In der Aufgabe sind Eigenschaften einer Logarithmusfunktion zu untersuchen.

Lösung Teilaufgabe a)

Gegeben ist die Funktion $f:x\mapsto 2-\ln (x-1)$ mit maximalem Definitionsbereich $D_f$. Bedingung für den maximalen Definitionsbereich ist, dass das Argument $x-1$ des Funktionsterms positiv ist.

Löse die Ungleichung:

$x-1>0\Rightarrow x>1$

Also gilt: $D_f=]1;+\infty [$

Zu untersuchen ist folgendes Grenzwertverhalten der Funktion:

a)$${\displaystyle \underset{h\to 0h>0}{\lim }f(1+h)}$$, also die Annäherung von rechts an $1$?

b)$${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)}$$, also das Verhalten für beliebig große $x$?

Es gilt:

a) $${\displaystyle \underset{h\to 0h>0}{\lim }[2-\ln (1+h-1)]=\underset{h\to 0}{\lim }[2-\underset{\to -\infty }{\underbrace{\ln (h)}}]=2+\infty =+\infty }$$

b)$${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }[2-\underset{\to +\infty }{\underbrace{\ln (x-1)}}]=-\infty }$$

Ergebnis:

Am linken Rand des Definitionsbereichs geht die Funktion gegen plus Unendlich, nach rechts geht sie gegen minus Unendlich.

Lösung Teilaufgabe b)

Setze den Funktionsterm gleich Null und löse die Gleichung.

$\begin{array}{rcll}2-\ln (x-1)& =& 0& |+\ln (x-1)\\ \ln (x-1)& =& 2& |e^{()}\\ x-1& =& e^2& |+1\\ x& =& 1+e^2& \end{array}$

Ergebnis:

$1+e^2$ ist die gesuchte Nullstelle.

Lösung Teilaufgabe c)

Der Graph $G_f$ kann insoweit "schrittweise" aus dem Graphen der Funktion $\ln$ entwickelt werden, als du am Term $f(x)$ erkennen kannst, dass er durch zwei Verschiebungen und eine Spiegelung an der $x$-Achse aus dem Term $\ln (x)$ erhalten werden kann:

1. Schritt: Verschiebe den Graphen von $f$ um $1LE$ längs der $x$-Achse nach rechts.

2. Schritt: Spiegle jetzt den erhaltenen Graphen an der $x$-Achse.

3. Schritt: Verschiebe den erhaltenen Graphen um $2LE$ längs der $y$-Achse nach oben.

Der 1. Schritt der Transformation ändert das Monotonieverhalten der ln-Funktion nicht. Der Graph bleibt monoton steigend.

Im 2. Schritt wird aus aus dem steigenden Graphen ein monoton fallender.

Der 3. Schritt ändert das Monotonieverhalten nicht.

Ergebnis:

$G_f$ ist monoton fallend.

Nicht verlangter Zusatz:

Der 1. Schritt der Transformation erbringt den neuen Definitonsbereich $]1;+\infty [$, der mit den beiden nächsten Schritten nicht mehr verändert wird.

Überzeuge dich im nachfolgenden Applet durch schrittweises Ändern der drei Schieberegler $a,b,c$,von der Möglichkeit die Funktion $f:x\mapsto \ln x$ schrittweise in die Funktion $f:x\mapsto -\ln (x-1)+2$ überzuführen.

Lösung Teilaufgabe d)

Die gegebene Funktion

ist eine der Stammfunktionen von $f$, wenn ihr Ableitungsterm $f(x)$ ergibt.

Bilde $F^{\prime }(x)$:

$\begin{array}{rcl}F(x)& =& 3x-(x-1)\cdot \ln (x-1)\\ F^{\prime }(x)& =& 3-[\stackrel{\text{Produktregel}}{\overbrace{1\cdot \ln (x-1)+(x-1)\cdot \underset{\text{Kettenregel}}{\underbrace{\frac{1}{x-1}\cdot 1}}}}]\\ F^{\prime }(x)& =& 3-[\ln (x-1)+1]\\ F^{\prime }(x)& =& 2-\ln (x-1)\end{array}$

Damit ist gezeigt, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.

Alle Stammfunktionen von $f$ werden erfasst durch:

$F_c(x)=3x-(x-1)\cdot \ln (x-1)+c$

Setze den Punkt $(2|0)$ in $F_c(x)$ ein und löse die Gleichung nach $c$ auf:

$\begin{array}{rcl}3\cdot 2-(2-1)\cdot \underset{0}{\underbrace{\ln (2-1)}}+c& =& 0\\ 6+c& =& 0\\ c& =& -6\end{array}$

Ergebnis:

Die Stammfunktion mit dem Term $F_c(x)=3x-(x-1)\cdot \ln (x-1)-6$ hat für $x=2$ eine Nullstelle.