In der Aufgabe sind Eigenschaften einer Logarithmusfunktion zu untersuchen.

Lösung Teilaufgabe a)

Gegeben ist die Funktion $f:x\mapsto2-\ln(x-1)$ mit maximalem Definitionsbereich $D_f$. Bedingung für den maximalen Definitionsbereich ist, dass das Argument $x-1$ des Funktionsterms positiv ist.

Löse die Ungleichung:

$x-1>0\quad\Rightarrow x>1$

Also gilt: $D_f=]1;+\infty[$

Zu untersuchen ist folgendes Grenzwertverhalten der Funktion:

a)$\;\displaystyle\lim_{{h\rightarrow 0}\\h>0}f(1+h)\;$, also die Annäherung von rechts an $1$?

b)$\displaystyle \;\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)\;$, also das Verhalten für beliebig große $x$?

Es gilt:

a) $\displaystyle \lim_{{h\rightarrow 0}\\h>0}[2-\ln({\color{red}1+h}-1)]=\lim_{h\rightarrow 0}[2-\underbrace{\ln(h)}_{\rightarrow-\infty}]=2+\infty=+\infty$

b)$\;\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}[2-\underbrace{\ln(x-1)}_{\rightarrow+\infty}]=-\infty$

Ergebnis:

Am linken Rand des Definitionsbereichs geht die Funktion gegen plus Unendlich, nach rechts geht sie gegen minus Unendlich.

Lösung Teilaufgabe b)

Setze den Funktionsterm gleich Null und löse die Gleichung.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}2-\ln(x-1)&=&0&|\;+\ln(x-1)\\\ln(x-1)&=&2&|\;e^{()}\\x-1&=&e^2&|\;+1\\x&=&1+e^2\end{array}$

Ergebnis:

$1+e^2$ ist die gesuchte Nullstelle.

Lösung Teilaufgabe c)

Der Graph $G_f$ kann insoweit "schrittweise" aus dem Graphen der Funktion $\ln$ entwickelt werden, als du am Term $f(x)$ erkennen kannst, dass er durch zwei Verschiebungen und eine Spiegelung an der $x$-Achse aus dem Term $\ln(x)$ erhalten werden kann:

1. Schritt: Verschiebe den Graphen von $f$ um $1\,LE$ längs der $x$-Achse nach rechts.

2. Schritt: Spiegle jetzt den erhaltenen Graphen an der $x$-Achse.

3. Schritt: Verschiebe den erhaltenen Graphen um $2 \ LE$ längs der $y$-Achse nach oben.

Der 1. Schritt der Transformation ändert das Monotonieverhalten der ln-Funktion nicht. Der Graph bleibt monoton steigend.

Im 2. Schritt wird aus aus dem steigenden Graphen ein monoton fallender.

Der 3. Schritt ändert das Monotonieverhalten nicht.

Ergebnis:

$G_f$ ist monoton fallend.

Nicht verlangter Zusatz:

Der 1. Schritt der Transformation erbringt den neuen Definitonsbereich $]1;+\infty[$, der mit den beiden nächsten Schritten nicht mehr verändert wird.

Überzeuge dich im nachfolgenden Applet durch schrittweises Ändern der drei Schieberegler $a,b,c$,von der Möglichkeit die Funktion $f: x \mapsto \ln\,x$ schrittweise in die Funktion $f:x\mapsto -\ln(x-1)\;+2$ überzuführen.

Lösung Teilaufgabe d)

Die gegebene Funktion

ist eine der Stammfunktionen von $f$, wenn ihr Ableitungsterm $f(x)$ ergibt.

Bilde $F'(x)$:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}F(x)&=&3x-(x-1)\cdot \ln(x-1)\\F'(x)&=&3-[\overbrace{1 \cdot \ln(x-1)+(x-1) \cdot \underbrace{\frac{1}{x-1} \cdot 1}_{\text{Kettenregel}}}^{\text{Produktregel}}]\\F'(x)&=&3-[\ln(x-1)+1]\\F'(x)&=&2-\ln(x-1)\end{array}$

Damit ist gezeigt, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.

Alle Stammfunktionen von $f$ werden erfasst durch:

$F_c(x)=3x-(x-1)\cdot\ln(x-1)+c$

Setze den Punkt $(2|0)$ in $F_c(x)$ ein und löse die Gleichung nach $c$ auf:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}3\cdot {\color{red}2}-({\color{red}2}-1)\cdot \underbrace{\ln({\color{red}2}-1)}_{{0}}+c&=&0\\6+c&=&0\\c&=&-6\end{array}$

Ergebnis:

Die Stammfunktion mit dem Term $F_c(x)=3x-(x-1)\cdot\ln(x-1)-6$ hat für $x=2$ eine Nullstelle.