Die Aufgabe verlangt die Lösung einer quadratischen Ungleichung.

Für das Volumen $VV$ eines quaderförmigen Päckchens mit den Seiten $l,b,hl,b,h$ gilt:

Da gilt $V=21d{m}^3=21000c{m}^{3}V=21\backslash ,dm^3=21000\backslash ,cm^3$ und $l=35cml=35\backslash ,cm$ ergibt sich:

$35\cdot b\cdot h=2100035\backslash cdot\; b\backslash cdot\; h=21000$.

Somit gilt:

$b\cdot h=600b\backslash cdot\; h=600$

Also:

${\displaystyle h=\frac{600}{b}}\backslash displaystyle\; h=\backslash frac\{600\}\{b\}$.

Betrachtet man die Größe $bb$ als unabhängige und $hh$ als abhängige Variable, so ist der Zusammenhang der beiden Päckchenseiten $bb$ und $hh$ der einer gebrochenrationale Funktion.

Der Definitionsbereich dieser Funktion - d.h. welche Werte für $bb$ in Frage kommen - bestimmt sich nun durch die Größenbegrenzungen in den Tarifbestimmungen der Post.

Mit der vorgegebenen Seitenlänge $l=35\mathrm{c}\mathrm{m}l=35\backslash ,\backslash mathrm\{cm\}$ ergibt sich für die zulässige Summe der drei Päckchenmaße die Ungleichung:

Setzt man $hh$ in die Volumengleichung $21000=35\cdot b\cdot h21000=35\backslash cdot\; b\backslash cdot\; h$ ein, so ergibt sich die Ungleichung

$21000\le 35b(55-b)21000\backslash color\{red\}\{\backslash leq\}35b(55-b)$

So löst man die sich ergebende quadratische Ungleichung:

Löse die Gleichung mit der Mitternachtsformel:

Damit ist die gesuchte Lösungsmenge der $\text{Ungleichung}\backslash color\{red\}\{\backslash text\{Ungleichung\}\}\backslash ;$ $b^2-55b+600\le 0b^2-55b+600\backslash color\{red\}\{\backslash leq\}0$ das Intervall $[15;40][15;40]$ zwischen den beiden Nullstellen, da der quadratische Term eine nach oben geöffnete Parabel ergibt.

Im nachfolgenden Applet kannst du durch Verschieben des Gleitpunktes $PP$ an dessen Koordinaten die Breiten- und Höhenwerte aller in Frage kommenden Päckchen mit dem Volumen $21d{m}^{3}21\backslash ,dm^3$ ablesen.

Keine Seite der Päckchen überschreitet dabei die zusätzliche Begrenzung von $60cm60\backslash ,cm$.

Bei dieser Teilaufgabe handelt es sich um eine Extremwertbestimmung mit der Zielfunktion des Volumens eines Quaders.

Zielfunktion

$V(l;b;h)=l\cdot b\cdot hV(l;b;h)=l\backslash cdot\; b\backslash cdot\; h$

wenn $ll$, $bb$ und $hh$ die Maße für Länge, Breite und Höhe der Päckchen sind.

Nebenbedingungen sind:

1. $l=35cml=35\backslash ,cm$

2. Der maximale Wert der Summe aus Länge, Breite und Höhe beträgt $90cm90\backslash ,cm$.

   Also: $l+b+h=90cml+b+h=90\backslash ,cm$.

   Somit :

Damit ergibt sich durch Einsetzen von $ll$ und $hh$ in $V(l,b,h)V(l,b,h)$:

bzw.

Interpretation der Zielfunktion:

V ist eine ganzrationale Funktion 2. Grades mit negativem Leitkoeffizienten. Ihr Graph demnach eine nach unten geöffnete Parabel. Die Nullstelle von $V^{\mathrm{\prime }}V\text{'}$ ergibt somit ein absolutes Maximum von $VV$.

Gemäß den Tarifbestimmungen git für den Definitionsbereich von $VV$:${\mathbb{D}}_V=[1;60]\backslash quad\backslash quad\backslash mathbb\{D\}\_V=[1;60]$

$V^{\mathrm{\prime }}(b)=-70b+1925\text{Setze V’(b)=0}V\text{'}(b)=-70b+1925\backslash quad\backslash text\{Setze\; V\text{'}(b)=0\}$:

$\Rightarrow V_{max}=-35\cdot {\mathrm{27,5}}^2+1925\cdot \mathrm{27,5}=\mathrm{26468,75}\backslash Rightarrow\; V\_\{max\}\; =\; -35\backslash cdot\; 27\{,\}5^2+1925\backslash cdot\; 27\{,\}5\; =\; 26468\{,\}75$

Ergebnis:

Bei einer vorgegebenen Seitenlänge von $35cm35\backslash ,cm$ kann bei DHL im Tarif Päckchen international ein quaderförmiges Päckchen bis zu einem Volumen von rund $\mathrm{26,4}d{m}^{3}26\{,\}4\backslash ,dm^3$ versandt werden.

