In diesem Kurs lernst du

• was eine lineare Funktion ist

• wie der Funktionsterm einer linearen Funktion aufgestellt wird

• welche Parameter den Verlauf des Graphen bestimmen

Um diesen Kurs bearbeiten zu können, solltest du bereits folgendes können:

• Berechnung von Proportionalitäten

• Bestimmung der Steigung von Geraden durch Steigungsdreiecke

• Erstellen einer Wertetabelle

• Zeichnen eines Graphen anhand einer Wertetabelle

Der Kurs dauert ca. $1$ h.

Jonathan, Bianca und Hannes waren in den Ferien mal wieder richtig fleißig und haben die Zugspitze bestiegen (mit knapp 3000 m der höchste Berg Deutschlands). Dabei steigen die drei in der gleichen konstanten Geschwindigkeit, nämlich 500 m pro Stunde, auf, aber sie starten von verschiedenen Ausgangspunkten.

Jonathan fährt mit dem Zug aus München und startet seinen Anstieg von Meereshöhe (0 m). Bianca hat auf einer Hütte am Eibsee übernachtet (dieser liegt auf einer Höhe von knapp 1000 m) und startet von dort. Hannes lässt es sich gut gehen, er fährt mit der Zahnradbahn bis auf 2500 m auf das Zugspitzplatt und schaut sich vorher den Gletscher an, bevor er Richtung Gipfel startet.

Das folgende Applet erklärt dir, wie sich der Aufstieg der drei mathematisch darstellen lässt.

Falls dir kein Applet angezeigt wird, kannst du es über diesen Link abrufen: Applet zum Aufstieg zur Zugspitze

Graphen wie den von Jonathans Aufstieg kennst du bereits. Bestimme seinen Funktionsterm!

Doch was ist mit den anderen Graphen? Diese verlaufen nicht durch den Ursprung. Kannst du trotzdem ihre Steigung bestimmen? Betrachte das nachfolgende Applet und erfahre, welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede die Graphen und somit die Funktionsterme besitzen.

Falls dir kein Applet angezeigt wird, kannst du es über diesen Link abrufen: Applet zum Aufstieg zur Zugspitze

Eine Funktion $f:x\mapsto m\cdot x+t(m,t\in \mathbb{Q})$ heißt lineare Funktionen. Dabei ist $m$ die Steigung der Funktion und $t$ die Verschiebung des Graphen nach oben $(t>0)$ oder nach unten $(t<0)$.

Mit $f(0)=m\cdot 0+t=t$ berechnet man den Funktionswert an der Stelle $x=0$. An der Stelle schneidet der Graph die $y-$Achse, daher nennt man $t$ auch den $y-$Achsenabschnitt.

Um dir merken zu können, was lineare Funktionen sind, denk dir einfach: Lineare Funktionen sind Funktionen, die man mit einem Lineal zeichnen kann.

Aber wie zeichnet man nun den Graphen einer linearen Funktion, wenn nur der Funktionsterm gegeben ist?

Klar kannst du jedes Mal eine Wertetabelle anlegen, aber das ist auf Dauer etwas zeitaufwendig.

Angenommen, es sei die Funktion $f:x\mapsto -2x+3$ gegeben.

Lass uns das Wichtigste noch einmal zusammenfassen.

Was sind lineare Funktionen?

Eine Funktion $f:x\mapsto m\cdot x+t(m,t\in \mathbb{Q})$ heißt lineare Funktionen. Dabei ist $m$ die Steigung der Funktion und $t$ die Verschiebung des Graphen nach oben $(t>0)$ oder nach unten $(t<0)$.

Mit $f(0)=m\cdot 0+t=t$ berechnet man den Funktionswert an der Stelle $x=0$. An der Stelle schneidet der Graph die $y-$Achse, daher nennt man $t$ auch den $y-$Achsenabschnitt.

Zeichnen linearer Funktionen

Der Graph einer linearen Funktion ist durch zwei Punkte eindeutig festgelegt. Diese erhältst du entweder

(1) über den $y-$Achsenabschnitt und das Steigungsdreieck oder (2) über die Berechnung zweier unterschiedlicher Punkte.

Zum Beispiel: $f(x)=-2x+3$