Kurvendiskussion

$f(x)=\dfrac{y}{z}=\dfrac{(x+1)^2}{z}$

Setze jetzt die 2. Bedingung ein. Es muss eine nicht-hebbare Definitionslücke bei $x=3$ geben.

$\mathrm f(\mathrm x)=\frac{\mathrm y}{\mathrm z}$

Setze die 1. Bedingung ein (Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei 2)

$\Rightarrow$   Funktion bei 2 nicht definiert

$\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=\frac{\mathrm y}{\left(\mathrm x-2\right)^2}$

Setze die 2. Bedingung ein (Asymptote bei 0,5), d. h. Zählergrad = Nennergrad und es muss einen Faktor 0,5 geben.

$\Rightarrow\;\;\mathrm f( x)=\dfrac{0{,}5\cdot x^2}{\left(x-2\right)^2}$

Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle)

Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x)=$\frac yz$

Setze die 1. Bedingung ein: Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei -1 und 2

${\mathrm f}_1(\mathrm x)=\frac1{\left(\mathrm x+1\right)\left(\mathrm x-2\right)}$

Setze die 2. Bedingung ein: Asymptote bei $0{,}5\mathrm x-1$

$\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=0{,}5\mathrm x-1+\frac1{\left(\mathrm x+1\right)\left(\mathrm x-2\right)}$

Zeichne eine Skizze der Funktion

Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x)= $\frac yz$

Setze die 1. Bedingung ein: Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei -2

$\Rightarrow$ auch Polstelle bei 2, da Funktion punktsymmetrisch sein soll

$\mathrm f(\mathrm x)=\frac1{\left(\mathrm x+2\right)\left(\mathrm x-2\right)}=\frac1{\mathrm x^2-4}$

Setze 2. Bedingung ein: punktsymmetrisch zum Ursprung

$\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=\frac{\mathrm x}{\mathrm x^2-4}$

Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle).

Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x) = $\frac yz$

Setze die 1. Bedingung ein: Polstelle bei 0 und achsensymmetrisch

$\Rightarrow$ bei 0 nicht definiert (unter dem Bruch) und gerade Potenz

$\mathrm f(\mathrm x)=\frac1{\mathrm x^{2\mathrm n}}$

Setze die 2. Bedingung ein: Asymptote bei $\mathrm y=0$

$\mathrm f(\mathrm x)=\frac1{\mathrm x^4}$

Setze die 3. Bedingung ein: Nullstelle bei 2 und achsensymmetrisch.

$\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=\frac{\mathrm x^2-4}{\mathrm x^4}$

Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle).