Lösung Teilaufgabe a) Vorüberlegungen Die gesuchte Normalenform der Ebene E E E
So erhältst du sie:
Bilde zwei linear unabhängige Richtungsvektoren der Ebene. Z.B. die Differenzvektoren A B → \overrightarrow{AB} A B A C → \overrightarrow{AC} A C
Erstelle durch das Kreuzprodukt A B → × A C → \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} A B × A C n ⃗ \vec n n
Setze das Skalarprodukt A X → ∘ n → \overrightarrow{AX}\circ\overrightarrow{n} A X ∘ n Differenzvektors A X → \overrightarrow{AX} A X n ⃗ \vec n n A A A X X X E E E
Durchführung Die Punkte A ( 1 ∣ 1 ∣ 1 ) A(1|1|1) A ( 1∣1∣1 ) B ( 0 ∣ 2 ∣ 2 ) B(0|2|2) B ( 0∣2∣2 ) C ( − 1 ∣ 2 ∣ 0 ) C(-1|2|0) C ( − 1∣2∣0 )
A B → = B ⃗ − A ⃗ = ( 0 2 2 ) − ( 1 1 1 ) = ( − 1 1 1 ) \displaystyle \overrightarrow{AB}=\vec B-\vec A=\begin{pmatrix}0\\2\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix} A B = B − A = 0 2 2 − 1 1 1 = − 1 1 1
A C → = C ⃗ − A ⃗ = ( − 1 2 0 ) − ( 1 1 1 ) = ( − 2 1 − 1 ) \displaystyle \overrightarrow{AC}=\vec C - \vec A = \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\1\\-1\end{pmatrix} A C = C − A = − 1 2 0 − 1 1 1 = − 2 1 − 1 2.Kreuzprodukt A B → × A C → \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} A B × A C
A B → × A C → = ( − 1 1 1 ) × ( − 2 1 − 1 ) \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-2\\1\\-1\end{pmatrix}\end{array} A B × A C = − 1 1 1 × − 2 1 − 1
= ( 1 ⋅ ( − 1 ) − 1 ⋅ 1 1 ⋅ ( − 2 ) − ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) ( − 1 ) ⋅ 1 − 1 ⋅ ( − 2 ) ) \quad\quad\quad\;\;=\begin{pmatrix}1&\cdot&(-1)&-&1&\cdot&1\\1&\cdot&(-2)&-&(-1)&\cdot&(-1)\\(-1)&\cdot&1&-&1&\cdot&(-2)\end{pmatrix} = 1 1 ( − 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( − 1 ) ( − 2 ) 1 − − − 1 ( − 1 ) 1 ⋅ ⋅ ⋅ 1 ( − 1 ) ( − 2 )
= ( − 2 − 3 1 ) = ( − 1 ) ⋅ ( 2 3 − 1 ) \quad\quad\quad\;\;=\begin{pmatrix}-2\\-3\\1\end{pmatrix}=(-1)\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix} = − 2 − 3 1 = ( − 1 ) ⋅ 2 3 − 1
Der Vektor n ⃗ = ( 2 3 − 1 ) \vec n = \begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix} n = 2 3 − 1 E E E
Anmerkung:
Das Vorziehen des Faktors ( − 1 ) (-1) ( − 1 ) ein Minuszeichen besitzt. Jedes Vielfache eines Normalenvektors steht auch auf der Ebene senkrecht und ist somit ebenfalls ein Normalenvektor.
3.Aufstellen der Ebenengleichung
Die Aufgabenstellung lässt dir die Wahl, ob du die gesuchte Normalenform der Ebenengleichung in Vektorform oder in Koordinatendarstellung angeben willst.
