Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

Modelliere jeweils durch einen entsprechenden Funktionsterm $f (x)$ :

Die Tabelle zeigt die Entwicklung des ökologischen Landbaus in Deutschland:
Jahr
1984
1990
1996
2002
Fläche in 1000 ha
22
84
313
632
Falls die Entwicklung von 1990 bis 1996 durch eine Exponentialfunktion der Bauart $f (x) = 84 a^{x}$ beschrieben wird, wie lautet dann die Basis $a$ und wie ist dieser Wert zu interpretieren?
Überprüfe, ob die Daten von 1984 und 2002 zu dieser Modellierung passen.
Wann (in der Vergangenheit) startete nach diesem Modell die Fläche bei 0 ha?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
Entwicklung von 1990 bis 1996 durch eine Exponentialfunktion $f (x) = 84 a^{x}$
Im Jahr 1990 ist $x = 0$ und im Jahr 1996 ist $x = 6$ .
$f (6)$ $=$ $84 \cdot a^{6}$
$313$ $=$ $84 \cdot a^{6}$
$\Rightarrow a^{6}$ $=$ $\frac{313}{84}$ $\sqrt[6]{}$
$a$ $=$ $\sqrt[6]{\frac{313}{84}}$
$\approx$ $1,245$
Damit ist $f (x) = 84 \cdot {1,245}^{x}$ .
Wie ist dieser Wert für a zu interpretieren?
Die Fläche nimmt pro Jahr um etwa $24,5 %$ zu.
Passen die Daten von 1984 und 2002 zu dieser Modellierung
Im Jahr 1984 ist $x = - 6 \Rightarrow f (- 6) = 84 \cdot {1,245}^{- 6} \approx 22,6$ .
Dieser Wert passt zu den gegebenen Daten ( $22$ ).
Im Jahr 2002 ist $x = 12 \Rightarrow f (12) = 84 \cdot {1,245}^{12} \approx 1165$ .
Dieser Wert passt nicht zu den gegebenen Daten ( $632$ ).
Wann (in der Vergangenheit) startete nach diesem Modell die Fläche bei 0 ha?
Da sich $a^{x}$ für $x \to - \infty$ nur asymptotisch der $0$ nähert, aber immer größer $0$ ist, gab es die Fläche $0$ ha zu keinem Zeitpunkt.
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Teil 1
Im Jahr 1990 ist $x = 6$ . Setze $(6 | 313)$ in $f (x) = 84 a^{x}$ ein und löse nach $a$ auf.
Die Nachkommastellen von $a$ geben die prozentuale Steigung der Fläche pro Jahr an.
Teil 2
Setze $x = - 6$ (für $1984$ ) bzw. $x = 12$ (für $2002$ ) in die Funktionsgleichung ein und vergleiche mit den gegebenen Werten.
Teil 3
Überlege, wie sich $a^{x}$ verhält, wenn $x$ gegen $- \infty$ geht.

Jahr	1984	1990	1996	2002
Fläche in 1000 ha	22	84	313	632

Von einem radioaktiven Element sind anfangs 20 000 Atomkerne vorhanden, nach 183 Sekunden ist nur noch $\frac{1}{10}$ davon vorhanden.

Wann ist nur die Hälfte vorhanden (Halbwertszeit)?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zerfallsprozesse

Verwende die allgemeine Formel für Zerfallsprozesse.

Um die Halbwertszeit bestimmen zu können, benötigst du zunächst die Zerfallskonstante $λ$ .

N (t) = N_{0} \cdot e^{- λ \cdot t}

Setze die aus der Aufgabenstellung bekannten Zahlen in die Formel ein. Dadurch erhältst du eine Gleichung in Abhängigkeit von $λ$ .

