Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

a)

(5 BE)

Zeigen Sie, dass $x=e^{-1}$ und $x=e$ die einzigen Nullstellen von $f$ sind, und berechnen Sie die Koordinaten des Tiefpunkts $T$ von $G_f$.

(zur Kontrolle: $f'(x)=\frac{4}{x} \cdot lnx)$

b)

(6 BE)

Zeigen Sie, dass $G_f$ genau einen Wendepunkt $W$ besitzt, und bestimmen Sie dessen Koordinaten sowie die Gleichung der Tangente an $G_f$ im Punkt $W$.

(zur Kontrolle: x-Koordinate von $W$: e)

c)

(6 BE)

Begründen Sie, dass $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}f'(x)=-\infty$ und $\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=0$ gilt. Geben Sie $f'(0{,}5)$ und $f'(10)$ auf eine Dezimale genau an und zeichnen Sie den Graphen der Ableitungsfunktion $f'$ unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1 ein.

d)

(3 BE)

Begründen Sie unter Zuhilfenahme von Abbildung 1, dass es zwei Werte $c\in\, ]0;6]$ gibt, für die gilt:$\displaystyle \int_{e^{-1}}^cf(x)dx=0$.

e)

(2 BE)

Geben Sie die Gleichungen der beiden Asymptoten des Graphen von $h$ an.

f)

(5 BE)

Im IV. Quadranten schließt $G_f$ zusammen mit der x-Achse und den Geraden mit den Gleichungen $x=1$ und $x=2$ ein Flächenstück ein, dessen Inhalt etwa $1{,}623$ beträgt. Ermitteln Sie die prozentuale Abweichung von diesem Wert, wenn bei der Berechnung des Flächeninhalts die Funktion $h$ als Näherung für die Funktion $f$ verwendet wird.

a)

2 BE

Zeichnen Sie $G_g$ in Abbildung 1 ein.

b)

3 BE

Die beschriebene Spiegelung von $G_f$ an der Geraden $x=4$ kann durch eine Spiegelung von $G_f$ an der y-Achse mit einer anschließenden Verschiebung ersetzt werden. Beschreiben Sie diese Verschiebung und geben Sie $a,b\in\mathbb{R}$ an, sodass $g(x)=f(ax+b)$ für $x\,\in\,]-\infty;8[$ gilt.

c)

3 BE

Die Aquariumwände bilden an der Unterseite einen Tunnel, durch den die Besucher hindurchgehen können. Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die linke und rechte Tunnelwand miteinander einschließen.

d)

2 BE

Berechnen Sie die größtmögliche Wassertiefe des Aquariums.

e)

3 BE

Das Volumen des Wassers im Aquarium lässt sich analog zum Rauminhalt eines Prismas mit Grundfläche $G$ und Höhe $h$ berechnen. Erläutern Sie, dass der Term $\displaystyle 24\cdot \int_{0{,}2}^4\left(f(0{,}2)-f(x)\right)dx$ das Wasservolumen im vollgefüllten Aquarium in Kubikmetern beschreibt.