Formuliere zunächst die Kettenregel:

Bei der Ableitung wurde die Kettenregel angewendet. Die gesuchte Funktion hat also die Form: $f(x)=g(h(x))f(x)\; =\; g(h(x))$.

Die Ableitung hat dann die Form $f^{\mathrm{\prime }}(x)=g^{\mathrm{\prime }}(h(x))\cdot h^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)\; =\; g\text{'}(h(x))\; \backslash cdot\; h\text{'}(x)$

Bestimme mit dieser Formel durch Hinsehen die Teilfunktionen $g^{\mathrm{\prime }}(x)g\text{'}(x)$, $h(x)h(x)$ und $h^{\mathrm{\prime }}(x)h\text{'}(x)$

Stelle eine Vermutung auf, was die gesuchten Teile sind. Das musst du dann aber noch überprüfen!

Vermutung

Stelle zunächst eine Vermutung auf für $h^{\mathrm{\prime }}(x)=\dots ?h\text{'}(x)\; =\; \backslash ldots\; ?$ und $g^{\mathrm{\prime }}(h(x))=\dots ?g\text{'}(h(x))\; =\; \backslash ldots\; ?$

Überprüfe nun, ob die Ableitung $h^{\mathrm{\prime }}h\text{'}$ und Funktion $hh$ überhaupt zusammenpassen. Leite dafür $hh$ ab.

$h^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^2+1{)}^{\mathrm{\prime }}=2xh\text{'}(x)\; =\; (x^2+1)\text{'}=2x$

Die Vermutung $h^{\mathrm{\prime }}(x)=2xh\text{'}(x)=2x$ passt also zu $h(x)=x^2+1h(x)\; =\; x^2\; +\; 1$.

Funktion f bestimmen

Gesucht: $f(x)=g(h(x))f(x)=g(h(x))$