Aufgaben zum Thema bedingte Wahrscheinlichkeit

Mehr Abiturientinnen als Abiturienten:

52,4% der 244600 Jugendlichen, die am Ende des vergangenen Schuljahres ihre Schule mit der allgemeinen Hochschulreife verließen, waren Frauen. In den neuen Ländern und in Berlin liegt der Frauenanteil mit 59,1% deutlich höher als im früheren Bundesgebiet (50,8%).

Stellen Sie eine 4-Feldtafel auf, die diesen Sachzusammenhang beschreibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: 4-Feldertafel

Stelle eine 4-Feldertafel auf

Definiere Ereignisse

Definiere die Ereignisse, die in der Aufgaben genannt wurden.

$A$ : Person kommt aus den alten Bundesländern (Westdeutschland)
$\overline A$ : Person kommt aus den neuen Bundesländern oder Berlin (Ostdeutschland)
$B$ : Person ist eine Frau
$\overline B$ : Person ist ein Mann

Berechne absolute Häufigkeiten

Berechne Anzahl der Ereignisse "Person ist weiblich".

$0{,}524 \cdot 244600 = 128170{,}4 \approx 128170$

Berechne Anzahl der Ereignisse "Person ist männlich".

$244600 - 128170 = 116430$

Definiere Anzahl der Absolventen aus dem Westen und aus dem Osten

$x$ : Anzahl der Absolventen West $244600-x$ : Anzahl der Absolventen Ost

Definiere Anzahl der weiblichen Absolventen aus jeweils Westen und Osten

$0{,}508 \cdot x$ : Anzahl der weiblichen Absolventen West

$0{,}591 \cdot (244600 - x)$ : Anzahl der weiblichen Absolventen West

Gib die Anzahl der weiblichen Absolventinnen als Summe der Absolventinnen aus Ost und West an.

$0{,}508 \cdot x + 0{,}591 \cdot (244600-x) = 128170$

Löse nach x auf und berechne so die Anzahl der Absolventen in Westdeutschland

$x = 197453$

Berechne damit jeweils die Anzahl der Absolventen und Absolventinnen in jeweils Ost und West.

	Zusammenfassung
weiblich West	$0{,}508 \cdot 197453 = 100306$
weiblich Ost	$128170 - 100306 = 27864$
männlich West	$197453 - 100306 = 97147$
männlich Ost	$116430 - 97147 = 19283$

Stelle eine Vierfeldertafel auf

Zeichne als erstes eine leere Vierfeldertafel.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ &\quad \mathrm{A}\quad & \quad \mathrm{\overline A}\quad & \ \\\hline\mathrm{B} & & & \\\hline\mathrm{\overline B} & & & \\\hline\ & & & \end{array}$

Trage die zuvor berechneten Informationen in die Vierfeldertafel ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ &\quad \mathrm{A}\quad & \quad \mathrm{\overline A}\quad & \ \\\hline\mathrm{B} & 100306 & 27864 & \\\hline\mathrm{\overline B} & 97147 & 19283 & \\\hline\ & & & 244600 \end{array}$

Ergänze die fehlenden Werte.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ &\quad \mathrm{A}\quad & \quad \mathrm{\overline A}\quad & \ \\\hline\mathrm{B} & 100306 & 27864 & 128170\\\hline\mathrm{\overline B} & 97147 & 19283 & 116430 \\\hline\ & 197453& 47147 &244600 \end{array}$

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Zeichnen Sie ein Baumdiagramm mit dem 1. Merkmal "Herkunft" (Ost, West) und dem 2. Merkmal "Geschlecht" (männlich, weiblich).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm
Zeichne ein Baumdiagramm
Ermittle Wahrscheinlichkeiten
Schreibe die zum Zeichnen des Baumdiagramms benötigten Wahrscheinlichkeiten auf. Verwende dazu die Informationen aus der Vierfeldertafel aus der ersten Teilaufgabe.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ &\quad \mathrm{A}\quad & \quad \mathrm{\overline A}\quad & \ \\\hline\mathrm{B} & 100306 & 27864 & 128170\\\hline\mathrm{\overline B} & 97147 & 19283 & 116430 \\\hline\ & 197453& 47147& 244600 \end{array}$
Berechne nun die benötigten relativen Häufigkeiten.
$P(A) = \frac{197453}{244600} = 0{,}807$
$P (\overline A) = \frac{47147}{244600} = 0{,}193$
$P(A \cap B) = \frac{100306}{244600} = 0{,}410$
$P(A \cap \overline B) = \frac{97147}{244600} = 0{,}397$
$P(\overline A \cap B) = \frac{27864}{244600} = 0{,}114$
$P(\overline A \cap B) = \frac{19283}{244600} = 0{,}079$
$P_{A} (B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{100306}{197453} = 0{,}508$
$P_{A} (\overline B) = \frac{P(A \cap \overline B)}{P(A)} = \frac{97147}{197453} = 0{,}492$
$P_{\overline A} (B) = \frac{P(\overline A \cap B)}{P(\overline A)} = \frac{27864}{47147} = 0{,}591$
$P_{\overline A} (\overline B) = \frac{P(\overline A \cap \overline B)}{P(\overline A)} = \frac{19283}{47147} = 0{,}409$
Zeichne das Baumdiagramm
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Zeichnen Sie ein Baumdiagramm mit dem 1. Merkmal "Geschlecht" (männlich, weiblich) und dem 2. Merkmal "Herkunft" (Ost, West).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm
Zeichne ein Baumdiagramm
Ermittle Wahrscheinlichkeiten
Schreibe die zum Zeichnen des Baumdiagramms benötigten Wahrscheinlichkeiten auf. Verwende dazu die Informationen aus der Vierfeldertafel aus der ersten Teilaufgabe.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ &\quad \mathrm{A}\quad & \quad \mathrm{\overline A}\quad & \ \\\hline\mathrm{B} & 100306 & 27864 & 128170\\\hline\mathrm{\overline B} & 97147 & 19283 & 116430 \\\hline\ & 197453& 47147& 244600 \end{array}$
Berechne nun die benötigten relativen Häufigkeiten.
$P(B) = \frac{128170}{244600} = 0{,}524$
$P (\overline B) = \frac{116430}{244600} = 0{,}476$
$P(A \cap B) = \frac{100306}{244600} = 0{,}410$
$P(A \cap \overline B) = \frac{97147}{244600} = 0{,}397$
$P(\overline A \cap B) = \frac{27864}{244600} = 0{,}114$
$P(\overline A \cap B) = \frac{19283}{244600} = 0{,}079$
$P_{B} (A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{100306}{128170} = 0{,}783$
$P_{B} (\overline A) = \frac{P(\overline A \cap B)}{P(B)} = \frac{27864}{128170} = 0{,}217$
$P_{\overline B} (A) = \frac{P(A \cap \overline B)}{P(\overline B)} = \frac{97147}{116430} = 0{,}834$
$P_{\overline B} (\overline A) = \frac{P(\overline A \cap \overline B)}{P(\overline B)} = \frac{19283}{116430} = 0{,}166$
Zeichne das Baumdiagramm
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Aus der Gesamtheit aller Abiturientinnen und Abiturienten des betrachteten Jahrgangs wurde eine Person zufällig ausgewählt.
(1) Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt diese Person aus Ostdeutschland?
(2) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die ausgewählte Person eine Frau?
(3) Falls diese Person aus Ostdeutschland kommt, mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dies ein Mann?
(4) Falls diese Person eine Frau ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt sie aus Westdeutschland?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit berechnen
Teilaufgabe 1
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person aus Ostdeutschland stammt.
Die Wahrscheinlichkeit beträgt $P(\overline A) = \frac{47147}{244600} = 0{,}193$ .
Teilaufgabe 2
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person eine Frau ist.
Die Wahrscheinlichkeit beträgt $P(B) = \frac{128170}{244600} = 0{,}524$ .
Teilaufgabe 3
Berechne die Wahrscheinlichkeit mit der die Person ein Mann ist, wenn bekannt ist, dass sie aus Ostdeutschland kommt.
Die Wahrscheinlichkeit ist $P_{\overline A} (\overline B) = \frac{P(\overline A \cap \overline B)}{P(\overline A)} = \frac{19283}{47147} = 0{,}409$ .
Teilaufgabe 4
Berechne die Wahrscheinlichkeit mit der diese Person aus Westdeutschland stammt, wenn bekannt ist, dass sie eine Frau ist.
Die Wahrscheinlichkeit ist $P_B (A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{100306}{128170} = 0{,}783$ .
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Berechne absolute Häufigkeiten

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Teilaufgabe 1

Teilaufgabe 2

Teilaufgabe 3

Teilaufgabe 4

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