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Teilermenge

Die Menge aller Teiler einer natĂŒrlichen Zahl nn bezeichnet man als Teilermenge. Die Teilermenge bezeichnet man mit T(n)T(n) oder TnT_n. Sie enthĂ€lt alle natĂŒrlichen Zahlen, welche nn ohne Rest teilen.

Die Zahl 88 beispielsweise lÀsst sich durch 1 1, 22, 44 und 88 teilen. Somit ist die Teilermenge:

Die Zahl 11 und nn selbst sind immer Elemente der Teilermenge. Man nennt sie auch triviale Teiler. Jede Zahl hat also mindestens zwei Teiler (mit Ausnahme der 11). Zahlen mit genau zwei Teilern nennt man Primzahlen.

Es gilt folgender Zusammenhang: multipliziert man das kleinste und das grĂ¶ĂŸte Element der Teilermenge miteinander, erhĂ€lt man immer nn. Dasselbe gilt paarweise fĂŒr das zweitkleinste und das zweitgrĂ¶ĂŸte Element, usw.

Eine besondere Situation hat man, wenn die Zahl eine Quadratzahl ist. Dann erreicht man von den grĂ¶ĂŸten und kleinsten Teilern aus gleichzeitig das Mittelelement, das mit sich selbst multipliziert wieder die Zahl ergibt.

Als Beispiel kann man die oben genannte Teilermenge T(8)={1;2;4;8}T\left(8\right)=\left\{1;2;4;8\right\} nehmen. Hier ist 1⋅8=81\cdot8=8 und 2⋅4=82\cdot4=8.

Ein Beispiel fĂŒr die Teilermenge einer Quadratzahl ist T(16)={1;2;4;8;16}T(16)=\{1;2;4;8;16\} mit 1⋅16=2⋅8=161\cdot16 = 2\cdot8=16 und dem Mittelelement 4⋅4=164\cdot4=16.

Bestimmung der Teilermenge

Zur Bestimmung der Teilermenge hat man zwei Möglichkeiten. Bei kleinen Zahlen kann man durch Ausrechnen bzw. Ausprobieren alle Teiler finden. Bei grĂ¶ĂŸeren Zahlen muss man zuerst die Ausgangszahl in Primfaktoren zerlegen.

Bestimmung durch Ausprobieren

Bei kleinen Ausgangszahlen erkennt man schnell, durch welche Zahlen man diese teilen kann. Die 66 lÀsst sich beispielsweise durch 11, 2 2, 33 und 66 teilen. Man erkennt hier auch leicht, ob man alle Teiler hat. Es gilt also T(6)={1;2;3;6}T\left(6\right)=\left\{1;2;3;6\right\}.

Bestimmung durch Primfaktorzerlegung

Bei grĂ¶ĂŸeren Zahlen, z.B. 6363, muss man diese zuerst in ihre Primfaktoren zerlegen.

Der erste mögliche Primfaktor ist 33.

Der nÀchste mögliche Primfaktor ist ebenfalls 33.

Die Primfaktorzerlegung ist damit abgeschlossen.

Um die Teiler von 63 63 auszurechnen, muss man jetzt noch alle Primfaktoren untereinander multiplizieren. In die Teilermenge mĂŒssen jetzt nur noch die vorher gefundenen Primfaktoren und die 11 aufgenommen werden:

T={1;3;7;9;21;63}T=\left\{1;3;7;9;21;63\right\}

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