Aufgaben zu Exponential- und Logarithmusgleichungen

Gib die Definitionsmenge an und bestimme die Lösungsmenge der logarithmischen Gleichung.

$\log_{5} (x) = 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Definitionsmenge
Da in den Logarithmus keine negative Zahl eingesetzt werden kann, ist die Definitionsmenge
$D = ℝ^{+}$
Lösen der Gleichung
$\log_{5} (x) = 2$
Löse nach x auf.
$x = 5^{2} = 25$
Die Lösungsmenge ist also $𝕃 = {25}$
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$\log_{3} (x^{3}) = 243$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Definitionsmenge
Da in den Logarithmus keine negative Zahl eingesetzt werden kann, ist die Definitionsmenge
$D = ℝ^{+}$
$\log_{3} (x^{3})$ $=$ $243$
↓
Wende die passende Rechenregel für den Logarithmus einer Potenz an.
$3 \cdot \log_{3} (x)$ $=$ $243$ $: 3$
$\log_{3} (x)$ $=$ $81$
↓
Löse nach x auf .
$x$ $=$ $3^{81}$
Die Lösungsmenge ist also $𝕃 = {3^{81}}$
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$\log_{10} (x - 2) + \log_{10} (x + 2) = 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Definitionsmenge
Da in den Logarithmus keine null oder negative Zahl eingesetzt werden kann, ist die Definitionsmenge von $\log_{10} (x - 2)$ : $𝔻_{𝟙} =] + 2; \infty [$ . Bei $\log_{10} (x + 2)$ wiederum ist die Definitionsmenge: $𝔻_{𝟚} =] - 2; \infty [$ .
Da eine Lösung nur gültig ist, wenn sie in beiden Definitionsmengen liegt, nimmst du die kleinere Definitionsmenge $𝔻_{𝟙}$ . Somit ist die Definitionsmenge der Gleichung : $𝔻 =] + 2; \infty [$
Lösungsmenge
$\log_{10} (x - 2) + \log_{10} (x + 2) = 1$
Kehre die passende Rechenregel für den Logarithmus eines Produkts um.
$\log_{10} [(x - 2) (x + 2)] = 1$
Klammern ausmultiplizieren .
$\log_{10} (x^{2} - 4) = 1$
Es gilt: $\log_{a} (a) = 1$ , also genau dann wenn der Termi im Logarithmus und die Basis des Logarithmus gleich sind. Deshalb muss $x^{2} - 4 = 10$ gelten.
$x^{2} - 4$ $=$ $10$ $+ 4$
$x^{2}$ $=$ $14$ $\cdot \sqrt{}$
$x$ $=$ $\sqrt{14}$
( $x = - \sqrt{14}$ liegt nicht im Definitionsbereich)
Die Lösungsmenge ist also $𝕃 = {\sqrt{14}}$
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$\log_{2} (x^{2}) - \log_{2} (2 \cdot x) = 4$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\log_{3} (x^{3})$	$=$	$243$
	↓	Wende die passende Rechenregel für den Logarithmus einer Potenz an.
$3 \cdot \log_{3} (x)$	$=$	$243$	$: 3$
$\log_{3} (x)$	$=$	$81$
	↓	Löse nach x auf .
$x$	$=$	$3^{81}$

$x^{2} - 4$	$=$	$10$	$+ 4$
$x^{2}$	$=$	$14$	$\cdot \sqrt{}$
$x$	$=$	$\sqrt{14}$

$\log_{2} (x^{2}) - \log_{2} (2 x_{})$	$=$	$4$
	↓	Wende die passende Rechenregel für den Logarithmus einer Potenz an.
$2 \cdot \log_{2} (x) - [\log_{2} (2) + \log_{2} (x)]$	$=$	$4$
	↓	Achte auf das negative Vorzeichen bei Klammern .
$2 \cdot \log_{2} (x) - \log_{2} (2) - \log_{2} (x)$	$=$	$4$
	↓	Fasse zusammen.
$\log_{2} (x) - 1$	$=$	$4$	$+ 1$
$\log_{2} (x)$	$=$	$5$
	↓	Löse nach x auf.
$x$	$=$	$2^{5}$
	↓	Potenziere.
$x$	$=$	$32$

Definitionsmenge

Lösen der Gleichung

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Definitionsmenge

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Definitionsmenge

Lösungsmenge

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Definitionsmenge

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