Kurvendiskussion

$f(x)={\displaystyle \frac{y}{z}}={\displaystyle \frac{(x+1{)}^2}{z}}f(x)=\backslash dfrac\{y\}\{z\}=\backslash dfrac\{(x+1)^2\}\{z\}$

Setze jetzt die 2. Bedingung ein. Es muss eine nicht-hebbare Definitionslücke bei $x=3x=3$ geben.

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{z}}\backslash mathrm\; f(\backslash mathrm\; x)=\backslash frac\{\backslash mathrm\; y\}\{\backslash mathrm\; z\}$

Setze die 1. Bedingung ein (Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei 2)

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$   Funktion bei 2 nicht definiert

$\Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{y}}{{(\mathrm{x}-2)}^2}\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ;\backslash mathrm\; f(\backslash mathrm\; x)=\backslash frac\{\backslash mathrm\; y\}\{\backslash left(\backslash mathrm\; x-2\backslash right)^2\}$

Setze die 2. Bedingung ein (Asymptote bei 0,5), d. h. Zählergrad = Nennergrad und es muss einen Faktor 0,5 geben.

$\Rightarrow \mathrm{f}(x)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}\cdot x^2}{{(x-2)}^2}}\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ;\backslash mathrm\; f(\; x)=\backslash dfrac\{0\{,\}5\backslash cdot\; x^2\}\{\backslash left(x-2\backslash right)^2\}$

Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle)

Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x)=$\frac{y}{z}\backslash frac\; yz$

Setze die 1. Bedingung ein: Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei -1 und 2

${\mathrm{f}}_1(\mathrm{x})=\frac{1}{(\mathrm{x}+1)(\mathrm{x}-2)}\{\backslash mathrm\; f\}\_1(\backslash mathrm\; x)=\backslash frac1\{\backslash left(\backslash mathrm\; x+1\backslash right)\backslash left(\backslash mathrm\; x-2\backslash right)\}$

Setze die 2. Bedingung ein: Asymptote bei $\mathrm{0,5}\mathrm{x}-10\{,\}5\backslash mathrm\; x-1$

$\Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{0,5}\mathrm{x}-1+\frac{1}{(\mathrm{x}+1)(\mathrm{x}-2)}\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ;\backslash mathrm\; f(\backslash mathrm\; x)=0\{,\}5\backslash mathrm\; x-1+\backslash frac1\{\backslash left(\backslash mathrm\; x+1\backslash right)\backslash left(\backslash mathrm\; x-2\backslash right)\}$

Zeichne eine Skizze der Funktion

Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x)= $\frac{y}{z}\backslash frac\; yz$

Setze die 1. Bedingung ein: Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei -2

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ auch Polstelle bei 2, da Funktion punktsymmetrisch sein soll

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{(\mathrm{x}+2)(\mathrm{x}-2)}=\frac{1}{{\mathrm{x}}^2-4}\backslash mathrm\; f(\backslash mathrm\; x)=\backslash frac1\{\backslash left(\backslash mathrm\; x+2\backslash right)\backslash left(\backslash mathrm\; x-2\backslash right)\}=\backslash frac1\{\backslash mathrm\; x^2-4\}$

Setze 2. Bedingung ein: punktsymmetrisch zum Ursprung

$\Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2-4}\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ;\backslash mathrm\; f(\backslash mathrm\; x)=\backslash frac\{\backslash mathrm\; x\}\{\backslash mathrm\; x^2-4\}$

Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle).

Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x) = $\frac{y}{z}\backslash frac\; yz$

Setze die 1. Bedingung ein: Polstelle bei 0 und achsensymmetrisch

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ bei 0 nicht definiert (unter dem Bruch) und gerade Potenz

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{{\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}}}\backslash mathrm\; f(\backslash mathrm\; x)=\backslash frac1\{\backslash mathrm\; x^\{2\backslash mathrm\; n\}\}$

Setze die 2. Bedingung ein: Asymptote bei $\mathrm{y}=0\backslash mathrm\; y=0$

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{{\mathrm{x}}^4}\backslash mathrm\; f(\backslash mathrm\; x)=\backslash frac1\{\backslash mathrm\; x^4\}$

Setze die 3. Bedingung ein: Nullstelle bei 2 und achsensymmetrisch.

$\Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{{\mathrm{x}}^2-4}{{\mathrm{x}}^4}\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ;\backslash mathrm\; f(\backslash mathrm\; x)=\backslash frac\{\backslash mathrm\; x^2-4\}\{\backslash mathrm\; x^4\}$

Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle).