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Durch Spiegelung von GfG_f an der Geraden x=4x=4 entsteht der Graph einer in ];8[]-\infty;8[ definierten Funktion gg. Dieser Graph wird mit GgG_g bezeichnet.

a)

2 BE

Zeichnen Sie GgG_g in Abbildung 1 ein.

b)

3 BE

Die beschriebene Spiegelung von GfG_f an der Geraden x=4x=4 kann durch eine Spiegelung von GfG_f an der y-Achse mit einer anschließenden Verschiebung ersetzt werden. Beschreiben Sie diese Verschiebung und geben Sie a,bRa,b\in\mathbb{R} an, sodass g(x)=f(ax+b)g(x)=f(ax+b) für x];8[x\,\in\,]-\infty;8[ gilt.

Im Folgenden wird die "w-förmige" Kurve kk betrachtet, die sich aus dem auf 0,2x4\,0{,}2\leq x\leq 4\, beschränkten Teil von GfG_f und dem auf 4<x7,8\,4<x\leq7{,}8\, beschränkten Teil von GgG_g zusammensetzt.

w-Kurve

Die Kurve kk wird um 1212 Einheiten in negative z-Richtung verschoben. Die dabei überstrichene Fläche dient als Modell für ein 12 Meter langes Aquarium, das durch zwei ebene Wände an Vorder- und Rückseite zu einem Becken ergänzt wird (vgl. Abbildung 2). Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem einem Meter in der Realität.

c)

3 BE

Die Aquariumwände bilden an der Unterseite einen Tunnel, durch den die Besucher hindurchgehen können. Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die linke und rechte Tunnelwand miteinander einschließen.

Das Aquarium wird vollständig mit Wasser gefüllt.

d)

2 BE

Berechnen Sie die größtmögliche Wassertiefe des Aquariums.

e)

3 BE

Das Volumen des Wassers im Aquarium lässt sich analog zum Rauminhalt eines Prismas mit Grundfläche GG und Höhe hh berechnen. Erläutern Sie, dass der Term 240,24(f(0,2)f(x))dx\displaystyle 24\cdot \int_{0{,}2}^4\left(f(0{,}2)-f(x)\right)dx das Wasservolumen im vollgefüllten Aquarium in Kubikmetern beschreibt.