Kurvendiskussion

$f(x)={\displaystyle \frac{y}{z}}={\displaystyle \frac{(x+1{)}^2}{z}}$

Setze jetzt die 2. Bedingung ein. Es muss eine nicht-hebbare Definitionslücke bei $x=3$ geben.

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{z}}$

Setze die 1. Bedingung ein (Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei 2)

$\Rightarrow$   Funktion bei 2 nicht definiert

$\Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{y}}{{(\mathrm{x}-2)}^2}$

Setze die 2. Bedingung ein (Asymptote bei 0,5), d. h. Zählergrad = Nennergrad und es muss einen Faktor 0,5 geben.

$\Rightarrow \mathrm{f}(x)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}\cdot x^2}{{(x-2)}^2}}$

Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle)

Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x)=$\frac{y}{z}$

Setze die 1. Bedingung ein: Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei -1 und 2

${\mathrm{f}}_1(\mathrm{x})=\frac{1}{(\mathrm{x}+1)(\mathrm{x}-2)}$

Setze die 2. Bedingung ein: Asymptote bei $\mathrm{0,5}\mathrm{x}-1$

$\Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{0,5}\mathrm{x}-1+\frac{1}{(\mathrm{x}+1)(\mathrm{x}-2)}$

Zeichne eine Skizze der Funktion

Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x)= $\frac{y}{z}$

Setze die 1. Bedingung ein: Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei -2

$\Rightarrow$ auch Polstelle bei 2, da Funktion punktsymmetrisch sein soll

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{(\mathrm{x}+2)(\mathrm{x}-2)}=\frac{1}{{\mathrm{x}}^2-4}$

Setze 2. Bedingung ein: punktsymmetrisch zum Ursprung

$\Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2-4}$

Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle).

Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x) = $\frac{y}{z}$

Setze die 1. Bedingung ein: Polstelle bei 0 und achsensymmetrisch

$\Rightarrow$ bei 0 nicht definiert (unter dem Bruch) und gerade Potenz

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{{\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}}}$

Setze die 2. Bedingung ein: Asymptote bei $\mathrm{y}=0$

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{{\mathrm{x}}^4}$

Setze die 3. Bedingung ein: Nullstelle bei 2 und achsensymmetrisch.

$\Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{{\mathrm{x}}^2-4}{{\mathrm{x}}^4}$

Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle).