Gruppe A - lernen mit Serlo!

Ein gerader Kreiskegel hat den Radius r, die Höhe h und die Mantellinie m. Die Skizze zeigt den Kegel und ein zugehörigesStützdreieck.

Kreuze (nur) die richtigen Gleichungen an. (1 BE)
- $h^{2} = m^{2} - r^{2}$
- $m^{2} = h^{2} + r^{2}$
- $h^{2} = r^{2} + m^{2}$
- $m^{2} = h^{2} - r^{2}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Die Höhe $h$ steht senkrecht auf dem Radius $r$ . Das bedeutet, dass dort ein rechter Winkel ist. Somit kann der Satz des Pythagoras verwendet werden, um $m$ bzw. $h$ bzw. $r$ zu berechnen.
Die Katheten sind $r$ und $h$ und die Hypotenuse ist $m$ .
$m^{2} = h^{2} + r^{2}$
Das ist die erste Lösung, von der du durch Umformung auf die zweite Lösung kommst.
$m^{2}$ $=$ $h^{2} + r^{2}$ $- r^{2}$
$m^{2} - r^{2}$ $=$ $h^{2}$
$m^{2} - r^{2} = h^{2}$ ist die zweite Lösung.
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Für den Inhalt $A$ der Oberfläche des Kegels gilt die Formel $A = r π + r π m$ .
Gib für die beiden Summanden der Formel, $r^{2} π$ und $r π m$ , jeweils die Bedeutung für den Kegel an. (1 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberflächenberechnung eines Kegels
$A_{K r e i s} = r^{2} π$
$\Rightarrow$ Dies ist der Flächeninhalt des Kreises.
$A_{M a n t e l f l \ddot{a} c h e} = r π m$
$\Rightarrow$ Das ist der Flächeninhalt der Mantelfläche.
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Löse die Formel $A = r^{2} π + r π m$ nach $m$ auf. (1 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zusammenfassen, Ausmultiplizieren, Faktorisieren
$A$ $=$ $r^{2} π + r π m$
↓
$r$ und $π$ ausklammern.
$A$ $=$ $r π \cdot (r + m)$ $: (r π)$
$\frac{A}{r π}$ $=$ $r + m$ $- r$
$\frac{A}{r π} - r$ $=$ $m$
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Die Größen $r$ und $m$ werden jeweils verdreifacht.
Dann … sich der Inhalt der Oberfläche des Kegels. (1 BE)
- verneunfacht
- verdreifacht
- versechsfacht
- verzwölffacht
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zusammenfassen, Ausmultiplizieren, Faktorisieren
$A_{a l t} = r^{2} π + r π m$
$A_{n e u} = r_{neu}^{2} π + r_{neu} π m_{neu}$
Jetzt kannst du $m_{neu} = 3 m$ und $r_{neu} = 3 r$ einsetzen.
$A_{n e u}$ $=$ $(3 r)^{2} π + 3 r π \cdot 3 m$
$=$ $9 r^{2} \cdot π + 9 r π m$
$=$ $9 \cdot (r^{2} π + r π m)$
$=$ $9 \cdot A_{alt}$
Der Flächeninhalt verneunfacht sich.
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$A$	$=$	$r^{2} π + r π m$
	↓	$r$ und $π$ ausklammern.
$A$	$=$	$r π \cdot (r + m)$	$: (r π)$
$\frac{A}{r π}$	$=$	$r + m$	$- r$
$\frac{A}{r π} - r$	$=$	$m$

$A_{n e u}$	$=$	$(3 r)^{2} π + 3 r π \cdot 3 m$
	$=$	$9 r^{2} \cdot π + 9 r π m$
	$=$	$9 \cdot (r^{2} π + r π m)$
	$=$	$9 \cdot A_{alt}$

$m^{2}$	$=$	$h^{2} + r^{2}$	$- r^{2}$
$m^{2} - r^{2}$	$=$	$h^{2}$

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