Aufgaben zu Potenz- und Wurzelfunktionen

Bestimme die Symmetrie und den Verlauf der Graphen folgender Potenzfunktionen und gib jeweils die Wertemenge und den Grad an.

123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
$f\left(x\right)=4x^3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzfunktion
Symmetrie
$f\left(x\right)=4x^3$
Setze $- x$ in $f (x)$ ein, um die Symmetrie des Graphen zu ermitteln.
$f(-x)=4\left(-x\right)^3$
$f(-x)=-\left(4\cdot x^3\right)=-f(x)$
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Somit ist der Graph punktsymmetrisch .
Verlauf des Graphen
Überprüfe durch welche Quadranten der Graph verläuft indem du einen x-Wert der kleiner als 0 und einen der größer als 0 ist, einsetzt.
$f(-2)=4\cdot(-2)^3$
$\phantom{f(-2)}=-32$
$f (2) = 32$
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Der Graph läuft durch den III und den I Quadranten .
Wertemenge
Gib die Wertemenge der Funktion an.
Es gibt keine Definitionslücken, weshalb man für x jeden Wert einsetzen kann. Das Ergebnis kann jede positive oder negative Zahl sein. Deshalb sind in der Wertemenge alle Zahlen enthalten.
$W=\mathbb{R}$
Grad
Lese den Grad der Potenzfunktion ab.
$f(x)=4x^{\textcolor{ff6600}{3}}\Rightarrow$ $\textcolor{ff6600}{n=3}$
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$f (x) = - 160 x^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzfunktion
Symmetrie
$f (x) = - 160 x^{2}$
Setze $- x$ in $f (x)$ ein, um die Symmetrie des Graphen zu ermitteln.
$f\left(-x\right)=-160(-x)^2$

$f\left(-x\right)=-160x^2=f(x)$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Somit ist der Graph achsensymmetrisch .
Verlauf des Graphen
Überprüfe durch welche Quadranten der Graph verläuft, indem du einen $x$ -Wert über 0 und einen unter 0 einsetzt.

$f(2)=-160\cdot2^2$

$f (2) = - 640$

$f(-2)=-160\cdot\left(-2\right)^2$

$f (- 2) = - 640$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Der Graph läuft durch den III. und IV. Quadranten.
Bemerkung: Das ist natürlich ein schrecklich ungenaues Verfahren.
Besser man sagt, dass $x^{2}$ nie negativ ist und daher $- 160 x^{2}$ nie posiitiv ist. Wegen des Definitionsbereichs muss der Graph dann durch den III. und IV. Quadranten laufen.
Wertemenge
Bestimme die Wertemenge:
Es gibt keine Definitionslücken, weshalb man für x jeden Wert einsetzen kann. Die Ergebnisse können aber nur negative Werte oder $0$ sein. Deshalb sind in der Wertemenge alle negativen Werte und die $0$ enthalten.
$W=\mathbb{R}^-_0$
Grad
Lese den Grad der Potenzfunktion ab.
$f(x)=-160x^{\textcolor{ff6600}{2}}\Rightarrow\textcolor{ff6600}{n=2}$
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$f (x) = - 1500 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzfunktion
Symmetrie
$f\left(x\right)=-1500x$
Setze $- x$ in $f (x)$ ein, um die Symmetrie des Graphen zu ermitteln.

$f\left(-x\right)=1500x=-f\left(x\right)$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Funktion ist punktsymmetrisch .
Verlauf des Graphen
Überprüfe durch welche Quadranten der Graph läuft, indem du einen x-Wert unter 0 und einen über 0 einsetzt.

$f\left(2\right)=-3000$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Der Graph verläuft durch den II und den IV Quadranten.
Wertemenge
Bestimme die Wertmenge der Funktion:
Es gibt keine Definitionslücken ,weshalb man für x jeden Wert einsetzen kann. Das Ergebnis kann jede positive oder negative Zahl sein. Deshalb sind in der Wertemenge alle Zahlen enthalten.
$W=\mathbb{R}$
Grad
Lese den Grad der Potenzfunktion ab.
$f(x) = -1500x=-1500x^\textcolor{ff6600}{1} \Rightarrow \textcolor{ff6600}{n=1}$
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$f\left(x\right)=\sqrt2\cdot x^6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzfunktion
Symmetrie
$f\left(x\right)=\sqrt2\cdot x^6$
Setze $- x$ in $f (x)$ ein, um die Symmetrie des Graphen zu ermitteln.
$f\left(-x\right)=\sqrt2\cdot\left(-x\right)^6$

$f\left(-x\right)=\sqrt2\cdot x^6=f(x)$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Somit ist der Graph achsensymmetrisch bezüglich der $y$ -Achse .
Allgemein sind alle geraden Potenzfunktionen achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.
Verlauf des Graphen
Überprüfe, durch welche Quadranten der Graph läuft, indem du einen Wert unter $0$ und einen über $0$ einsetzt.

