10Zusammenfassung

Negative Exponenten und Potenzgesetze

Definition

$a^n= \underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a},\\ \;\;\;\;\;\;\;\; \; \text{n Faktoren}$ für $a \in \mathbb{Q}, n \in \mathbb{N}$ Beispiel: $5^3 = 5\cdot 5\cdot 5$

$a$$^1 = a$ für $a\in \mathbb{Q}$ Beispiel: $5^1 = 5$

$a^{0\ }=\ 1$ für $a\ \in\mathbb{Q}$ Beispiel: $5^0 = 1$

$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ für $a \in \mathbb{Q}\backslash\{0\}, \;\;n\geq 1$ Beispiele: $5^{-3} = \dfrac{1}{5^3} = \dfrac{1}{125}$

$x^{-4} = \dfrac{1}{x^4}$

Beachte: $(-3)^2 = (-3)\cdot(-3)=9,$ aber $-3^2 = -(3\cdot3) = -9$

Große und kleine Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise

$7{,}71\ \cdot10^7\ =\ 77\ 100\ 000\$

10 mit positivem Exponenten$\;\Rightarrow\;$das Komma rückt um 7 Stellen nach rechts

$1{,}6\cdot10^{-4}\ =\ 0{,}00016\$

10 mit negativen Exponenten$\;\Rightarrow\;$das Komma rückt um 4 Stellen nach links

Rechengesetze für Potenzen $(a, b \in \mathbb{Q}\backslash \{0\}$ und $m, n \in \mathbb{Z})$

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ Beispiele: $3^2\cdot3^{-5}=3^{2+(-5)}=3^{2-5}=3^{-3}\ \left(=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}\right)$

$x^{-1}\cdot x^4 = x^{-1+4} = x^3$

$a^m:a^n=\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ Beispiele: $\frac{5^9}{5^7}=5^{9-7}=5^2\ \left(=25\right)$

$x^9 : x^{-7} = x^{9-(-7)} = x^{9+7} = x^{16}$