Gegeben ist die in definierte Funktion . Abbildung 1 zeigt den Graphen von .
a)
(5 BE)
Zeigen Sie, dass und die einzigen Nullstellen von sind, und berechnen Sie die Koordinaten des Tiefpunkts von .
(zur Kontrolle:
b)
(6 BE)
Zeigen Sie, dass genau einen Wendepunkt besitzt, und bestimmen Sie dessen Koordinaten sowie die Gleichung der Tangente an im Punkt .
(zur Kontrolle: x-Koordinate von : e)
c)
(6 BE)
Begründen Sie, dass und gilt. Geben Sie und auf eine Dezimale genau an und zeichnen Sie den Graphen der Ableitungsfunktion unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1 ein.
d)
(3 BE)
Begründen Sie unter Zuhilfenahme von Abbildung 1, dass es zwei Werte gibt, für die gilt:.
Die gebrochen-rationale Funktion mit \ {0} stellt in einem gewissen Bereich eine gute Näherung für dar.
e)
(2 BE)
Geben Sie die Gleichungen der beiden Asymptoten des Graphen von an.
f)
(5 BE)
Im IV. Quadranten schließt zusammen mit der x-Achse und den Geraden mit den Gleichungen und ein Flächenstück ein, dessen Inhalt etwa beträgt. Ermitteln Sie die prozentuale Abweichung von diesem Wert, wenn bei der Berechnung des Flächeninhalts die Funktion als Näherung für die Funktion verwendet wird.
Für die Aufgaben ist der Graph der Funktion im Intervall vorgegeben, so dass als bekannt gelten darf, dass mindestens zwei Nullstellen und mindestens einen Tiefpunkt besitzt. Deren exakten Werte aber sind zu berechnen.
Lösung Teilaufgabe a)
Nullstellenberechnung
Setze zur Berechnung der Nullstellen den Funktionsterm von gleich Null.
Damit hast du gezeigt, dass auch außerhalb des Intervalls keine weiteren Nullstellen als und besitzt.
Damit ist der Punkt tatsächlich der (einzige) Tiefpunkt von .
Lösung Teilaufgabe b)
Bestimmung des Wendepunkts
Eine notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Wendepunktes ist, dass die 2. Ableitung an dieser Stelle 0 ist. Falls du die 2. Ableitung am Ende der Teilaufgabe a) noch nicht berechnet hast, musst du das jetzt tun. Setzte die 2. Ableitung also 0 und löse die Gleichung.
Der einzig mögliche Wendepunkt hat also die -Koordinate . Dies ist aber die bereits bekannte Nullstelle von , sodass die 2.Koordinate nicht berechnet werden muss: ist der einzig mögliche Wendepunkt.
Damit sich tatsächlich als ein Wendepunkt erweist, musst du zeigen, dass die 3. Ableitung von für von 0 verschieden ist.
Oder du zeigst - unter Verzicht auf die Benutzung der 3. Ableitung - dass links bzw. rechts von verschiedenes Vorzeichen hat, die Krümmung also wechselt.
Dieser Nachweis wird im Folgenden durchgeführt.
Für einen Punkt links von gilt:
Für einen Punkt rechts von gilt:
Damit ist gezeigt, dass der Graph von links von linksgekrümmt und rechts von rechtsgekrümmt ist, also tatsächlich ein Wendepunkt ist.
Tangentengleichung
Zur Ermittlung der Gleichung der Tangente in einem beliebigen Punkt von kannst du folgende Formel benutzen:
Setze die Koordinaten von und den Wert für in die Formel ein:
Lösung Teilaufgabe c)
In dieser Teilaufgabe sind durch Grenzwertberechnungen bei die Asymptoten des Graphen von zu bestimmen und anhand bereits bekannter Eigenschaften dieses Graphen ist eine Skizze zu fertigen.
