Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

Modelliere jeweils durch einen entsprechenden Funktionsterm $\mathrm f(\mathrm x)$ :

Die Tabelle zeigt die Entwicklung des ökologischen Landbaus in Deutschland:

Jahr	1984	1990	1996	2002
Fläche in 1000 ha	22	84	313	632

Falls die Entwicklung von 1990 bis 1996 durch eine Exponentialfunktion der Bauart $f(x)=84\, a^ x$ beschrieben wird, wie lautet dann die Basis $a$ und wie ist dieser Wert zu interpretieren?

Überprüfe, ob die Daten von 1984 und 2002 zu dieser Modellierung passen.

Wann (in der Vergangenheit) startete nach diesem Modell die Fläche bei 0 ha?

Von einem radioaktiven Element sind anfangs 20 000 Atomkerne vorhanden, nach 183 Sekunden ist nur noch $\frac{1}{10}$ davon vorhanden.

Wann ist nur die Hälfte vorhanden (Halbwertszeit)?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zerfallsprozesse

Verwende die allgemeine Formel für Zerfallsprozesse.

Um die Halbwertszeit bestimmen zu können, benötigst du zunächst die Zerfallskonstante $\lambda$ .

\displaystyle N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}

Setze die aus der Aufgabenstellung bekannten Zahlen in die Formel ein. Dadurch erhältst du eine Gleichung in Abhängigkeit von $\lambda$ .

$\displaystyle N(183\,\mathrm{s})$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{10} \cdot N_0$
$\displaystyle N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot 183\,\mathrm{s}}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{10}N_0$	$\displaystyle :N_0$
$\displaystyle e^{-\lambda \cdot 183\,\mathrm{s}}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{10}$	$\displaystyle \ln$
	↓	Wende die Umkehrfunktion der $e$ -Funktion an.
$\displaystyle -\lambda \cdot 183\,\mathrm{s}$	$=$	$\displaystyle \ln\left(\frac{1}{10}\right)$
	↓	Verwende zur Vereinfachung die Rechenregeln des Logarithmus: $\ln \left(\frac{1}{10}\right)=\ln (10^{-1})=-\ln (10)$
$\displaystyle -\lambda \cdot 183\,\mathrm{s}$	$=$	$\displaystyle -\ln(10)$	$\displaystyle \cdot\left(-1\right)$
$\displaystyle \lambda \cdot 183\,\mathrm{s}$	$=$	$\displaystyle \ln(10)$	$\displaystyle :183$
$\displaystyle \lambda$	$=$	$\displaystyle \frac{\ln(10)}{183\,\mathrm{s}}$

Jetzt kennst du die Zerfallskonstante. Bestimme nun die gesuchte Halbwertszeit $T$ .

Hierzu verwende die Definition der Halbwertszeit: nach der Halbwertszeit $T$ sind noch die Hälfte der Teilchen vorhanden.

$\displaystyle N\left(T\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{N_0}{2}$
$\displaystyle N_0\cdot e^{-\lambda T}$	$=$	$\displaystyle \frac{N_0}{2}$	$\displaystyle :N_0$
$\displaystyle e^{-\lambda T}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \ln$
	↓	Wende die Umkehrfunktion der $e$ -Funktion an.
$\displaystyle -\lambda T$	$=$	$\displaystyle \ln\left(\frac{1}{2}\right)$
	↓	$\ln(\frac{1}{2})=\ln(1)-\ln(2)=-\ln(2)$
$\displaystyle -\lambda T$	$=$	$\displaystyle -\ln(2)$	$\displaystyle :(-\lambda)$
$\displaystyle T$	$=$	$\displaystyle \frac{\ln\left(2\right)}{\lambda}$
	↓	Setze $\lambda$ ein.
$\displaystyle T$	$=$	$\displaystyle \ln(2) \cdot \left(\frac{183\,\mathrm{s}}{\ln(10)}\right)$
$\displaystyle T$	$\approx ≈$	$\displaystyle 55{,}088\,\mathrm{s}$

Die Halbwertzeit beträgt rund $55{,}1\;\mathrm{ s}$ .

Lösung mithilfe der allgemeinen Potenzfunktion

Gegenstand der Aufgabe ist es, die Halbwertszeit des vorliegenden radioaktiven Elements zu ermitteln. Dazu benötigst du in dieser Lösungsvariante die allgemeine Potenzfunktion, deren Gleichung $N(t)=b\cdot a^t$ lautet.

Ausgangssituation:

Anfangs ( $t = 0$ ) sind $N (0) = 20000$ Kerne vorhanden

$\displaystyle N(0)$	$=$	$\displaystyle b\cdot a^0$
$\displaystyle 20000$	$=$	$\displaystyle b\cdot a^0$
	↓	Da $a^{0} = 1$ , ist nun der Wert des Parameters $b$ bekannt.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 20000$

Situation nach 183 Sekunden:

Nach 183 Sekunden existieren noch $\frac{1}{10}$ der anfangs vorhanden Kerne.

Also: $N(183)=\frac{1}{10}\cdot N(0)$

$\displaystyle N(183)$	$=$	$\displaystyle 20000\cdot a^{183}$
$\displaystyle \frac{1}{10}\cdot N(0)$	$=$	$\displaystyle 20000\cdot a^{183}$
	↓	Setze $N (0) = 20000$ ein
$\displaystyle 2000$	$=$	$\displaystyle 20000\cdot a^{183}$	$\displaystyle :20000$
$\displaystyle 0{,}1$	$=$	$\displaystyle a^{183}$	$\displaystyle \sqrt[183]{}$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \sqrt[183]{0{,}1}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 0{,}9875$

Resultierender Funktionsterm

Nachdem du die Werte der beiden Parameter bestimmt hast, kennst du nun den Funktionsterm, der die Anzahl der noch vorhandenen Kerne in Abhängigkeit von der verstrichenen Zeit beschreibt.

