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Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die in R+\mathbb{R}^+ definierte Funktion f:x2((lnx)21)f:x\mapsto \displaystyle 2\cdot \left(\left(lnx\right)^2-1\right). Abbildung 1 zeigt den Graphen GfG_f von ff.

    Abbildung 1

    a)

    (5 BE)

    Zeigen Sie, dass x=e1x=e^{-1} und x=ex=e die einzigen Nullstellen von ff sind, und berechnen Sie die Koordinaten des Tiefpunkts TT von GfG_f.

    (zur Kontrolle: f(x)=4xlnx)f'(x)=\frac{4}{x} \cdot lnx)

    b)

    (6 BE)

    Zeigen Sie, dass GfG_f genau einen Wendepunkt WW besitzt, und bestimmen Sie dessen Koordinaten sowie die Gleichung der Tangente an GfG_f im Punkt WW.

    (zur Kontrolle: x-Koordinate von WW: e)

    c)

    (6 BE)

    Begründen Sie, dass limx0f(x)=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}f'(x)=-\infty und limx+f(x)=0\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=0 gilt. Geben Sie f(0,5)f'(0{,}5) und f(10)f'(10) auf eine Dezimale genau an und zeichnen Sie den Graphen der Ableitungsfunktion ff' unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1 ein.

    d)

    (3 BE)

    Begründen Sie unter Zuhilfenahme von Abbildung 1, dass es zwei Werte c]0;6]c\in\, ]0;6] gibt, für die gilt:e1cf(x)dx=0\displaystyle \int_{e^{-1}}^cf(x)dx=0.

    Die gebrochen-rationale Funktion h:x1,5x4,5+1xh:x\,\mapsto\,1{,}5x-4{,}5+\frac{1}{x} mit xRx\,\in\,\mathbb{R}\ {0} stellt in einem gewissen Bereich eine gute Näherung für ff dar.

    e)

    (2 BE)

    Geben Sie die Gleichungen der beiden Asymptoten des Graphen von hh an.

    f)

    (5 BE)

    Im IV. Quadranten schließt GfG_f zusammen mit der x-Achse und den Geraden mit den Gleichungen x=1x=1 und x=2x=2 ein Flächenstück ein, dessen Inhalt etwa 1,6231{,}623 beträgt. Ermitteln Sie die prozentuale Abweichung von diesem Wert, wenn bei der Berechnung des Flächeninhalts die Funktion hh als Näherung für die Funktion ff verwendet wird.

  2. 2

    Durch Spiegelung von GfG_f an der Geraden x=4x=4 entsteht der Graph einer in ];8[]-\infty;8[ definierten Funktion gg. Dieser Graph wird mit GgG_g bezeichnet.

    a)

    2 BE

    Zeichnen Sie GgG_g in Abbildung 1 ein.

    b)

    3 BE

    Die beschriebene Spiegelung von GfG_f an der Geraden x=4x=4 kann durch eine Spiegelung von GfG_f an der y-Achse mit einer anschließenden Verschiebung ersetzt werden. Beschreiben Sie diese Verschiebung und geben Sie a,bRa,b\in\mathbb{R} an, sodass g(x)=f(ax+b)g(x)=f(ax+b) für x];8[x\,\in\,]-\infty;8[ gilt.

    Im Folgenden wird die "w-förmige" Kurve kk betrachtet, die sich aus dem auf 0,2x4\,0{,}2\leq x\leq 4\, beschränkten Teil von GfG_f und dem auf 4<x7,8\,4<x\leq7{,}8\, beschränkten Teil von GgG_g zusammensetzt.

    w-Kurve

    Die Kurve kk wird um 1212 Einheiten in negative z-Richtung verschoben. Die dabei überstrichene Fläche dient als Modell für ein 12 Meter langes Aquarium, das durch zwei ebene Wände an Vorder- und Rückseite zu einem Becken ergänzt wird (vgl. Abbildung 2). Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem einem Meter in der Realität.

    c)

    3 BE

    Die Aquariumwände bilden an der Unterseite einen Tunnel, durch den die Besucher hindurchgehen können. Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die linke und rechte Tunnelwand miteinander einschließen.

    Das Aquarium wird vollständig mit Wasser gefüllt.

    d)

    2 BE

    Berechnen Sie die größtmögliche Wassertiefe des Aquariums.

    e)

    3 BE

    Das Volumen des Wassers im Aquarium lässt sich analog zum Rauminhalt eines Prismas mit Grundfläche GG und Höhe hh berechnen. Erläutern Sie, dass der Term 240,24(f(0,2)f(x))dx\displaystyle 24\cdot \int_{0{,}2}^4\left(f(0{,}2)-f(x)\right)dx das Wasservolumen im vollgefüllten Aquarium in Kubikmetern beschreibt.


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