Aufgaben zu Extremwertproblemen im Koordinatensystem

Von einer Parabel sind der Scheitelpunkt $S (2, 5 | 12, 5)$ und eine Nullstelle $x = 5$ bekannt. Eine Gerade schneidet die $y$ - Achse bei $y = - 1$ und geht durch den Punkt $R (3 | 5)$ .

$a)$ Bestimme den Funktionsterm $f (x)$ zur Parabel und den Funktionsterm $g (x)$ zur Geraden.

$b)$ Die Gerade $x = u$ $(0 \leq u \leq 4)$ schneidet die Parabel (Graph zu $f (x)$ ) im Punkt $P$ und die Gerade $g (x)$ im Punkt $Q$ .

Für welches $u$ ist die Strecke $P Q$ maximal?

Abb. 1

Parabel $f (x)$ , Gerade $g (x)$

und Gerade $x = u$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum

Lösung Teilaufgabe a)

Bestimmen der Funktionsgleichung von f

Aus der Aufgabenstellung kannst du bereits die wichtigsten Daten herauslesen, um die Funktionsgleichung von $f$ zu berechnen.

Der Graph von $f$ ist eine Parabel, also ist $f$ eine quadratische Funktion
Der Scheitel der Parabel liegt bei $S (2,5 | 12,5)$ .
Die Funktionsgleichung hat eine Nullstelle bei $x = 5$ .

Da $f$ eine qudratische Funktion ist und dessen Scheitel gegeben ist, kannst du hilft dir die Scheitelpunktsform $f$ zu bestimmen:

Die Funktion $f$ hat die Form: $f (x) = a (x - d)^{2} + e$ , wobei der Scheitelpunkt bei $S (d | e)$ liegt.

Da der Scheitel laut Angabe bei $S (2,5 | 12,5)$ liegt, ist in dieser Aufgabe $d = 2,5$ und $e = 12,5$ .

Setze nun $d$ und $e$ in die Funktionsgleichung ein:

f (x) = a (x - d)^{2} + e = a \cdot (x - 2,5)^{2} + 12,5

Nun haben wir eine Funktionsgleichung gefunden, die einen Scheitel bei $S (2,5 | 12,5)$ hat. Der Öffnungsfaktor $a$ der Parabel fehlt noch. Hier hilft dir die Angabe der Nullstelle, um $a$ (und dadurch auch $f$ ) eindeutig zu bestimmen.

Da $x = 5$ eine Nullstelle ist, ist $f (5) = 0$ . Setze $x = 5$ in $f$ ein und löse nach $a$ auf:

$\begin{array}{rcl} f (5) & = & 0 \\ a \cdot (5 - 2,5)^{2} + 12,5 & = & 0 \\ 6,25 a + 12,5 & = & 0 \\ 6,25 a & = & - 12,5 \end{array}$

$\Rightarrow a = - \frac{12,5}{6,25} = - 2$

$\Rightarrow f (x) = - 2 (x - 2,5)^{2} + 12,5$

Wenn du willst, kannst du $f (x)$ nun noch ausmultiplizieren:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & - 2 (x^{2} - 5 x + 6,25) + 12,5 \\ = & - 2 x^{2} + 10 x - 12,5 + 12,5 \\ = & - 2 x^{2} + 10 x \end{array}$

Bestimmen der Funktionsgleichung für g

Aus der Angabe kannst du folgende Daten zu $g$ herauslesen:

$g$ ist eine Gerade.
$g$ schneidet die $y$ -Achse bei $y = - 1$ .
Der Punkt $R (3 | 5)$ liegt auf $g$ .

Eine Gerade ist der Graph einer linearen Funktion und hat im allgemeinen die Form $g (x) = m x + t$ .

$m$ bezeichnet die Steigung der Geraden und $t$ den $y$ -Achsenanschnitt, also bei welchem $y$ -Wert die Gerade die $y$ -Achse schneidet.

Da der $g$ die $y$ -Achse bei $y = - 1$ schneidet ist $t = - 1$ und du bekommst $g (x) = m x - 1$ als erstes Ergebnis.