$f\left(-2\right)=\sqrt2\cdot64$

$f\left(-2\right)\approx90{,}5$

$f\left(2\right)\approx90{,}5$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Der Graph verläuft durch den II. und I. Quadranten (oberhalb der $x$ -Achse).
Wertemenge
Bestimme die Wertemenge der Funktion:
Es gibt keine Definitionslücke, also kann man jeden Wert für $x$ einsetzen. Das Ergebnis kann aber aufgrund des Exponenten $6$ nicht negativ sein. Also sind in der Wertemenge alle positiven Werte und die $0$ enthalten.
$W=\mathbb{R}^+_0$
Grad
Lies den Grad der Potenzfunktion ab:
$f(x)=\sqrt{2}x^{\textcolor{ff6600}{6}}\Rightarrow\textcolor{ff6600}{n=6}$
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$f\left(x\right)=5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzfunktion
Hinweis: $f (x)$ kann man auch als $f(x)=5=5\cdot x^0$ auffassen $(x^{0} = 1)$ . Somit ist $f$ tatsächlich eine Potenzfunktion.
Symmetrie
$f\left(x\right)=5$
Der Graph hat für jeden $x$ -Wert den $y$ -Wert $5$ . Er verläuft also parallel zur $x$ -Achse.
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Der Graph ist achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.
Verlauf des Graphen
Überprüfe, durch welche Quadranten der Graph läuft, indem du einen $x$ -Wert unter $0$ und einen über $0$ einsetzt.
$f\left(-2\right)=5$
$f\left(2\right)=5$
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Der Graph verläuft durch den II. und I. Quadranten (oberhalb der x-Achse).
Wertemenge
Bestimme die Wertemenge der Funktion.
$W=\left\{5\right\}$
Nur der Wert $5$ gehört zu der Wertemenge dieser Funktion.
Grad
Gib den Grad der Funktion an.
$f(x)=5=5\cdot1=5\cdot x^{\textcolor{ff6600}{0}}\Rightarrow\textcolor{ff6600}{n=0}$
$x$ kommt in der Funktion nicht als Faktor vor. Somit ist der Grad der Potenzfunktion $0$ .
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
$f\left(x\right)=-25x^5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzfunktion
Symmetrie
$f\left(x\right)=-25x^5$
Setze $- x$ in $f (x)$ ein, um die Symmetrie des Graphen zu ermitteln.
$f\left(-x\right)=-25\left(-x\right)^5$

$f (- x) = 25 x^{5} = - f (x)$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Der Graph ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
Allgemein sind alle ungeraden Potenzfunktionen punktsymmetrisch zum Ursprung.
Verlauf des Graphen
Überprüfe, durch welche Quadranten der Graph läuft, indem du einen $x$ -Wert unter $0$ und einen über $0$ einsetzt.

$f\left(-2\right)=-25\left(-2\right)^5$

$f\left(-2\right)=800$

$f\left(2\right)=-800$

$\Rightarrow$ Der Graph verläuft durch den II. und IV. Quadranten.
Wertemenge
Bestimme die Wertemenge.
Es gibt keine Definitionslücken, weshalb man für $x$ jeden Wert einsetzen kann. Das Ergebnis kann jede positive oder negative Zahl sein. Deshalb sind in der Wertemenge alle Zahlen enthalten.
$W=\mathbb{R}$
Grad
Lies den Grad der Potenzfunktion ab.
$f(x)=-25x^{\textcolor{ff6600}{5}}\Rightarrow\textcolor{ff6600}{n=5}$
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Symmetrie

Verlauf des Graphen

Wertemenge

Grad

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Symmetrie

Verlauf des Graphen

Wertemenge

Grad

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Symmetrie

Verlauf des Graphen

Wertemenge

Grad

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Symmetrie

Verlauf des Graphen

Wertemenge

Grad

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Symmetrie

Verlauf des Graphen

Wertemenge

Grad

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Symmetrie

Verlauf des Graphen

Wertemenge

Grad

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