Gemischte Aufgaben zu linearen Funktionen - Geraden

Geradenschnittpunkte berechnen.

Gegeben sind die Funktionsgleichungen zweier Geraden $g_{1} (x)$ und $g_{2} (x)$ . Berechnen Sie den Schnittpunkt beider Geraden und zeichnen Sie die Geraden in ein Koordinatensystem.

Gib den Schnittpunkt in das Eingabefeld ein: "S(1;3)" oder S(1|3)" zum Beispiel.

$g_{1} (x) = \frac{1}{2} x + 2 g_{2} (x) = - \frac{1}{2} x + 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Geradenschnittpunkte berechnen
Setze dafür $g_{1} (x)$ und $g_{2} (x)$ gleich.
$\frac{1}{2} x + 2$ $=$ $- \frac{1}{2} x + 4$ $| + \frac{1}{2} x - 2$
$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x$ $=$ $4 - 2$
$x_{S}$ $=$ $2$
↓
Setze x in $g_{1} (x)$ ein.
$y$ $=$ $1 + 2$
$y_{S}$ $=$ $3$
$\Rightarrow S (x_{S} | y_{S}) = S (2 | 3)$
Zeichnung
Verbinde jeweils die y-Achsenabschnitte (hier A und B) mit dem berechneten Schnittpunkt S. Diese legen die Geraden eindeutig fest.
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$g_{1} (x) = 2 x - 1 g_{2} (x) = - 2 x + 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Geradenschnittpunkt berechnen
Setze $g_{1} (x)$ und $g_{2} (x)$ gleich.
$2 x - 1$ $=$ $- 2 x + 1$ $+ 2 x + 1$
$2 x + 2 x$ $=$ $1 + 1$
$4 x$ $=$ $2$ $: 4$
$x_{S}$ $=$ $\frac{1}{2}$
↓
Setze x in $g_{1} (x)$ ein.
$y$ $=$ $2 \cdot \frac{1}{2} - 1$
$y$ $=$ $1 - 1$
$y_{S}$ $=$ $0$
$\Rightarrow S (x_{S} | y_{S}) = S (\frac{1}{2} | 0)$
$\Rightarrow S$ ist der Schnittpunkt der Geraden.
Zeichnung
Verbinde jeweils die y-Achsenabschnitte (hier A und B) mit dem berechneten Schnittpunkt S. Diese legen die Geraden eindeutig fest.
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$g_{1} (x) = \frac{3}{4} x - 4 g_{2} (x) = - \frac{1}{2} x - 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Geradenschnittpunkt berechnen
Setze $g_{1} (x)$ und $g_{2} (x)$ gleich.
$g_{1} (x)$ $=$ $g_{2} (x)$
$\frac{3}{4} x - 4$ $=$ $- \frac{1}{2} x - 1$ $+ \frac{1}{2} x + 4$
$\frac{3}{4} x + \frac{1}{2} x$ $=$ $- 1 + 4$
$1,25 x$ $=$ $3$ $1,25$
$x$ $=$ $\frac{3}{1,25}$
$x_{S}$ $=$ $2,4$
↓
Setze $x_{S}$ in $g_{1} (x)$ ein.
$y$ $=$ $\frac{3}{4} \cdot 2,4 - 4$
$y$ $=$ $1,8 - 4$
$y_{S}$ $=$ $- 2,2$
$\Rightarrow S (x_{S} | y_{S}) = S (2,4 | - 2,2)$
Zeichnung
Verbinde jeweils die y-Achsenabschnitte (hier A und B) mit dem berechneten Schnittpunkt S. Diese legen die Geraden eindeutig fest.
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$g_{1} (x) = - \frac{1}{2} x + 2 g_{2} (x) = \frac{1}{2} x + 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Geradenschnittpunkt berechnen
Setze $g_{1} (x)$ und $g_{2} (x)$ gleich.
$g_{1} (x)$ $=$ $g_{2} (x)$
$- \frac{1}{2} x + 2$ $=$ $\frac{1}{2} x + 3$ $| + \frac{1}{2} x - 3$
$2 - 3$ $=$ $\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x$
$x_{S}$ $=$ $- 1$
↓
Setze $x_{S}$ in $g_{1} (x)$ ein.
$y$ $=$ $- \frac{1}{2} \cdot (- 1) + 2$
$y$ $=$ $\frac{1}{2} + 2$
$y_{S}$ $=$ $2,5$
$\Rightarrow S (x_{S} | y_{S}) = S (- 1 | 2,5)$
$\Rightarrow S$ ist der Schnittpunkt der Geraden.
Zeichnung
Verbinde jeweils die y-Achsenabschnitte (hier A und B) mit dem berechneten Schnittpunkt S. Diese legen die Geraden eindeutig fest.
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$g_{1} (x) = \frac{2}{3} x + 2 g_{2} (x) = \frac{1}{2} x + 3$

