Aufgaben zum Skalarprodukt -3D

Du sollst das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen. Du erhältst durch Verwendung der Formel:

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{u}\circ \overrightarrow{v}& =& \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 5\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 2\end{array}\right)\\ & =& 2\cdot 6+(-1)\cdot 7+5\cdot 2\\ & =& 12+(-7)+10\\ & =& 15\end{array}$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ ist also $15$.

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

$\overrightarrow{u}\circ \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}12\\ 3\\ 4\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ -8\end{array}\right)=12\cdot 6+3\cdot 0+4\cdot (-8)=72-32=40$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ ist also $40$.

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

$\overrightarrow{u}\circ \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -2\end{array}\right)=(-2)\cdot (-1)+3\cdot 1+1\cdot (-2)=2+3-2=3$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ ist also $3$.

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

$\overrightarrow{u}\circ \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -4\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -1\end{array}\right)=1\cdot (-3)+(-2)\cdot 3+(-4)\cdot (-1)=-3-6+4=-5$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ ist also $-5$.

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

$\overrightarrow{u}\circ \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 0\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ 12\end{array}\right)=3\cdot 8+(-4)\cdot 1+0\cdot 12=24-4=20$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ ist also $20$.

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

$\overrightarrow{u}\circ \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -3\end{array}\right)=1\cdot 0+0\cdot 0+(-1)\cdot (-3)=3$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ ist also $3$.

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

$\overrightarrow{u}\circ \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 9\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ -2\end{array}\right)=5\cdot 2+1\cdot 8+9\cdot (-2)=10+8-18=0$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ ist also $0$. Die Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel, erhältst du:

$\overrightarrow{u}\circ \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 9\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ -1\end{array}\right)=(-5)\cdot 2+3\cdot 8+9\cdot (-1)=-10+24-9=5$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ ist also $5$.

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel, erhältst du:

$\overrightarrow{u}\circ \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,25}\\ 3\\ 5\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}4\\ -{\displaystyle \frac{2}{3}}\\ \mathrm{0,2}\end{array}\right)=\mathrm{0,25}\cdot 4+3\cdot (-{\displaystyle \frac{2}{3}})+5\cdot \mathrm{0,2}=1-2+1=0$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ ist also $0$. Die Vektoren stehen somit senkrecht aufeinander.

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\overrightarrow{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\overrightarrow{v}$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ Null ist.

Es lässt sich (zur Vereinfachung) $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\overrightarrow{u}\circ \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 5\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}0\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)=2\cdot 0+(-1)\cdot v_2+5\cdot v_3=-v_2+5v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$v_2=5v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=5$ und $v_3=1$. Du erhältst also:

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 1\end{array}\right)$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\overrightarrow{v}\circ \overrightarrow{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 2+5\cdot (-1)+1\cdot 5=0+(-5)+5=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\overrightarrow{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\overrightarrow{v}$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\overrightarrow{u}\odot \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}12\\ 3\\ 4\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}0\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)=12\cdot 0+3\cdot v_2+4\cdot v_3=3v_2+4v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_2=-4v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=4$ und $v_3=-3$. Du erhältst also:

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -3\end{array}\right)$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 12+4\cdot 3+(-3)\cdot 4=0+12-12=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\overrightarrow{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\overrightarrow{v}$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\overrightarrow{u}\odot \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 1\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}0\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)=(-2)\cdot 0+3\cdot v_2+1\cdot v_3=3v_2+v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_2=-v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=1$ und $v_3=-3$. Du erhältst also:

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -3\end{array}\right)$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot (-2)+1\cdot 3+1\cdot (-3)=0+3+(-3)=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\overrightarrow{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\overrightarrow{v}$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\overrightarrow{u}\odot \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -4\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}0\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)=1\cdot 0+(-2)\cdot v_2+(-4)\cdot v_3=-2v_2-4v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$2v_2=-4v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=-4$ und $v_3=2$. Du erhältst also:

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 2\end{array}\right)$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 1+(-4)\cdot (-2)+2\cdot (-4)=0+8+(-8)=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\overrightarrow{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\overrightarrow{v}$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_3=0$ annehmen, wegen $u_3=0$. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\overrightarrow{u}\odot \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 0\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ 0\end{array}\right)=3\cdot v_1+(-4)\cdot v_2+0\cdot 0=3v_1+(-4)v_2$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_1=4v_2$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_1=-4$ und $v_2=-3$. Du erhältst also:

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ 0\end{array}\right)$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=(-4)\cdot 3+(-3)\cdot (-4)+0\cdot 0=(-12)+12+0=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\overrightarrow{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\overrightarrow{v}$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_2=0$ annehmen, wegen $u_2=0$. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\overrightarrow{u}\odot \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}{v}_1\\ 0\\ v_3\end{array}\right)=1\cdot v_1+0\cdot 0+(-1)\cdot v_3=v_1-v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_1=v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_1=1$ und $v_2=1$. Du erhältst also:

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=1\cdot 1+0\cdot 0+1\cdot (-1)=1-1=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\overrightarrow{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\overrightarrow{v}$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\overrightarrow{u}\odot \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 9\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}0\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)=5\cdot 0+1\cdot v_2+9\cdot v_3=v_2+9v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$v_2=-9v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=-9$ und $v_3=1$. Du erhältst also:

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ 1\end{array}\right)$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 5+(-9)\cdot 1+1\cdot 9=0+(-9)+9=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\overrightarrow{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\overrightarrow{v}$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_2=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\overrightarrow{u}\odot \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 9\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}0\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)=(-1)\cdot v_1+3\cdot 0+9\cdot v_3=-v_1+9v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$v_1=9v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_1=9$ und $v_3=1$. Du erhältst also:

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=9\cdot (-1)+3\cdot 0+1\cdot 9=(-9)+0+9=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\overrightarrow{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\overrightarrow{v}$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_2=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\overrightarrow{u}\odot \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}4\\ -\frac{5}{6}\\ \mathrm{0,4}\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}{v}_1\\ 0\\ v_3\end{array}\right)=4\cdot v_1+(-\frac{5}{6})\cdot 0+\mathrm{0,4}\cdot v_3=4v_1+\mathrm{0,4}{v}_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$v_3=-10v_1$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_1=1$ und $v_3=-10$. Du erhältst also:

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -10\end{array}\right)$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=1\cdot 4+(-\frac{5}{6})\cdot 0+(-10)\cdot \mathrm{0,4}=4+0-4=0$

Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ist.

Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ist.

Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ist.

$\overrightarrow{a}\odot \overrightarrow{b}=5\cdot 4+2\cdot 2+3\cdot (-8)=20+4-24=0$

Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ist.

Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ist.

Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ist.

$\begin{array}{l}\overrightarrow{a}\odot \overrightarrow{b}=1\cdot 5+1\cdot 0+1\cdot (-5)\\ \phantom{f}=5+0-5\\ \phantom{f}=0\end{array}$

Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ist.

Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ist.