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Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

größter gemeinsamer Teiler

Als "Teiler" einer ganzen Zahl xx bezeichnet man eine natürliche Zahl, durch die sich xx ohne Rest teilen lässt. Teiler listet man oft als Menge.

Beispiel:

Ein Teiler von 2020 ist 22, weil 20:2=1020:2=10 Rest 00 ist. Alle Teiler sind 11, 22, 44, 55, 1010 und 2020 (als Menge: {1;2;4;5;10;20}\{1;2;4;5;10;20\})

Der größte gemeinsame Teiler (=ggT) zweier oder mehrerer Zahlen ist die größte natürliche Zahl, durch die sich alle diese Zahlen teilen lassen.

Beispiel:

Die Teiler von 2020 sind 11, 22, 44, 55, 1010 und 2020.

Die Teiler von 3030 sind 11, 22, 33, 55, 66, 1010, 1515 und 3030.

Der größte gemeinsame Teiler von 2020 und 3030 ist 1010, also kurz ggT(20;30)=10\text{ggT}(20;30)=10

Den ggT nutzt man beispielsweise beim Rechnen mit Brüchen. Dort ist es hilfreich, den ggT\mathrm{ggT} von Zähler und Nenner zu bestimmen, um mit ihm zu kürzen.

Wie kommt man auf den ggT\mathrm{ggT} ?

Im Folgenden werden dir 3 verschiedene Methoden zur Berechnung des ggTs vorgestellt:

Teiler auflisten

Diese Methode funktioniert bei kleinen Zahlen, bei denen man leicht überprüfen kann, welche Teiler sie haben.

Beispiel 1

Gesucht ist der ggT\mathrm{ggT} von 16 und 20.

Teiler von 16:

1

2

4

8

16

Teiler von 20:

1

2

4

5

10

20

Die größte Zahl, die sowohl Teiler von 1616 als auch von 2020 ist, ist 44 ⇒\Rightarrow ggT(16;20)=4\mathrm{ggT}(16;20)=4

Beispiel 2

Gesucht ist der ggT von 88, 1212 und 3030.

Teiler von 8:

1

2

4

8

Teiler von 12:

1

2

4

6

12

Teiler von 30:

1

2

3

5

6

10

15

30

Die größte Zahl, die sowohl Teiler von 88, 1212 als auch von 3030 ist, ist 22 ⇒\Rightarrow ggT(8;12;30)=2\mathrm{ggT}(8;12;30)=2

Video zur Bestimmung des ggt (Teiler auflisten)

Über die Primfaktorzerlegung

Hat man die Primfaktorzerlegung zweier (oder mehrerer) Zahlen, kann man daraus den größten gemeinsamen Teiler ausrechnen.

Der ggT\mathrm{ggT} zweier (oder mehrerer) Zahlen ist das Produkt aus allen Primfaktoren, die beide Zahlen gemeinsam haben.

Wenn zwei (oder mehrere) Zahlen teilerfremd sind, hat ihr ggT den Wert 11.

Beispiel 1

Gesucht ist ggT(12;18)\mathrm{ggT}(12;18) :

12=2⋅2⋅318=2⋅3⋅3ggT(12;18)=2⋅3=6\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}12&=&\textcolor{orange}{2}&\cdot2&\cdot\textcolor{orange}{3}\\18&=&\textcolor{orange}{2}&&\cdot \textcolor{orange}{3}&\cdot3\\\hline \text{ggT}(12;18)&=&\textcolor{orange}{2}&&\cdot \textcolor{orange}{3}&&=6\end{array}

Beide Zahlen haben die 22 und die 33 jeweils einfach als Primfaktoren gemeinsam.

