Aufgaben zur Kettenregel - lernen mit Serlo!

Finde die zugehörige Funktion zu den gegeben Ableitungen (durch Hinsehen). Beim Ableiten wurde die Kettenregel verwendet!

$f'\left(x\right) = \cos\left(x^2+1\right) \cdot 2x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel

Formuliere zunächst die Kettenregel:

$\left(g(h(x)) \right)' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$

Bei der Ableitung wurde die Kettenregel angewendet. Die gesuchte Funktion hat also die Form: $f(x) = g(h(x))$ .

Die Ableitung hat dann die Form $f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$

Bestimme mit dieser Formel durch Hinsehen die Teilfunktionen $g'(x)$ , $h(x)$ und $h'(x)$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccc}f'(x) & = & \cos\left(x^2+1\right)&\cdot & 2x \\& = & g'(h(x)) &\cdot &h'(x)\end{array}$

Stelle eine Vermutung auf, was die gesuchten Teile sind. Das musst du dann aber noch überprüfen!

Vermutung

Stelle zunächst eine Vermutung auf für $h'(x) = \ldots ?$ und $g'(h(x)) = \ldots ?$

$\displaystyle h´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x$
$\displaystyle g´\left(h\left(x\right)\right)$	$=$	$\displaystyle \cos\left(x^2+1\right)$
	↓	Bestimme $g'(x)$ und $h(x)$
$\displaystyle g´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \cos\left(x\right)$
$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+1$

Überprüfe nun, ob die Ableitung $h'$ und Funktion $h$ überhaupt zusammenpassen. Leite dafür $h$ ab.

$h(x) = x^2+1$

Bestimme die Ableitung

$h'(x) = (x^2+1)'=2x$

Die Vermutung $h'(x)=2x$ passt also zu $h(x) = x^2 + 1$ .

Funktion f bestimmen

Gesucht: $f(x)=g(h(x))$

Bekannt: $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}h(x) &=& x^2+1\\g'(x)&=&\cos\left(x\right)\end{array}$

Die Teilfunktion $h(x)$ kennst du bereits, also musst du nur noch $g(x)$ bestimmen. Überlege dir, welche Funktion die Ableitung $g'(x) = \cos(x)$ hat.

$\Rightarrow g(x)=\sin(x)$

Setze nun in die Formel ein

$f(x) =g(h(x)) =\sin(x^2+1)$

Zur Probe kannst du nochmal die Ableitung zu deiner gefunden Funktion bestimmen.

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