$N (183 s)$	$=$	$\frac{1}{10} \cdot N_{0}$
$N_{0} \cdot e^{- λ \cdot 183 s}$	$=$	$\frac{1}{10} N_{0}$	$: N_{0}$
$e^{- λ \cdot 183 s}$	$=$	$\frac{1}{10}$	$\ln$
	↓	Wende die Umkehrfunktion der $e$ -Funktion an.
$- λ \cdot 183 s$	$=$	$\ln (\frac{1}{10})$
	↓	Verwende zur Vereinfachung die Rechenregeln des Logarithmus: $\ln (\frac{1}{10}) = \ln (10^{- 1}) = - \ln (10)$
$- λ \cdot 183 s$	$=$	$- \ln (10)$	$\cdot (- 1)$
$λ \cdot 183 s$	$=$	$\ln (10)$	$: 183$
$λ$	$=$	$\frac{\ln (10)}{183 s}$

Jetzt kennst du die Zerfallskonstante. Bestimme nun die gesuchte Halbwertszeit $T$ .

Hierzu verwende die Definition der Halbwertszeit: nach der Halbwertszeit $T$ sind noch die Hälfte der Teilchen vorhanden.

$N (T)$	$=$	$\frac{N_{0}}{2}$
$N_{0} \cdot e^{- λ T}$	$=$	$\frac{N_{0}}{2}$	$: N_{0}$
$e^{- λ T}$	$=$	$\frac{1}{2}$	$\ln$
	↓	Wende die Umkehrfunktion der $e$ -Funktion an.
$- λ T$	$=$	$\ln (\frac{1}{2})$
	↓	$\ln (\frac{1}{2}) = \ln (1) - \ln (2) = - \ln (2)$
$- λ T$	$=$	$- \ln (2)$	$: (- λ)$
$T$	$=$	$\frac{\ln (2)}{λ}$
	↓	Setze $λ$ ein.
$T$	$=$	$\ln (2) \cdot (\frac{183 s}{\ln (10)})$
$T$	$\approx$	$55,088 s$

Die Halbwertzeit beträgt rund $55,1 s$ .

Lösung mithilfe der allgemeinen Potenzfunktion

Gegenstand der Aufgabe ist es, die Halbwertszeit des vorliegenden radioaktiven Elements zu ermitteln. Dazu benötigst du in dieser Lösungsvariante die allgemeine Potenzfunktion, deren Gleichung $N (t) = b \cdot a^{t}$ lautet.

Ausgangssituation:

Anfangs ( $t = 0$ ) sind $N (0) = 20000$ Kerne vorhanden

$N (0)$	$=$	$b \cdot a^{0}$
$20000$	$=$	$b \cdot a^{0}$
	↓	Da $a^{0} = 1$ , ist nun der Wert des Parameters $b$ bekannt.
$b$	$=$	$20000$

Situation nach 183 Sekunden:

Nach 183 Sekunden existieren noch $\frac{1}{10}$ der anfangs vorhanden Kerne.

Also: $N (183) = \frac{1}{10} \cdot N (0)$

$N (183)$	$=$	$20000 \cdot a^{183}$
$\frac{1}{10} \cdot N (0)$	$=$	$20000 \cdot a^{183}$
	↓	Setze $N (0) = 20000$ ein
$2000$	$=$	$20000 \cdot a^{183}$	$: 20000$
$0,1$	$=$	$a^{183}$	$\sqrt[183]{}$
$a$	$=$	$\sqrt[183]{0,1}$
	$\approx$	$0,9875$

Resultierender Funktionsterm

Nachdem du die Werte der beiden Parameter bestimmt hast, kennst du nun den Funktionsterm, der die Anzahl der noch vorhandenen Kerne in Abhängigkeit von der verstrichenen Zeit beschreibt.

N (t) = 20000 \cdot {0,9875}^{t}

Bestimmung der Halbwertszeit

Du suchst nun die Zeit T, zu der die Anzahl noch der vorhandenen Kerne genau halb so groß ist wie jene zu Beginn. Es gilt also:

N (T) = \frac{1}{2} \cdot N (0)

Verwende den zuvor ermittelten Funktionsterm $N (t)$

$N (T)$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot N (0)$
$20000 \cdot {0,9875}^{T}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot 20000 \cdot {0,9875}^{0}$
${0,9875}^{T}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot {0,9875}^{0}$
${0,9875}^{T}$	$=$	$\frac{1}{2}$	$\ln ()$
$T \cdot \ln (0,9875)$	$=$	$\ln (\frac{1}{2})$	$: \ln (0,9875)$
$T$	$=$	$\frac{\ln (\frac{1}{2})}{\ln (0,9875)}$
$T$	$\approx$	$55,1$

Ergebnis: Die Halbwertszeit T beträgt etwa 55,1 Sekunden.

Bemerkung

Das in dieser Variante ermittelte Ergebnis weicht geringfügig von dem der alternativen Aufgabenlösung (siehe oben) ab, weil du mit dem gerundeten Wert $0,9875$ für den Parameter $a$ weitergerechnet hast. Bei Verwendung des ungerundeten Zwischenergebnisses $a = \sqrt[183]{0,1}$ erhältst du analog zum obigen Lösungsvorschlag eine Halbwertszeit von $T = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{\ln (\sqrt[183]{0,1})} = 55,088$ Sekunden.

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Ein Hersteller von Bleistiften hat anfangs 20 000 Stifte in seinem Lager,
nach 183 Tagen ist (bei gleichmäßiger Nachfrage seitens der Kunden) nur noch $\frac{1}{10}$ davon vorrätig, wenn währenddessen keine Stifte produziert werden.
Ergibt sich eine lineare oder exponentielle Abnahme für $f (x) =$ Vorrat nach $x$ Tagen?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wachstumsprozesse - eine Übersicht
Lineare oder exponentielle Abnahme für $f (x) =$ Vorrat nach $x$ Tagen?
Es handelt sich um eine lineare Abnahme, weil von einer gleichmäßigen Nachfrage gesprochen wird. Das heißt, die Kunden kaufen jeden Tag die gleiche Menge an Stifte.
Exponentiell wäre der Zusammenhang genau dann, wenn die Nachfrage der Kunden gleichmäßig bspw. um $10 %$ jeden Tag ansteigen würde.
Es sind noch $\frac{1}{10}$ von $20000$ gleich $2000$ Bleistifte vorrätig, d.h. es wurden $18000$ Stifte verkauft.
Pro Tag nahm der Vorrat um $\frac{18000}{183} \approx 98$ Stifte ab.
Die lineare Funktionsgleichung lautet demnach:
$f (x) = 20000 - \frac{18000}{183} \cdot x$
.
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Berechne, wie viele Stifte verkauft wurden.
Berechne den Verkauf pro Tag.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl → Was bedeutet das?

$f (6)$	$=$	$84 \cdot a^{6}$
$313$	$=$	$84 \cdot a^{6}$
$\Rightarrow a^{6}$	$=$	$\frac{313}{84}$	$\sqrt[6]{}$
$a$	$=$	$\sqrt[6]{\frac{313}{84}}$
	$\approx$	$1,245$

Entwicklung von 1990 bis 1996 durch eine Exponentialfunktion f(x)=84ax

Wie ist dieser Wert für a zu interpretieren?

Passen die Daten von 1984 und 2002 zu dieser Modellierung

Wann (in der Vergangenheit) startete nach diesem Modell die Fläche bei 0 ha?

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Lösung mithilfe der allgemeinen Potenzfunktion

Ausgangssituation:

Situation nach 183 Sekunden:

Resultierender Funktionsterm

Bestimmung der Halbwertszeit

Ergebnis: Die Halbwertszeit T beträgt etwa 55,1 Sekunden.

Bemerkung

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Lineare oder exponentielle Abnahme für f(x)= Vorrat nach x Tagen?

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Entwicklung von 1990 bis 1996 durch eine Exponentialfunktion $f (x) = 84 a^{x}$

Lineare oder exponentielle Abnahme für $f (x) =$ Vorrat nach $x$ Tagen?