Weitere Aufgaben zu Extremwertproblemen

Welcher Punkt P auf der Parabel mit der Funktionsgleichung $\mathrm f(\mathrm x)=0{,}5\mathrm x^2-2$ hat vom Punkt $\mathrm T\left(0\;\left|\;3{,}5\right.\right)$ minimalen Abstand?

Wie groß ist dieser minimale Abstand?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgaben

Der Zeichnung entnimmst du die Zielfunktion und die Nebenbedingung dieser Extremwertaufgabe.

Zielfunktion:

Abstand der beiden Punkte $T$ und $P$ .

Nebenbedingung:

Der Punkt $P$ liegt auf der Parabel.

Gib die Zielfunktion an. Benutze dazu den Satz des Pythagoras.

Gib die Funktionsgleichung der Nebenbedingung an.

$\overline{TP}^2=x_P^2+(3{,}5-y_P)^2$

$\overline{TP}=\sqrt{x_P^2+(3{,}5-y_P)^2}$

Beachte: Für alle Punkte, für die der Abstand minimal wird, wird auch das Quadrat des Abstandes minimal.Deshalb nimmt man $\overline{TP}^2$ als Zielfunktion.

Dies erleichtert die Rechnung.

Zielfunktion:

$\overline{TP}^2=x_P^2+(3{,}5-y_P)^2$

Nebenbedingung:

$y_P=0{,}5x_P^2-2$

Setze die Nebenbedingung in die Zielfunktion ein.

$\overline{TP}^2(x_P)=x_P^2+(3{,}5-0{,}5x_P^2\color{red}{+}2)^2$

Fasse in der Klammer zusammen und quadriere mit der binomischen Formel.

$\overline{TP}^2(x_P)=0{,}25x_P^4-4{,}5x_P^2+30{,}25$

Bilde die Ableitung

$\overline{TP}^2(x_P)'=x_P^3-9x_P$

Setze die Ableitung gleich Null und löse die Gleichung.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccc}x_P^3-9x_P&=&0\\x_P(x_P^2-9)&=&0\\x_{P1}&=&0\\x_{P2}&=&+3\\x_{P3}&=&-3\end{array}$

Untersuche, für welche der Lösungen die 2. Ableitung positiv ist, damit jeweils ein Minmum vorliegt

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcc}\overline{TP}^2(x_P)''&=&3 x_P^2- 9\\\overline{TP}^2(0)''&=&-9\\\overline{TP}^2(\pm3)''&=&+18\end{array}$

$x_{P} = 0$ ergibt ein lokales Maximum des Abstandsquadrats.

$x_{p} = - 3$ und $x_{P} = + 3$ liefern ein Minimum des Quadrat des Abstandes und damit auch ein Minimum des Abstands.

Gib die drei Punkte und den dazu gehörigen Abstand an.

Einsetzen der drei $x_{P}$ -Werte in die Nebenbedingung:

$y (0) = - 2$ $\quad\Rightarrow$ $P_{0} (0 ∣ - 2)$ $\text {und}$ $\quad\overline{TP_0}=\sqrt{30{,}25}=5{,}5$

$y(\pm{3})=0{,}5\cdot9-2=2{,}5$ $\;\Rightarrow$ $\;P_{2|3}(\pm{3}|2{,}5)$ und $\overline{TP_{2/3}}=\sqrt{0{,}25\cdot81-4{,}5\cdot9+30{,}25}=\sqrt{10}\approx3{,}16$

Ergebnis:

Die beiden Punkte $P_1(-3|2{,}5)$ und $P_2(+3|2{,}5)$ haben von der Parabel mit rund $3{,}16\,\text{LE}$ den geringsten Abstand.

Im nachfolgenden Applet kannst du dies überprüfen indem du den Punkt $P$ verschiebst.

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Alternative Lösung

Bei dieser Lösung ermittelst du in Frage kommende Parabelpunkt über eine Betrachtung von Tangenten der Parabel.

Für die drei Extremumspunkte $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ gilt:

Die jeweilige Verbindungsstrecke zum Punkt $T$ steht senkrecht auf der Parabeltangente.

Parabel: $\quad\quad\quad\quad p(x)=0{,}5x^2-2$

Tangentensteigung: $\;p'(x)=x$

Gib die Steigung $m$ von $[T P]$ an.

$\displaystyle m_{[TP]}=\frac{y-3{,}5}{x}=\frac{0{,}5x^2-5{,}5}{x}\quad x\neq0$

Lotbedingung ansetzen!

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{ccc} m_{[TP]}\cdot p'(x)&=&-1\;\;\;\;x\neq0\\ \\ \dfrac{0{,}5x^2-5{,}5}{x}\cdot{x}&=&-1\\ \\0{,}5x^2-5{,}5&=&-1\\x^2&=&9\\x_{2/3}&=&\pm3\end{array}$

Damit sind - auf anderem Weg - die x-Koordinaten der beiden Lösungspunkte der Extremumsaufgabe gefunden.

Zusatz:

Auch für den Punkt $P (0 ∣ - 2)$ ("Maximumspunkt") steht die Tangente senkrecht auf der Verbindungsstrecke zu $T$ .

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