Aufgaben zur Kettenregel - lernen mit Serlo!

Finde die zugehörige Funktion zu den gegeben Ableitungen (durch Hinsehen). Beim Ableiten wurde die Kettenregel verwendet!

$f^{'} (x) = \cos (x^{2} + 1) \cdot 2 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
Formuliere zunächst die Kettenregel:
${(g (h (x)))}^{'} = g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x)$
Bei der Ableitung wurde die Kettenregel angewendet. Die gesuchte Funktion hat also die Form: $f (x) = g (h (x))$ .
Die Ableitung hat dann die Form $f^{'} (x) = g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x)$
Bestimme mit dieser Formel durch Hinsehen die Teilfunktionen $g^{'} (x)$ , $h (x)$ und $h^{'} (x)$
$\begin{array}{rcccc} f^{'} (x) & = & \cos (x^{2} + 1) & \cdot & 2 x \\ = & g^{'} (h (x)) & \cdot & h^{'} (x) \end{array}$
Stelle eine Vermutung auf, was die gesuchten Teile sind. Das musst du dann aber noch überprüfen!
Vermutung
Stelle zunächst eine Vermutung auf für $h^{'} (x) = \dots ?$ und $g^{'} (h (x)) = \dots ?$
$h ´ (x)$ $=$ $2 x$
$g ´ (h (x))$ $=$ $\cos (x^{2} + 1)$
↓
Bestimme $g^{'} (x)$ und $h (x)$
$g ´ (x)$ $=$ $\cos (x)$
$h (x)$ $=$ $x^{2} + 1$
Überprüfe nun, ob die Ableitung $h^{'}$ und Funktion $h$ überhaupt zusammenpassen. Leite dafür $h$ ab.
$h (x) = x^{2} + 1$
Bestimme die Ableitung
$h^{'} (x) = (x^{2} + 1)^{'} = 2 x$
Die Vermutung $h^{'} (x) = 2 x$ passt also zu $h (x) = x^{2} + 1$ .
Funktion f bestimmen
Gesucht: $f (x) = g (h (x))$
Bekannt: $\begin{matrix} h (x) & = & x^{2} + 1 \\ g^{'} (x) & = & \cos (x) \end{matrix}$
Die Teilfunktion $h (x)$ kennst du bereits, also musst du nur noch $g (x)$ bestimmen. Überlege dir, welche Funktion die Ableitung $g^{'} (x) = \cos (x)$ hat.
$\Rightarrow g (x) = \sin (x)$
Setze nun in die Formel ein
$f (x) = g (h (x)) = \sin (x^{2} + 1)$
Zur Probe kannst du nochmal die Ableitung zu deiner gefunden Funktion bestimmen.
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$f^{'} (x) = e^{x^{4}} \cdot 4 x^{3}$
$f^{'} (x) = \frac{2}{2 x + 7}$
$f^{'} (x) = 2 s i n (x) \cdot c o s (x)$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$h ´ (x)$	$=$	$2 x$
$g ´ (h (x))$	$=$	$\cos (x^{2} + 1)$
	↓	Bestimme $g^{'} (x)$ und $h (x)$
$g ´ (x)$	$=$	$\cos (x)$
$h (x)$	$=$	$x^{2} + 1$

Vermutung

Funktion f bestimmen

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