Grenzwertberechnungen für
Der Grenzwert für
Plausibilitätsüberlegung:
Ein Produkt mit einem positiven und einem negativen Faktor ist negativ und sein Betrag ist beliebig groß ( "), wenn jeder Faktor selbst dem Betrag nach beliebig groß ist.
Graphische Bedeutung des Grenzwerts:
Die -Achse ist senkrechte Asymptote des Graphen von -
Die -Achse ist waagrechte Asymptote des Graphen von .
Skizze des Graphen von
Zum Zeichnen der Skizze des Graphen von verwendest du folgende Kenntnisse über den Graphen:
Die Nullstelle von :
Den Hochpunkt von : .
ist senkrechte Asymptote
ist waagrechte Asymptote
Lösung Teilaufgabe d)
In dieser Aufgabe ist die obere Grenze eines bestimmten Integrals so zu bestimmen, dass das Integral den Wert hat.
Für welche Werte gilt
?
Zur Lösung der Aufgabe führst du deine Überlegungen anhand des gegebenen Graphen von in der Abbildung 1 durch.
Integralgrenzen beachten
Jedes bestimmte Integral hat den Wert , wenn untere und obere Grenze übereinstimmen.
Also:
ist eine Lösung der Aufgabe, da .
Flächenbilanz beachten
Ein bestimmtes Integral misst die "Flächenbilanz" der vom Graphen der Funktion, der -Achse und den Ordinaten der Grenzen gebildete Fläche.
In unserer Aufgabe brauchst du die einzelnen Flächen für die "Flächenbilanz" nicht zu berechnen. Es genügt, sie abzuschätzen.
Du überlegst zum Beispiel so:
Für ein ist genau dann , wenn der Betrag des negativen Flächenteils gleich dem positiven Flächenanteil, die "Flächenbilanz" also ausgeglichen ist.
Dass es ein passendes aus dem Intervall geben muss, begründest du so:
Einen ausreichend genauen Schätzwert für den Betrag des negativen Flächenteils erhält man z.B. durch Abzählen von "Viertel-Einheitsquadrat-Kästchen" mit .
Den positiven Flächenteil bis schätzt man in gleicher Weise und erhält mit einen zu großen positiven Flächenanteil.
Da bei stetiger Vergrößerung von über hinaus auch der positive Flächenteil stetig zunimmt, muss es ein mit geben, sodass , das Gesamtintegral also den Wert ergibt.
Mit dem Applet kannst du durch Verschieben des Punktes einen passenden Wert für ermitteln.
Lösung Teilaufgabe e)
Für diese Aufgabe sind die Grenzwerte und zu berechnen.
Die Funktion hat an der nicht definierten Stelle eine ungerade Polstelle mit einer senkrechten Asymptote, da gilt:
und
Die Funktion hat für die schräge Asymptote mit der Gleichung , da gilt:
.
Beachte:
Mit führt man die beiden Grenzwertüberlegungen für und für "in einem Zug durch".
Der Graph hat also eine senkrechte Asymptote bei und eine schräge Asymptote mit .
Lösung Teilaufgabe f)
Das Integral kann mit der Fläche des Integrals verglichen werden, wenn auch - so wie - im Intervall keine Nullstelle besitzt.
Nullstellen von :
Setze den Funktionsterm gleich 0.
Keine der Nullstellen liegt im Integrationsintervall. Somit kann die "Ersatzfläche" mit dem Integral
berechnet werden.
Die absolute Änderung der beiden zu vergleichenden Flächen beträgt somit etwa
Die prozentuale Änderung beträgt dann
.
Wenn du Zeit und Lust hast, kannst du natürlich für auch noch ihren Graphen skizzieren und dir einen graphischen Eindruck von der guten Näherung im Intervall verschaffen.
Durch Spiegelung von an der Geraden entsteht der Graph einer in definierten Funktion . Dieser Graph wird mit bezeichnet.
a)
2 BE
Zeichnen Sie in Abbildung 1 ein.
b)
3 BE
Die beschriebene Spiegelung von an der Geraden kann durch eine Spiegelung von an der y-Achse mit einer anschließenden Verschiebung ersetzt werden. Beschreiben Sie diese Verschiebung und geben Sie an, sodass für gilt.
Im Folgenden wird die "w-förmige" Kurve betrachtet, die sich aus dem auf beschränkten Teil von und dem auf beschränkten Teil von zusammensetzt.
Die Kurve wird um Einheiten in negative z-Richtung verschoben. Die dabei überstrichene Fläche dient als Modell für ein 12 Meter langes Aquarium, das durch zwei ebene Wände an Vorder- und Rückseite zu einem Becken ergänzt wird (vgl. Abbildung 2). Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem einem Meter in der Realität.
c)
3 BE
Die Aquariumwände bilden an der Unterseite einen Tunnel, durch den die Besucher hindurchgehen können. Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die linke und rechte Tunnelwand miteinander einschließen.
Das Aquarium wird vollständig mit Wasser gefüllt.
d)
2 BE
Berechnen Sie die größtmögliche Wassertiefe des Aquariums.
e)
3 BE
Das Volumen des Wassers im Aquarium lässt sich analog zum Rauminhalt eines Prismas mit Grundfläche und Höhe berechnen. Erläutern Sie, dass der Term das Wasservolumen im vollgefüllten Aquarium in Kubikmetern beschreibt.
In dieser Aufgabe wird durch eine abschnittsweise definierte Funktion ein geometrischer Körper modelliert.
Lösung Teilaufgabe a)
Die aus Aufgabe 1 gegebene Funktion soll an der Geraden gespiegelt werden.
Spiegele den Graphen von punktweise.
Folgende Punkte sollten "millimetergenau" passen:
Die Nullstellen und der Tiefpunkt sowie der gemeinsame Schnittpunkt auf der Spiegelungsachse.
In der Skizze sollte deutlich zum Ausdruck kommen, dass die Gerade für den Graphen von senkrechte Asymptote ist. Achte auch auf das Krümmungsverhalten des Graphen.
Lösung Teilaufgabe b)
Die Spiegelung an der Geraden ist durch eine Spiegelung an der -Achse und eine anschließende Verschiebung längs der -Achse zu ersetzen.
Wenn gelten soll, dass
,
so ist und entspricht der Spiegelung von an der -Achse.
Und entspricht einer Verschiebung um in Richtung der positiven Achse.
Somit gilt:
.
Beachte: Wegen der Spiegelung an der -Achse ist , also positiv, und nicht wie normalerweise bei einer Verschiebung in positive -Richtung negativ.
Lösung Teilaufgabe c)
Mit einer abschnittsweise definierten Kurve und deren räumliche Verschiebung wird ein geometrischer Körper ("Aquarium") modelliert.
Winkelberechnung
Der gesuchte Winkel, den die Tunnelwände miteinander einschließen, entspricht dem Winkel, den in der Querschnittzeichnung der Graphen die Tangenten und miteinander einschließen.
Zwei Körper besitzen dasselbe Volumen, wenn alle ihre Schnittflächen in Ebenen parallel zu einer Grundebene in entsprechenden Höhen den gleichen Flächeninhalt haben.
Für das Prisma leitet man hieraus die Formel für sein Volumen ab:
.
In Übertragung der Überlegung auf das Aquarium gilt somit:
Volumenberechnung
Die Fläche der Vorderseite des Aquariums ist im Modell der Inhalt der von der Geraden und den Graphen der Funktionen und begrenzten Fläche.
Da es sich um eine zur Geraden symmetrische Fläche handelt, gilt:
.
In Analogie zur Volumenformel für das Prisma gilt dann wegen der Höhe des Aquariums für dessen Volumen:
Da eine Längeneinheit bei der Modellierung einem Meter in der Realität entspricht, beschreibt der gewonnene Term das Wasservolumen des vollgefüllten Aquariums in Kubikmetern.
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