Aufgaben zu Exponential- und Logarithmusgleichungen

…

Gib die Definitionsmenge an und bestimme die Lösungsmenge der logarithmischen Gleichung.

$\log_5(\mathrm x)=2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Definitionsmenge
Da in den Logarithmus keine negative Zahl eingesetzt werden kann, ist die Definitionsmenge
Lösen der Gleichung
$\log_5\left(x\right)=2$
Löse nach x auf.
$x=5^2=25$
Die Lösungsmenge ist also $\mathbb L =\{25\}$
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$\log_3(x^3)=243$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus

Definitionsmenge

Da in den Logarithmus keine negative Zahl eingesetzt werden kann, ist die Definitionsmenge

\displaystyle D=\mathbb R^+

$\displaystyle \log_3\left(x^3\right)$	$=$	$\displaystyle 243$
	↓	Wende die passende Rechenregel für den Logarithmus einer Potenz an.
$\displaystyle 3\cdot\log_3\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 243$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle \log_3\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 81$
	↓	Löse nach x auf .
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 3^{81}$

Die Lösungsmenge ist also $\mathbb L =\{3^{81}\}$

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$\log_{10}(\mathrm x-2)+\log_{10}(\mathrm x+2)=1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus

Definitionsmenge

Da in den Logarithmus keine null oder negative Zahl eingesetzt werden kann, ist die Definitionsmenge von $\log_{10}(x-2)$ : $\mathbb{D_1}=\left]+2;\infty\right[$ . Bei $\log_{10}(x+2)$ wiederum ist die Definitionsmenge: $\mathbb{D_2}=\left]-2;\infty\right[$ .

Da eine Lösung nur gültig ist, wenn sie in beiden Definitionsmengen liegt, nimmst du die kleinere Definitionsmenge $\mathbb{D_1}$ . Somit ist die Definitionsmenge der Gleichung : $\mathbb{D}=\left]+2;\infty\right[$

Lösungsmenge

$\log_{10}\left(x-2\right)+\log_{10}\left(x+2\right)=1$

Kehre die passende Rechenregel für den Logarithmus eines Produkts um.

$\log_{10}\left[\left(x-2\right)\left(x+2\right)\right]=1$

Klammern ausmultiplizieren .

$\log_{10}\left(x^2-4\right)=1$

Es gilt: $\log_a\left(a\right)=1$ , also genau dann wenn der Termi im Logarithmus und die Basis des Logarithmus gleich sind. Deshalb muss $x^2-4= 10$ gelten.

$\displaystyle x^2-4$	$=$	$\displaystyle 10$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 14$	$\displaystyle \cdot\sqrt{ }$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \sqrt{14}$

( $x=-\sqrt{14}$ liegt nicht im Definitionsbereich)

Die Lösungsmenge ist also $\mathbb L =\{\sqrt{14}\}$

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$\log_2(\mathrm x^2)-\log_2(2\cdot\mathrm x)=4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus

Definitionsmenge

Da in den Logarithmus keine negative Zahl eingesetzt werden kann, ist die Definitionsmenge

\displaystyle D=\mathbb R^+

$\displaystyle \log_2\left(x^2\right)-\log_2\left(2x_{ }\right)$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Wende die passende Rechenregel für den Logarithmus einer Potenz an.
$\displaystyle 2\cdot\log_2\left(x\right)-\left[\log_2\left(2\right)+\log_2\left(x\right)\right]$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Achte auf das negative Vorzeichen bei Klammern .
$\displaystyle 2\cdot\log_2\left(x\right)-\log_2\left(2\right)-\log_2\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \log_2\left(x\right)-1$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle \log_2\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 5$
	↓	Löse nach x auf.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2^5$
	↓	Potenziere.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 32$

Die Lösungsmenge ist also $\mathbb L =\{32\}$

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Definitionsmenge

Lösen der Gleichung

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Definitionsmenge

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Definitionsmenge

Lösungsmenge

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Definitionsmenge

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