Aufgaben zum Skalarprodukt -3D

Du sollst das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen. Du erhältst durch Verwendung der Formel:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \vec{u}\circ \vec{v} &=& \begin{pmatrix} 2\\-1\\5\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} 6\\7\\2\end{pmatrix}\\&=& 2\cdot 6 + (-1)\cdot 7 + 5 \cdot 2 \\&=& 12+(-7)+10 \\&=& 15 \end{array}$

Das Skalarprodukt von $\vec u$ und $\vec v$ ist also $15$.

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

$\vec u\circ\vec v=\begin{pmatrix}12\\3\\4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}6\\0\\-8\end{pmatrix}=12\cdot6+3\cdot0+4\cdot(-8)= 72-32=40$

Das Skalarprodukt von $\vec u$ und $\vec v$ ist also $40$.

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

$\vec u\circ\vec v=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}=(-2)\cdot(-1)+3\cdot1+1\cdot(-2)=2+3-2=3$

Das Skalarprodukt von $\vec u$ und $\vec v$ ist also $3$.

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

$\vec u\circ\vec v=\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-3\\3\\-1\end{pmatrix}=1\cdot\left(-3\right)+\left(-2\right)\cdot3+\left(-4\right)\cdot\left(-1\right)=-3-6+4=-5$

Das Skalarprodukt von $\vec u$ und $\vec v$ ist also $-5$.

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

$\vec u\circ\vec v=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}8\\1\\12\end{pmatrix}=3\cdot8+\left(-4\right)\cdot1+0\cdot12=24-4=20$

Das Skalarprodukt von $\vec u$ und $\vec v$ ist also $20$.

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

$\vec u\circ\vec v=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\0\\-3\end{pmatrix}=1\cdot0+0\cdot0+\left(-1\right)\cdot\left(-3\right)=3$

Das Skalarprodukt von $\vec u$ und $\vec v$ ist also $3$.

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

$\vec u\circ\vec v=\begin{pmatrix}5\\1\\9\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\8\\-2\end{pmatrix}=5\cdot2+1\cdot8+9\cdot\left(-2\right)=10+8-18=0$

Das Skalarprodukt von $\vec u$ und $\vec v$ ist also $0$. Die Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel, erhältst du:

$\vec u\circ\vec v=\begin{pmatrix}-5\\3\\9\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\8\\-1\end{pmatrix}=\left(-5\right)\cdot2+3\cdot8+9\cdot\left(-1\right)=-10+24-9=5$

Das Skalarprodukt von $\vec u$ und $\vec v$ ist also $5$.

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel, erhältst du:

$\vec u\circ\vec v =\begin{pmatrix}0{,}25\\3\\5\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}4\\-\dfrac23\\0{,}2\end{pmatrix} = 0{,}25\cdot4+3\cdot\left(-\dfrac23\right)+5\cdot0{,}2 =1-2+1 =0$

Das Skalarprodukt von $\vec u$ und $\vec v$ ist also $0$. Die Vektoren stehen somit senkrecht aufeinander.

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ Null ist.

Es lässt sich (zur Vereinfachung) $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \circ \vec v= \begin{pmatrix} 2\\ -1\\5 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 2\cdot 0+ (-1)\cdot v_2 + 5\cdot v_3=-v_2 + 5v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$v_2= 5v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=5$ und $v_3=1$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec{v}\circ\vec{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot2+5\cdot(-1)+1\cdot5=0+(-5)+5=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 12\\ 3\\4 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 12\cdot 0+ 3\cdot v_2 + 4\cdot v_3=3v_2 + 4v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_2= -4v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=4$ und $v_3=-3$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 12+ 4\cdot3 + (-3)\cdot 4 =0+12-12=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} -2\\ 3\\1 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= (-2)\cdot 0+ 3\cdot v_2 + 1\cdot v_3=3v_2 + v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_2= -v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=1$ und $v_3=-3$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot (-2)+ 1\cdot3 + 1\cdot (-3) =0+3+(-3)=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 1\\ -2\\-4 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 1\cdot 0+ (-2)\cdot v_2 + (-4)\cdot v_3=-2v_2 -4v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$2v_2= -4v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=-4$ und $v_3=2$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 1+ (-4)\cdot(-2) + 2\cdot (-4) =0+8+(-8)=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_3=0$ annehmen, wegen $u_3=0$. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 3\\ -4\\0 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} v_1\\ v_2 \\ 0 \end{pmatrix}= 3\cdot v_1+ (-4)\cdot v_2 + 0\cdot 0=3v_1 + (-4)v_2$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_1= 4v_2$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_1=-4$ und $v_2=-3$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=(-4)\cdot 3+ (-3)\cdot(-4) + 0\cdot 0 =(-12)+12+0=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_2=0$ annehmen, wegen $u_2=0$. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\-1 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} v_1\\ 0 \\ v_3 \end{pmatrix}= 1\cdot v_1+ 0\cdot 0 + (-1)\cdot v_3=v_1 - v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_1= v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_1=1$ und $v_2=1$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=1\cdot 1+ 0\cdot 0 + 1\cdot (-1) =1-1=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 5\\ 1\\9\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 5\cdot 0+ 1\cdot v_2 + 9\cdot v_3=v_2 + 9v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$v_2= -9v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=-9$ und $v_3=1$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ -9 \\ 1\end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 5+ (-9)\cdot 1 + 1\cdot 9 =0+(-9)+9=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_2=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} -1\\ 3\\9 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= (-1)\cdot v_1+ 3\cdot 0 + 9\cdot v_3=-v_1 + 9v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$v_1= 9v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_1=9$ und $v_3=1$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=9\cdot (-1)+ 3\cdot0 + 1\cdot 9 =(-9)+0+9=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_2=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 4\\ -\frac56\\0{,}4 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} v_1\\ 0 \\ v_3 \end{pmatrix}= 4\cdot v_1+ (-\frac56 )\cdot 0 + 0{,}4\cdot v_3=4v_1 + 0{,}4v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$v_3= -10v_1$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_1=1$ und $v_3=-10$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -10 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=1\cdot 4+ (-\frac 56 )\cdot0 + (-10)\cdot 0{,}4 =4+0-4=0$

Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ist.

Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ist.

Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ist.

$\vec a \odot \vec b = 5\cdot4+2\cdot2+3\cdot(-8)=20+4-24=0$

Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ist.

Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ist.

Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ist.

$\overrightarrow a\odot\overrightarrow b = 1\cdot5+1\cdot0+1\cdot\left(-5\right) \\ \phantom{f} =5+0-5 \\ \phantom{f} = 0$

Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ist.

Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ist.