteren Kante $[EF]$ bestimmen
Abstand der beiden Mittelpunkte berechnen
diesen Abstand um $20 \%$ erhöhen.

Der Mittelpunkt $M_o$ der oberen Kante ergibt sich als Mittelwert der Ortsvektoren zu den Eckpunkten $A$ und $B$ :

$\vec{M}_{o} = \frac12\cdot\left(\vec{A}+\vec{B}\right) = \frac12\cdot\begin{pmatrix} 3+0\\0+3 \\2+2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1{,}5 \\1{,}5 \\2 \end{pmatrix}$

Entsprechend nun für die untere Kante $[EF]$ : $\vec{M}_{u} = \frac12\cdot\left(\vec{E}+\vec{F}\right) =\begin{pmatrix} 3\\3 \\0 \end{pmatrix}$

Die Seillänge $l$ ergibt sich als $1{,}2$ -faches des Betrags des Differenzvektors $\overrightarrow{M_uM_o}$ :

$l=1{,}2\cdot\left|\overrightarrow{M_uM_o}\right| = 1{,}2\cdot\left|\begin{pmatrix} -1{,}5\\ -1{,}5\\ 2\end{pmatrix}\right| =1{,}2\cdot\sqrt{1{,}5^2+1{,}5^2+2^2} = 3{,}50$

Die Seillänge beträgt $3{,}50$ m .

Die Abbildung zeigt das nicht-verlängerte Seil

Teilaufgabe b)

Eine fast identische Aufgabenstellung ist schon im A-Teil dieser Abituraufgabe vorgestellt worden, weshalb es hier mit ähnlichen Überlegungen beginnt.

3 der genannten 4 Punkte $A$ , $B$ , $E$ und $F$ genügen, um die Ebenengleichung $L$ , in der sich die Kletterwand befindet, aufzustellen. Im Folgenden wird der Punkt $E$ als Aufpunkt gewählt und von ihm ausgehend werden zwei Richtungsvektoren aufgestellt, indem man die Differenzvektoren bildet.

Auch hier ist wieder die Normalenform der Ebene gefordert und man bildet aus den beiden Richtungsvektoren mit Hilfe des Vektorprodukts gleich einen Normalenvektor.

Es sind also wieder 3 Schritte erforderlich:

Zwei Differenzvektoren aufstellen,
daraus den Normalenvektor bilden und schließlich
den Aufpunkt in die Normalenform einsetzen.

Differenzvektoren

\displaystyle \overrightarrow{EA}=\begin{pmatrix} -3\\0 \\2 \end{pmatrix}\; ,\;\overrightarrow{EF}=\begin {pmatrix} -6\\ 6\\ 0\end{pmatrix}

Normalenvektor $\vec{n}_{L}$

\displaystyle \overrightarrow{EA}=\begin{pmatrix} -3\\0 \\2 \end{pmatrix}\; ,\;\overrightarrow{EF}=\begin {pmatrix} -6\\ 6\\ 0\end{pmatrix}

Der Vektor $\vec n=\begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix}$ ist also ein Normalenvektor der Ebene $E$ .

Hinweis:

Das Ausklammern des Faktors $-6$ aus dem Vektor des Kreuzproduktes bewirkt die Änderung der Orientierung ("Gegenvektor") und Verkürzung auf ein Sechstel seiner ursprünglichen Länge. Aber es bleibt ein "Normalenvektor" (senkrecht zur Ebene)! Der Vorteil: Kleinere Koordinaten - weniger Minuszeichen!

Aufpunkt E:

\displaystyle \overrightarrow{EA}=\begin{pmatrix} -3\\0 \\2 \end{pmatrix}\; ,\;\overrightarrow{EF}=\begin {pmatrix} -6\\ 6\\ 0\end{pmatrix}

Teilaufgabe c)

Ein Trapez hat zwei parallele Seiten. Das Wörtchen "hat" ist im Sinne von "hat mindestens" zu verstehen.

Hier ist nun nur noch zu zeigen, dass $\overrightarrow{AB}\parallel\overrightarrow{EF}$ :

\displaystyle \overrightarrow{EA}=\begin{pmatrix} -3\\0 \\2 \end{pmatrix}\; ,\;\overrightarrow{EF}=\begin {pmatrix} -6\\ 6\\ 0\end{pmatrix}

Teilaufgabe d)

Hier geht es um den Winkel zwischen zwei Ebenen.

Ein Blick zurück auf die Abbildung in Teilaufgabe a) zeigt, dass man den gesuchten Winkel, dort ist er mit $\varphi$ bezeichnet, auf zwei Weisen ermitteln kann:

entweder als Winkel zwischen der Strecke $[M_uMo]$ und dem Untergrund
oder als Winkel zwischen den Normalenvektoren der Ebene $L$ und dem Normalenvektor des Untergrunds

Letzteres ist in der Regel einfacher, da man die Normalenvektoren schnell findet! Die nachfolgende Abbildung verdeutlicht diesen Zusammenhang noch einmal, wobei der Blick auf die Ebenen in Richtung der Schnittgeraden ist.

Es wird also der gleichgroße Winkel zwischen dem Normalenvektor $\vec{n}_{L}$ und der Richtung der $x_3$ -Achse (Normalenvektor der $x_1$ - $x_2$ -Ebene) berechnet:

\displaystyle \overrightarrow{EA}=\begin{pmatrix} -3\\0 \\2 \end{pmatrix}\; ,\;\overrightarrow{EF}=\begin {pmatrix} -6\\ 6\\ 0\end{pmatrix}

Teilaufgabe e)

Wegen der Parallelität der Pfähle 1 und 2 handelt es sich beim Kletternetz um ein Trapez, dessen parallele Seiten auch noch gleichlang sind (1,80 m), also ist es sogar ein Parallelogramm mit Grundseitenlänge 1,80 m. Die Höhe entspricht dem Abstand der beiden Pfähle $\left|\overrightarrow{P_1P_2}\right|$ . Maßstäblich korrekt ist das Kletternetz in der Abbildung bei Teilaufgabe f) zu sehen, aber wegen der Perspektive im Schrägbild, wird das dort nicht so deutlich wie in der nachfolgenden Abbildung, wo der Blick frontal auf das Kletternetz gerichtet ist:

Der umgangssprachliche Sinn der Worte Höhe und Grundlinie und die tatsächliche Zuordnung der beiden Begriffe im Sachzusammenhang sind also gerade verkehrt!

\displaystyle \overrightarrow{EA}=\begin{pmatrix} -3\\0 \\2 \end{pmatrix}\; ,\;\overrightarrow{EF}=\begin {pmatrix} -6\\ 6\\ 0\end{pmatrix}

Die Fläche des Kletternetzes beträgt rund $20{,}1$ m $^2$ .

Teilaufgabe f)

Dass man für die Lösung der Aufgabe irgendwie Geraden zum Schnitt bringen muss ist klar. Weil man letztlich die Höhe $h$ ermitteln soll, schneidet man vordergründig einfach den Pfahl 2 mit der unteren Netzkante. Aber es soll noch die Sache mit dem Berühren von Plattform 2 erfüllt werden.

Besser man schneidet also die untere Netzkante mit der Geraden $RT$ , dann fällt einem wie von selbst auch noch die gesuchte Höhe $h$ in den Schoß.

Die untere Netzkante wird durch die Gerade $g$ modelliert, deren Gleichung im Aufgabentext gegeben ist. Uns bleibt noch, die Gerade $h$ durch die beiden Punkte $R$ und $T$ der Plattform 2 aufzustellen. $[RT]$ liegt auf der Geraden $k$ mit:

\displaystyle \overrightarrow{EA}=\begin{pmatrix} -3\\0 \\2 \end{pmatrix}\; ,\;\overrightarrow{EF}=\begin {pmatrix} -6\\ 6\\ 0\end{pmatrix}

Die Gerade $g$ schneidet die Strecke $[RT]$ . Für $g=k$ ergibt sich das Gleichungssystem:

\displaystyle \overrightarrow{EA}=\begin{pmatrix} -3\\0 \\2 \end{pmatrix}\; ,\;\overrightarrow{EF}=\begin {pmatrix} -6\\ 6\\ 0\end{pmatrix}

Aus $(\text{I})$ + $(\text{II})$ folgt: $\lambda=\frac{12}{15}=\frac45$ .

Eingesetzt in $(\text{III})$ folgt:

\displaystyle \overrightarrow{EA}=\begin{pmatrix} -3\\0 \\2 \end{pmatrix}\; ,\;\overrightarrow{EF}=\begin {pmatrix} -6\\ 6\\ 0\end{pmatrix}

Der Abstand des unteren Eckpunkts von Plattform 2 beträgt daher $0{,}25$ m .

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Teilaufgabe a)

Teilaufgabe b)

Differenzvektoren

Normalenvektor n⃗L\vec{n}_{L}nL​

Aufpunkt E:

Teilaufgabe c)

Teilaufgabe d)

Teilaufgabe e)

Teilaufgabe f)

Normalenvektor $\vec{n}_{L}$