Also ist ggT(12;18)=2⋅3=6\mathrm{ggT}(12;18)=2\cdot3=6

Beispiel 2

Gesucht ist ggT(120;900)\mathrm{ggT}(120;900) :

120=2⋅2⋅2⋅3⋅5900=2⋅2⋅3⋅3⋅5⋅5ggT(120;900)=2⋅2⋅3⋅5=60\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}120&=&\textcolor{orange}{2}&\cdot\textcolor{orange}{2}&\cdot2&\cdot\textcolor{orange}{3}&&\cdot\textcolor{orange}{5}\\900&=&\textcolor{orange}{2}&\cdot\textcolor{orange}{2}&&\cdot\textcolor{orange}{3}&\cdot3&\cdot\textcolor{orange}{5}&\cdot5\\\hline\text{ggT}(120;900)&=&\textcolor{orange}{2}&\cdot\textcolor{orange}{2}&&\cdot\textcolor{orange}{3}&&\cdot\textcolor{orange}{5}&&=60\end{array}

Beide Zahlen haben die 22, 33 und 55 als Primfaktoren gemeinsam. Den Primfaktor 22 haben beide sogar zweimal gemeinsam.

Also ist ggT(120;900)=2⋅2⋅3⋅5=22⋅3⋅5=60\mathrm{ggT}(120;900)=2\cdot2\cdot3\cdot5=2^2\cdot3\cdot5=60

Beispiel 3

Gesucht ist ggT(105;26)\mathrm{ggT}(105;26) :

105=3⋅5⋅726=2⋅13ggT(105;26)=1\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}105&=&&3&\cdot5&\cdot7\\26&=&2&&&&\cdot13\\\hline\text{ggT}(105;26)&&&&&&&=1\end{array}

Die beiden Zahlen haben also keinen gemeinsamen Primfaktor. Deshalb ist ggT(105;26)=1\mathrm{ggT}(105;26)=1

Beispiel 4

Gesucht ist der ggT(10;15;90)\text{ggT}(10;15;90).

10=2⋅515=3⋅590=2⋅3⋅3⋅5ggT(10;15;90)=5\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}10&=&2&&&\cdot\textcolor{orange}{5}\\15&=&&3&&\cdot \textcolor{orange}{5}&&\\90&=&2&\cdot 3&\cdot 3&\cdot \textcolor{orange}{5}\\\hline\text{ggT}(10;15;90)&=&&&&\textcolor{orange}{5}\end{array}

Die drei Zahlen haben also den gemeinsamen Primfaktor 55. Deshalb ist ggT(10;15;90)=5\mathrm{ggT}(10;15;90)=5

Video zur Bestimmung des ggT (Primfaktorzerlegung)

Über den euklidischen Algorithmus

Mit dem euklidischen Algorithmus kann man den größten gemeinsamen Teiler auch ausrechnen. Mitunter ist es ein wenig langwierig, aber hat man die Methode einmal verstanden, führt sie einen auch für große Zahlen sicher zum Ziel.

Die Vorgehensweise mittels dieser Methode ist im folgenden Artikel erklärt: euklidischer Algorithmus

Es lässt sich hierdurch erstmal nur der ggT zweier Zahlen bestimmen. Möchtest du den ggT dreier (oder von noch mehr Zahlen) mithilfe dieser Methode berechnen, musst du mehrstufig vorgehen.

Beispiel: Gesucht ist der ggT von 6060, 9090 und 100100. Berechne den ggT zweier Zahlen, z.B. ggT(60;90)=30\text{ggT}(60;90)=30. Danach kannst du die Methode nochmal anwenden:

ggT(60;90;100)\displaystyle \text{ggT}(60;90;100)==ggT(ggT(60;90);100)\displaystyle \text{ggT}(\text{ggT}(60;90);100)
↓

Berechne den ggT von 60 und 90 mittels des euklidischen Algorithmus.

==ggT(30;100)\displaystyle \text{ggT}(30;100)
↓

Wende den euklidischen Algorithmus nochmals an.

==10\displaystyle 10

Übungsaufgaben: Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu ggT und kgV

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