\displaystyle N(t)=20000\cdot 0{,}9875^t

Bestimmung der Halbwertszeit

Du suchst nun die Zeit T, zu der die Anzahl noch der vorhandenen Kerne genau halb so groß ist wie jene zu Beginn. Es gilt also:

\displaystyle N(T)=\frac{1}{2}\cdot N(0)

Verwende den zuvor ermittelten Funktionsterm $N (t)$

$\displaystyle N(T)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot N(0)$
$\displaystyle 20000\cdot 0{,}9875^T$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 20000\cdot 0{,}9875^0$
$\displaystyle 0{,}9875^T$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot0{,}9875^0$
$\displaystyle 0{,}9875^T$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \ln()$
$\displaystyle T\cdot \ln(0{,}9875)$	$=$	$\displaystyle \ln(\frac{1}{2})$	$\displaystyle :\ln(0{,}9875)$
$\displaystyle T$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\ln(\frac{1}{2})}{\ln(0{,}9875)}$
$\displaystyle T$	$\approx ≈$	$\displaystyle 55{,}1$

Ergebnis: Die Halbwertszeit T beträgt etwa 55,1 Sekunden.

Bemerkung

Das in dieser Variante ermittelte Ergebnis weicht geringfügig von dem der alternativen Aufgabenlösung (siehe oben) ab, weil du mit dem gerundeten Wert $0,9875$ für den Parameter $a$ weitergerechnet hast. Bei Verwendung des ungerundeten Zwischenergebnisses $a=\sqrt[183]{0{,}1}$ erhältst du analog zum obigen Lösungsvorschlag eine Halbwertszeit von $T=\frac{\ln{(\frac{1}{2})}}{\ln{\left(\sqrt[183]{0{,}1}\right)}}=55{,}088$ Sekunden.

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Ein Hersteller von Bleistiften hat anfangs 20 000 Stifte in seinem Lager,
nach 183 Tagen ist (bei gleichmäßiger Nachfrage seitens der Kunden) nur noch $\frac{1}{10}$ davon vorrätig, wenn währenddessen keine Stifte produziert werden.
Ergibt sich eine lineare oder exponentielle Abnahme für $f (x) =$ Vorrat nach $x$ Tagen?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wachstumsprozesse - eine Übersicht
Lineare oder exponentielle Abnahme für $f (x) =$ Vorrat nach $x$ Tagen?
Es handelt sich um eine lineare Abnahme, weil von einer gleichmäßigen Nachfrage gesprochen wird. Das heißt, die Kunden kaufen jeden Tag die gleiche Menge an Stifte.
Exponentiell wäre der Zusammenhang genau dann, wenn die Nachfrage der Kunden gleichmäßig bspw. um $10 %$ jeden Tag ansteigen würde.
Es sind noch $\dfrac{1}{10}$ von $20000$ gleich $2000$ Bleistifte vorrätig, d.h. es wurden $18000$ Stifte verkauft.
Pro Tag nahm der Vorrat um $\dfrac{18000}{183}\approx98$ Stifte ab.
Die lineare Funktionsgleichung lautet demnach:
$\displaystyle f(x)=20000-\dfrac{18000}{183}\cdot x$
.
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Berechne, wie viele Stifte verkauft wurden.
Berechne den Verkauf pro Tag.

$\displaystyle f(6)$	$=$	$\displaystyle 84\cdot a^6$
$\displaystyle 313$	$=$	$\displaystyle 84\cdot a^6$
$\displaystyle \Rightarrow\;a^6$	$=$	$\displaystyle \dfrac{313}{84}$	$\displaystyle \sqrt[6]{~}$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \sqrt[6]{\dfrac{313}{84}}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 1{,}245$

Entwicklung von 1990 bis 1996 durch eine Exponentialfunktion $f(x)=84\, a^ x$

Wie ist dieser Wert für a zu interpretieren?

Passen die Daten von 1984 und 2002 zu dieser Modellierung

Wann (in der Vergangenheit) startete nach diesem Modell die Fläche bei 0 ha?

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Lösung mithilfe der allgemeinen Potenzfunktion

Ausgangssituation:

Situation nach 183 Sekunden:

Resultierender Funktionsterm

Bestimmung der Halbwertszeit

Ergebnis: Die Halbwertszeit T beträgt etwa 55,1 Sekunden.

Bemerkung

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Lineare oder exponentielle Abnahme für $f (x) =$ Vorrat nach $x$ Tagen?

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Entwicklung von 1990 bis 1996 durch eine Exponentialfunktion f(x)=84 axf(x)=84\, a^ xf(x)=84ax

Wie ist dieser Wert für a zu interpretieren?

Passen die Daten von 1984 und 2002 zu dieser Modellierung

Wann (in der Vergangenheit) startete nach diesem Modell die Fläche bei 0 ha?

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Lösung mithilfe der allgemeinen Potenzfunktion

Ausgangssituation:

Situation nach 183 Sekunden:

Resultierender Funktionsterm

Bestimmung der Halbwertszeit

Ergebnis: Die Halbwertszeit T beträgt etwa 55,1 Sekunden.

Bemerkung

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Lineare oder exponentielle Abnahme für f(x)=f(x)=f(x)= Vorrat nach xxx Tagen?

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Entwicklung von 1990 bis 1996 durch eine Exponentialfunktion $f(x)=84\, a^ x$

Lineare oder exponentielle Abnahme für $f (x) =$ Vorrat nach $x$ Tagen?