$g_{1} (x) = \frac{3}{4} x + 1 g_{2} (x) = \frac{1}{2} x + 2$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann → Was bedeutet das?

$\frac{2}{3} x + 2$	$=$	$\frac{1}{2} x + 3$	$- \frac{1}{2} x - 2$
$\frac{2}{3} x - \frac{1}{2} x$	$=$	$3 - 2$
	↓	Bringe die Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner.
$\frac{4}{6} x - \frac{3}{6} x$	$=$	$3 - 2$
$\frac{1}{6} x$	$=$	$1$	$: \frac{1}{6}$
$x$	$=$	$\frac{1}{\frac{1}{6}}$
	↓	Du dividierst durch einen Bruch $\to$ Multipliziere mit dem Kehrwert.
$x_{S}$	$=$	$6$

$\frac{1}{2} x + 2$	$=$	$- \frac{1}{2} x + 4$	$\| + \frac{1}{2} x - 2$
$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x$	$=$	$4 - 2$
$x_{S}$	$=$	$2$
	↓	Setze x in $g_{1} (x)$ ein.
$y$	$=$	$1 + 2$
$y_{S}$	$=$	$3$

$2 x - 1$	$=$	$- 2 x + 1$	$+ 2 x + 1$
$2 x + 2 x$	$=$	$1 + 1$
$4 x$	$=$	$2$	$: 4$
$x_{S}$	$=$	$\frac{1}{2}$
	↓	Setze x in $g_{1} (x)$ ein.
$y$	$=$	$2 \cdot \frac{1}{2} - 1$
$y$	$=$	$1 - 1$
$y_{S}$	$=$	$0$

$g_{1} (x)$	$=$	$g_{2} (x)$
$\frac{3}{4} x - 4$	$=$	$- \frac{1}{2} x - 1$	$+ \frac{1}{2} x + 4$
$\frac{3}{4} x + \frac{1}{2} x$	$=$	$- 1 + 4$
$1,25 x$	$=$	$3$	$1,25$
$x$	$=$	$\frac{3}{1,25}$
$x_{S}$	$=$	$2,4$
	↓	Setze $x_{S}$ in $g_{1} (x)$ ein.
$y$	$=$	$\frac{3}{4} \cdot 2,4 - 4$
$y$	$=$	$1,8 - 4$
$y_{S}$	$=$	$- 2,2$

$g_{1} (x)$	$=$	$g_{2} (x)$
$- \frac{1}{2} x + 2$	$=$	$\frac{1}{2} x + 3$	$\| + \frac{1}{2} x - 3$
$2 - 3$	$=$	$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x$
$x_{S}$	$=$	$- 1$
	↓	Setze $x_{S}$ in $g_{1} (x)$ ein.
$y$	$=$	$- \frac{1}{2} \cdot (- 1) + 2$
$y$	$=$	$\frac{1}{2} + 2$
$y_{S}$	$=$	$2,5$

$\frac{3}{4} x + 1$	$=$	$\frac{1}{2} x + 2$	$- \frac{1}{2} x - 1$
$\frac{3}{4} x - \frac{1}{2} x$	$=$	$2 - 1$
	↓	Bringe die Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner .
$\frac{3}{4} x - \frac{2}{4} x$	$=$	$2 - 1$
$\frac{1}{4} x$	$=$	$1$	$: \frac{1}{4}$
$x$	$=$	$\frac{1}{\frac{1}{4}}$
	↓	Du dividierst durch einen Bruch $\to$ Multipliziere mit dem Kehrwert.
$x_{S}$	$=$	$4$

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