Gemischte Aufgaben zu quadratischen Funktionen

Gegeben sind die quadratischen Funktionen $f (x) = (x - 1) (x - 2)$ und $g (x) = a x^{2}$ .

Bestimme $a$ so, dass der Graph von $g$ den Graphen von $f$ berührt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berührpunkt von Funktionen berechnen

Um den Berührpunkt berechnen zu können, müssen die Funktionen $f (x) = (x - 1) (x - 2)$ und $g (x) = a x^{2}$ gleichgesetzt werden.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle g\left(x\right)$	$\displaystyle -g\left(x\right)$
$\displaystyle f\left(x\right)-g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $f (x) = (x - 1) (x - 2)$ und $g (x) = a x^{2}$ ein.
$\displaystyle (x-1)(x-2)-ax^2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Multipliziere aus.
$\displaystyle x^2-2x-x+2-ax^2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \left(1-a\right)x^2-3x+2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Wende die Mitternachtsformel an (oder p-q Formel)
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{\left(-3\right)^2-4\cdot\left(1-a\right)\cdot2}}{2\cdot\left(1-a\right)}$

Da der Berührpunkt der Funktionen gesucht ist, muss für die Diskriminante $D=\left(-3\right)^2-4\cdot\left(1-a\right)\cdot2\ =0$ gelten. Genau dann hat der Terme ein doppelte Nullstelle und $x_{1} = x_{2}$ .

$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(-3\right)^2-4\cdot\left(1-a\right)\cdot2\$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 9-4\cdot\left(1-a\right)\cdot2$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 9-8\cdot\left(1-a\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 9-8+8a$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 1+8a$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle 8a$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :8$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{8}$

Wenn $a=-\frac{1}{8}$ gewählt wird, berührt der Graph der Funktion $g\left(x\right)=-\frac18 x^2$ den Graphen von $f (x) = (x - 1) (x - 2)$ .

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