$ll$ mit $1cm\le l\le 60cm1\backslash ,cm\backslash leq\; l\backslash leq60\backslash ,cm$ sei die vorgegebene Seitenlänge.

Zielfunktion

$V(b;h)=l\cdot b\cdot hV(b;h)=l\backslash cdot\; b\backslash cdot\; h$

Nebenbedingung

$hh$ in $V(b;h)V(b;h)$ einsetzen:

$V(b)=l\cdot b\cdot (90-l-b)V(b)=l\backslash cdot\; b\backslash cdot\; (90-l-b)$

bzw.

$V(b)=-l\cdot b^2+l(90-l)bV(b)=-l\backslash cdot\; b^2+l(90-l)b$

Interpretation der Zielfunktion:

$VV$ mit ${\mathbb{D}}_V=[1;60]\backslash mathbb\{D\}\_V=[1;60]$ ist eine ganzrationale Funktion 2. Grades mit negativem Leitkoeffizienten. Ihr Graph ist demnach eine nach unten geöffnete Parabel. Die Nullstelle von $V^{\mathrm{\prime }}V\text{'}$ ergibt somit ein maximales Volumen.

$V^{\mathrm{\prime }}(b)=-2l\cdot b+l(90-l)\text{Setze V’(b) gleich Null}\mathrm{.}V\text{'}(b)=-2l\backslash cdot\; b+l(90-l)\backslash quad\backslash quad\backslash text\{Setze\; V\text{'}(b)\; gleich\; Null\}.$

$b_{max}b\_\{max\}$ in die 2. Nebenbedingung eingesetzt ergibt:

$h_{max}=90-l-{\displaystyle \frac{90-l}{2}}\backslash quad\backslash quad\; \backslash quad\; h\_\{max\}=90-l-\backslash displaystyle\; \backslash frac\{90-l\}\{2\}$

$h_{max}={\displaystyle \frac{90-l}{2}\Rightarrow b_{max}=h_{max}}\backslash quad\backslash quad\backslash quad\; h\_\{max\}=\backslash displaystyle\; \backslash frac\{90-l\}\{2\}\backslash quad\backslash Rightarrow\backslash quad\; b\_\{max\}=h\_\{max\}$

Ergebnis

Bei einer beliebig vorgegebenen zulässigen Päckchenseite sind beim zugehörigen volumenmäßig größten Päckchen die beiden anderen Seiten gleich lang. Das heißt, dieses Päckchen hat einen quadratischen Querschnitt.

Aus der Teilaufgabe c) ergibt sich für volumenmäßig größte Päckchen in Abhängigkeit der gegebene Seitenlänge $ll$:

$V(l)=-l\cdot b^2+l(90-l)bV(l)=-l\backslash cdot\; b^2+l(90-l)b\backslash quad\backslash quad$mit$b={\displaystyle \frac{90-l}{2}}\backslash quad\; b=\backslash displaystyle\backslash frac\{90-l\}\{2\}$

$bb$ eingesetzt ergibt die gesuchte Funktion:

$V(l)=-l\cdot {\displaystyle {\left(\frac{90-l}{2}\right)}^2+l(90-l)\cdot \frac{90-l}{2}}V(l)=-l\backslash cdot\; \backslash displaystyle\; \backslash left(\backslash frac\{90-l\}\{2\}\backslash right)^2+l(90-l)\backslash cdot\; \backslash frac\{90-l\}\{2\}$

$V(l)=-{\displaystyle \frac{l(90-l{)}^2}{4}+\frac{l(90-l{)}^2}{2}}V(l)=-\backslash displaystyle\; \backslash frac\{l(90-l)^2\}\{4\}+\backslash frac\; \{l(90-l)^2\}\{2\}$

$V(l)={\displaystyle \frac{1}{4}\cdot l(90-l{)}^2{\mathbb{D}}_V=[1;60]}V(l)=\backslash displaystyle\; \backslash frac\{1\}\{4\}\backslash cdot\; l(90-l)^2\backslash quad\backslash quad\backslash mathbb\{D\}\_V=[1;60]$

Interpretation des Ergebnisses

Die volumengrößten Päckchen, die sich bei Vorgabe einer Päckchenseite ergeben, folgen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades.

Deren Maximum ergibt sich für $l=30l=30$ mit $V=27000c{m}^{3}V=27000\backslash ,cm^3$.

Für dieses Päckchen erhält man $b=h=30cmb=h=30\backslash ,cm$. Somit einen Würfel.

Die nachfolgende Zeichnung fasst die Ergebnisse zusammen.