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Teilermenge

Die Menge aller Teiler einer natürlichen Zahl nn bezeichnet man als Teilermenge. Die Teilermenge bezeichnet man mit T(n)T(n) oder TnT_n. Sie enthält alle natürlichen Zahlen, welche nn ohne Rest teilen.

Die Zahl 88 beispielsweise lässt sich durch 1 1, 22, 44 und 88 teilen. Somit ist die Teilermenge:

Die Zahl 11 und nn selbst sind immer Elemente der Teilermenge. Man nennt sie auch triviale Teiler. Jede Zahl hat also mindestens zwei Teiler (mit Ausnahme der 11). Zahlen mit genau zwei Teilern nennt man Primzahlen.

Es gilt folgender Zusammenhang: multipliziert man das kleinste und das größte Element der Teilermenge miteinander, erhält man immer nn. Dasselbe gilt paarweise für das zweitkleinste und das zweitgrößte Element, usw.

Eine besondere Situation hat man, wenn die Zahl eine Quadratzahl ist. Dann erreicht man von den größten und kleinsten Teilern aus gleichzeitig das Mittelelement, das mit sich selbst multipliziert wieder die Zahl ergibt.

Als Beispiel kann man die oben genannte Teilermenge T(8)={1;2;4;8}T\left(8\right)=\left\{1;2;4;8\right\} nehmen. Hier ist 18=81\cdot8=8 und 24=82\cdot4=8.

Ein Beispiel für die Teilermenge einer Quadratzahl ist T(16)={1;2;4;8;16}T(16)=\{1;2;4;8;16\} mit 116=28=161\cdot16 = 2\cdot8=16 und dem Mittelelement 44=164\cdot4=16.

Bestimmung der Teilermenge

Zur Bestimmung der Teilermenge hat man zwei Möglichkeiten. Bei kleinen Zahlen kann man durch Ausrechnen bzw. Ausprobieren alle Teiler finden. Bei größeren Zahlen muss man zuerst die Ausgangszahl in Primfaktoren zerlegen.

Bestimmung durch Ausprobieren

Bei kleinen Ausgangszahlen erkennt man schnell, durch welche Zahlen man diese teilen kann. Die 66 lässt sich beispielsweise durch 11, 2 2, 33 und 66 teilen. Man erkennt hier auch leicht, ob man alle Teiler hat. Es gilt also T(6)={1;2;3;6}T\left(6\right)=\left\{1;2;3;6\right\}.

Bestimmung durch Primfaktorzerlegung

Bei größeren Zahlen, z.B. 6363, muss man diese zuerst in ihre Primfaktoren zerlegen.

Der erste mögliche Primfaktor ist 33.

Der nächste mögliche Primfaktor ist ebenfalls 33.

Die Primfaktorzerlegung ist damit abgeschlossen.

Um die Teiler von 63 63 auszurechnen, muss man jetzt noch alle Primfaktoren untereinander multiplizieren. In die Teilermenge müssen jetzt nur noch die vorher gefundenen Primfaktoren und die 11 aufgenommen werden:

T={1;3;7;9;21;63}T=\left\{1;3;7;9;21;63\right\}

Übungsaufgaben: Teilermenge

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