Bestimme die Ableitung. Benutze dafür die Kettenregel.
Zu text-exercise-group 15383: Zu kompliziert? g? h?
CutterSlade 2015-03-26 16:54:35+0100
Lösung zu Aufgabe a) : Ich glaube die erste Übungsaufgabe sollte keine abstrakt abzuleitenden Therme (sin, cos) enthalten, sondern nur wie im Artikel zur Kettenregel (x-1)² oder so zur Wiederholung und Verinnerlichung des Konzepts. Außerdem enthält die Aufgabe gleich eine doppelt verschachtelte/verkettete innere und äußere Ableitung, wenn ich das richtig verstanden habe. Diese Aufgabe sollte daher eine der letzten in dieser Liste sein. Wo kommen plötzlich g und h her? Dienen die der Verdeutlichung der doppelten Verkettung? Beziehen sich u(x)=cos(x) und v(x)=sin(x) (Zeilen 6,7 der Lösung) auf die Originalfunktion oder auf g(x), h(x) oder g'(x) aus Zeile 2,3 und 5 der Lösung? Vielleicht sollten hier noch einmal Pfeile zur Verdeutlichung genutzt werden? Ich bin jetzt ziemlich verwirrt, zu viele Klammern :D!
Nish 2015-03-31 13:52:36+0200
Hallo ClutterSlade,
danke dir erstmal für deine Mitarbeit. Ich gebe dir recht, dass die Aufgabe eher weiter unten sein sollte. Ich kümmere mich darum. Ich werde auch die Lösung umschreiben, dass es hoffentlich verständlicher wird. u und v beziehen sich auf h(x). Was der Ersteller dieser Lösung macht, ist, dass er h(x) mit u(x) und v(x) in h(x)=u(v(x)) umzuschreibt, um erneut die Kettenregel anzuwenden. Also definiert er zunächst g und h um f in f(x)= g(h(x)) darzustellen und Kettenregel anzuwenden. Dann u und v um h darzustellen und Kettenregel zu verwenden. Also führt er die Funktionen g, h, u und v ein, um aufzuzeigen, dass f bzw. h eine verkettete Funktion ist und die Kettenregel verwendet werden kann.
Viele Grüße,
Nish
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f(x)=x3f\left(x\right)=\sqrt{x^3}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel

f(x)=x3f\left(x\right)=\sqrt{x^3}
Finde die einzelnen Funktionen.
x3\sqrt{x^3} kannst du auch als x32x^{\frac32} schreiben. Dann kannst du die Formel für die Ableitung von xnx^n, die auch für rationale Exponenten gilt, verwenden. Du erhälst natürlich das gleiche Ergebnis und es geht schneller. Daher solltest du die Kettenregel als Alternativlösung im Hinterkopf behalten, falls du mal die Formel für die Ableitung von xnx^n vergessen solltest ;)
g(x)=xg(x)=\sqrt{x}
h(x)=x3\\h(x)= x^3
f(x)=g(h(x))\\\Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)
Finde die einzelnen Ableitungen.
g(x)=12xg'\left(x\right)=\frac1{2\sqrt x}
h(x)=3x2h'\left(x\right)=3x^2
Setze nun in die Formel der Kettenregel ein.
f(x)=g(h(x))h(x)=12h(x)3x2=3x22x3\begin{array}{rcl}f'\left(x\right)&=&g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)\\\\&=&\frac{1}{2\sqrt{h\left(x\right)}}\cdot3x^2\\\\&=&\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3}}\end{array}
Am Ende könntest du noch vereinfachen.
f(x)=3x22x3=32x4x3=32xf'\left(x\right)=\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3}}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{x^4}{x^3}}=\frac{3}{2}\sqrt{x}
f(x)=2x3f(x) = \sqrt{2x^{-3}}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel

f(x)=2x3f(x) = \sqrt{2x^{-3}}
Finde die einzelnen Funktionen.
x3x^{-3} kann auch als 1x3\frac{1}{x^3} geschrieben werden.
g(x)=xg(x) = \sqrt{x}\\
h(x)=2x3h(x) = \frac{2}{x^3}\\
f(x)=g(h(x))\Rightarrow f(x) = g(h(x))
Finde die einzelnen Ableitungen.
g(x)=12xg'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\\
h(x)=6x4h'(x) = -\frac{6}{x^4}
Setze nun in die Formel der Kettenregel ein.
f(x)=g(h(x))h(x)=12h(x)6x4=3x42x3=32x5\begin {array}{rcl}f'(x) &=& g'(h(x)) \cdot h'(x) \\\\&=& \frac{1}{2\sqrt{h(x)}} \cdot \frac{-6}{x^4}\\\\&=& \frac{-3}{x^4\sqrt{2x^{-3}}}\\\\&=& \frac{-3}{\sqrt{2x^5}}\end{array}
f(x)=ex3f(x) = e^{x^3}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel

f(x)=ex3f \left( x \right) = e^{x^3}
Finde die einzelnen Funktionen.
g(x)=exg \left( x \right) = e^x\\h(x)=x3\\h \left( x \right) = x^3\\f(x)=g(h(x))\\\Rightarrow f \left( x \right) = g \left( h \left( x \right) \right)
Bestimme die einzelnen Ableitungen.
g(x)=exg'\left( x\right) = e^x\\h(x)=3x2\\h' \left( x \right) = 3 x^2
Setze nun in die Formel der Kettenregel ein.
f(x)=g(h(x))h(x)=ex33x2\begin{array}{rcl}f'\left(x\right)&=&g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)\\\\&=&e^{x^3} \cdot 3x^2\end{array}
f(x)=ln(x2+4)f(x)=\ln(x^2+4)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel

f(x)=ln(x2+4)f(x)=ln\left(x^2+4\right)
Finde die einzelnen Funktionen.
g(x)=ln(x)\displaystyle g\left(x\right)=ln\left(x\right)
h(x)=x2+4\displaystyle h\left(x\right)=x^2+4
f(x)=g(h(x))\displaystyle \Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)
Bilde die Ableitung zu den gefundenen Funktionen.
g(x)=1xg'\left(x\right) = \frac{1}{x}\\h(x)=2x\\h'\left(x\right) = 2x
Setze nun alles Benötigte in die Formel ein.
f(x)=g(h(x))h(x)=1h(x)2x=2xx2+4\begin{array}{rcl}f'\left(x\right)&=&g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)\\\\&=&\frac{1}{h\left(x\right)}\cdot2x\\\\&=&\frac{2x}{x^2+4}\end{array}