Setzt man nun den Punkt $R (3 | 5)$ in $g (x)$ ein, kann die Steigung $m$ berechnet werden:

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & m x - 1 \\ 5 & = & m \cdot 3 - 1 \\ 6 & = & 3 \cdot m \\ m & = & 2 \end{array}$

$\Rightarrow g (x) = 2 x - 1$

Antwort: Die gesuchten Funktionsgleichungen für die Parabel und die Gerade lauten: $f (x) = - 2 x^{2} + 10 x$ und $g (x) = 2 x - 1$ .

Lösung Teilaufgabe b)

Die Länge der Strecke $P Q$ soll maximal werden.

$P Q$ ist die Differenz der Funktionswerte $f (u)$ und $g (u)$ also $f (u) – g (u)$

Die Zielfunktion lautet also:

D (u) = f (u) – g (u)

$D (u)$ ist eine quadratische Funktion in Abhängigkeit von $u$ .

Setze $f (u)$ und $g (u)$ in $D (u)$ ein und löse soweit wie möglich auf:

$D (u) = (- 2 u^{2} + 10 u) - (2 u - 1) = - 2 u^{2} + 8 u + 1$

Von dieser Funktion soll das Maximum bestimmt werden. Dies kannst du auf folgende zwei Arten machen:

i) mit Scheitelpunktsbestimmung und mit dem Wissen über quadratische Funktionen

ii) mit der Ableitung .

i) Lösen mit Hilfe der Scheitelpunktsbestimmung und dem Wissen über quadratische Funktionen

$D (u) = - 2 u^{2} + 8 u + 1$

Der Koeffizient vor dem $x^{2}$ ist negativ , somit handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel.

Der Scheitelpunkt ist daher ein Maximum.

Du kannst nun den Scheitelpunkt durch quadratische Ergänzung ermitteln.

Klammere zuerst $(- 2)$ aus:

D (u) = - 2 (u^{2} - 4 u - 0,5)

Der gemischte Term in der Klammer ist $- 4 u$ , d.h. du musst eine quadratische Ergänzung mit ${(\frac{4}{2})}^{2} = 2^{2}$ machen.

Addiere in der Klammer $2^{2}$ und subtrahiere diesen Term gleich wieder:

D (u) = - 2 (u^{2} - 4 u + 2^{2} - 2^{2} - 0,5)

Fasse die ersten drei Terme in der Klammer mit Hilfe der 2. binomischen Formel zusammen:

D (u) = - 2 ((u - 2)^{2} - 2^{2} - 0,5) = - 2 ((u - 2)^{2} - 4,5)

Löse die Klammer wieder auf:

﻿ D (u) = (- 2) \cdot (u - 2)^{2} + (- 2) \cdot (- 4,5) = (- 2) \cdot (u - 2)^{2} + 9

Lies den Scheitelpunkt ab:

D (u) = (- 2) \cdot (u - 2)^{2} + 9 \Rightarrow S (2 | 9)

Antwort: An der Stelle $x = u = 2$ liegt ein Maximum vor. Die längste Strecke $P Q$ hat die Länge $9 L E$ (Längeneinheiten).

ii) Lösen mit der Ableitung

$D (u) = - 2 u^{2} + 8 u + 1$

Die Nullstellen der 1. Ableitung von $D (u)$ sind mögliche Maximalstellen. Wenn zudem die 2. Ableitung kleiner $0$ ist hat man ein Maximum berechnet.

Die $1.$ Ableitung lautet: $D^{'} (u) = - 4 u + 8$

Bestimme die Nullstellen von $D^{'} (u)$ .

\begin{array}{rcl} D^{'} (u) & = & 0 \\ - 4 u + 8 & = & 0 \\ - 4 u & = & - 8 \\ u & = & 2 \end{array}

Die $2.$ Ableitung lautet: $D^{''} (u) = - 4 < 0$ .

$D^{''} (u)$ ist also für jedes $u$ aus dem Definitionsbereich $< 0$ und somit auch bei $D^{''} (2) < 0$ .

$D (u)$ hat also ein lokales Maximum bei $u = 2$ .

Berechnet man $D (2)$ , so erhält man die maximale Länge der Strecke $P Q$ .

D (2) = (- 2) \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 + 1 = - 8 + 16 + 1 = 9

Antwort: An der Stelle $x = u = 2$ liegt ein Maximum vor.

Die längste Strecke $P Q$ hat die Länge $9 L E$ (Längeneinheiten).

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