Aufgaben zur Produktregel - lernen mit Serlo!

\displaystyle g\left(x\right)

=

\displaystyle \ln\left(-x^2+1\right)\cdot x^2

=

\displaystyle \frac{1}{-x^2+1}\cdot-2x\cdot x^2+\ln\left(-x^2+1\right)\cdot2x

=

\displaystyle \frac{-2x^3}{-x^2+1}+\ln\left(-x^2+1\right)\cdot2x

=

\displaystyle 2x\left(\frac{-x^2}{-x^2+1}+\ln\left(-x^2+1\right)\right)

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2\cdot e^{-x}$
	↓	Benutze die Produktregel und die Kettenregel.
	$=$	$\displaystyle 2x\cdot e^{-x}+x^2\cdot e^{-x}\cdot\left(-1\right)$
	↓	Vereinfache soweit wie möglich.
	$=$	$\displaystyle 2x\cdot e^{-x}-x^2\cdot e^{-x}$
	↓	Klammer $x\cdot e^{-x}$ aus.
	$=$	$\displaystyle x\cdot e^{-x}\left(2-x\right)$
	$=$

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$\displaystyle g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \ln\left(-x^2+1\right)\cdot x^2$
	↓	Benutze die Ableitungsregel für die ln-Funktion, die Kettenregel und die Produktregel.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{-x^2+1}\cdot-2x\cdot x^2+\ln\left(-x^2+1\right)\cdot2x$
	↓	Vereinfache den Term.
	$=$	$\displaystyle \frac{-2x^3}{-x^2+1}+\ln\left(-x^2+1\right)\cdot2x$
	↓	Klammer 2x aus.
	$=$	$\displaystyle 2x\left(\frac{-x^2}{-x^2+1}+\ln\left(-x^2+1\right)\right)$