a) Vektorform mit Aufpunkt A ( 1 ∣ 1 ∣ 1 ) A(1|1|1) A ( 1∣1∣1 )
Setze n ⃗ ∘ A X → \vec n \circ\overrightarrow{AX} n ∘ A X
E : n ⃗ ∘ ( X ⃗ − A ⃗ ) = 0 E:\,\vec n \circ (\vec X - \vec A)=0 E : n ∘ ( X − A ) = 0
Setze für den Punkt A ( 1 ∣ 1 ∣ 1 ) A(1|1|1) A ( 1∣1∣1 ) n ⃗ \vec n n
E : ( 2 3 − 1 ) ∘ [ ( x 1 x 2 x 3 ) − ( 1 1 1 ) ] = 0 E:\;\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right]=0 E : 2 3 − 1 ∘ x 1 x 2 x 3 − 1 1 1 = 0
Dies ist die gesuchte Ebene. Du kannst sie durch Ausmultiplizieren des Skalarproduktes auch noch in die Koordinatendarstellung bringen.
E : 2 ⋅ ( x 1 − 1 ) + 3 ⋅ ( x 2 − 1 ) + ( − 1 ) ⋅ ( x 3 − 1 ) = 0 E : 2 x 1 − 2 + 3 x 2 − 3 − x 3 + 1 = 0 ∣ zusammenfassen E : 2 x 1 + 3 x 2 − x 3 − 4 = 0 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}E:\;2\cdot(x_1-1)+3\cdot (x_2-1)+(-1)\cdot (x_3-1)&=&0\\E:\;2x_1-2+3x_2-3-x_3+1&=&0\;|\;\text{zusammenfassen}\\E:\;2x_1+3x_2-x_3-4&=&0\end{array} E : 2 ⋅ ( x 1 − 1 ) + 3 ⋅ ( x 2 − 1 ) + ( − 1 ) ⋅ ( x 3 − 1 ) E : 2 x 1 − 2 + 3 x 2 − 3 − x 3 + 1 E : 2 x 1 + 3 x 2 − x 3 − 4 = = = 0 0 ∣ zusammenfassen 0
b) Ansatz für E E E in Koordinatendarstellung
Mit dem Normalenvektor n ⃗ = ( 2 3 − 1 ) \vec n=\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix} n = 2 3 − 1 B ( 0 ∣ 2 ∣ 2 ) B(0|2|2) B ( 0∣2∣2 ) A A A E E E
E : 2 x 1 + 3 x 2 − x 3 + c = 0 E:\;2x_1+3x_2-x_3+c=0 E : 2 x 1 + 3 x 2 − x 3 + c = 0
Setze den Punkt B B B c c c
2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 2 − 2 + c = 0 6 − 2 + c = 0 ∣ − 4 c = − 4 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}\quad \;2\cdot 0+3\cdot 2-2+c&=&0\\\quad \;6-2+c&=&0&|\;-4\\c&=&-4\end{array} 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 2 − 2 + c 6 − 2 + c c = = = 0 0 − 4 ∣ − 4
Also:
E : 2 x 1 + 3 x 2 − x 3 − 4 = 0 E:\;2x_1+3x_2-x_3-4=0 E : 2 x 1 + 3 x 2 − x 3 − 4 = 0
Lösung Teilaufgabe b) Ein beliebiger Punkt S S S x 2 x_2 x 2 S ( 0 ∣ s 2 ∣ 0 ) S(\color{red}{0}|s_2|\color{red}{0}) S ( 0 ∣ s 2 ∣ 0 )
Setze S S S E E E s 2 s_2 s 2
2 ⋅ 0 + 3 ⋅ s 2 − 0 − 4 = 0 ∣ + 4 3 ⋅ s 2 = 4 ∣ : 3 s 2 = 4 3 \def\arraystretch{1.25} \quad\begin{array}{rccl}2\cdot 0 + 3\cdot s_2-0-4&=&0&|\;+4\\\quad 3\cdot s_2&=&4&|\;:3\\s_2&=&\displaystyle \frac43\end{array} 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ s 2 − 0 − 4 3 ⋅ s 2 s 2 = = = 0 4 3 4 ∣ + 4 ∣ : 3
Die Ebene schneidet die x 2 x_2 x 2 -Achse im Punkt S ( 0 ∣ 4 3 ∣ 0 ) \displaystyle S(0|\frac 43 |0) S ( 0∣ 3 4 ∣0 ) .
