Anwendungsaufgaben zu funktionalen Zusammenhängen

Hier findest du Verständnis- und Rechenaufgaben zu funktionalen Zusammenhängen. Entdecke interessante Eigenschaften und vertiefe dein Wissen!

1
In einem Labor ist die Temperatur im Versuchsraum über einen Zeitraum von 36 Stunden von einem automatischen Messgerät aufgezeichnet worden.
Die Aufzeichnung ergibt den folgenden Temperaturverlauf:
Entnimm dem Graphen folgende Informationen:
1. Wie hoch war die Temperatur im Raum zu Beginn der Beobachtung?
  °C
  
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  Zu Beginn der Beobachtung ist
  t=0.
  Gesucht ist also der Schnittpunkt der Kurve des Temperaturverlaufs mit der y-Achse, d.h. mit der Temperaturachse.
  Die y-Achse wird im Punkt
  (0∣10) geschnitten.
2. Wann erreichte die Temperatur das erste Mal 20 °C?
  Nach ...
  h
  
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  Zeichne eine Gerade mit der Gleichung
  y=20 ein, da der Temperaturwert
  20
  ∘
  C betragen soll.
  Die Gerade
  y=20 schneidet die Kurve des Temperaturverlaufs zweimal.
  In der Aufgabe wird nach dem ersten Mal gefragt. Das ist bei
  t=10 Stunden der Fall.
3. Wie viele Stunden war es im Versuchsraum 20 °C oder wärmer?
  h
  
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  Betrachte die Abbildung bei Teilaufgabe b).
  Die Gerade mit der Gleichung
  y=20 schneidet den Temperaturverlauf sowohl bei
  t=10h als auch bei
  t=22h
  Die Differenz der beiden Zeitwerte ist die gesuchte Lösung der Teilaufgabe c)
  ⇒
  22h−10h=12h.
4. Wann ungefähr erreichte die Temperatur ihren höchsten Wert?
  h
  
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  Wir suchen den höchsten Punkt des Temperaturverlaufs.
  Auf der Zeitachse entspricht ein Teilstrich 0,4 Stunden. Das Temperaturmaximum liegt zwischen 16 und
  18 Stunden, beim 3. Teilstrich. Zu den 16 Stunden müssen also
  $3⋅0{,}4=1{,}2$ Stunden addiert werden, sodass sich eine Zeit von 17,2 Stunden ergibt (senkrechte Gerade $x=17{,}2$ ⁣).
  Anmerkung: 2 Stunden entsprechen jeweils 5 Teilstrichen.
  d.h. ein Teilstrich entspricht
  $120\min:5=24\min$ .
  Zu den 16 Stunden müssen dementsprechend $3⋅24\min=72$ min addiert werden. Das ergibt dann 17 Stunden und 12min.
5. Wie hoch war der höchste Temperaturwert ungefähr?
  °C
  
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  Betrachte die Abbildung bei Teilaufgabe d).
  Die eingezeichnete Parallele zur x-Achse durch das Maximum schneidet die y-Achse im Punkt $(0∣29)$ , d.h. das Temperaturmaximum hat etwa die Koordinaten $(17{,}2∣29)$ . Der y-Wert des Temperaturmaximums zeigt die höchste Temperatur an.
6. Wie hoch war die Temperatur ungefähr nach 28 Stunden?
  °C
  
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  Zeichne in die Abbildung die Gerade $x=28$ . Sie schneidet die Kurve des Temperaturverlaufs im Punkt $S(28∣16)$ .
2
Anna und Basti sind zwei Sprinter des TSV Mathematika und wollen ein Sprintduell gegeneinander machen. Anna beschleunigt zwar langsamer als Basti, hat dafür aber eine höhere Endgeschwindigkeit. Nach ihrem Duell werden ihre Geschwindigkeiten als Graph in Abhängigkeit der Zeit in das folgende Diagramm gezeichnet.
Begründe, welcher der beiden Graphen zu welchem Läufer gehört.
Der blaue Graph gehört zu Basti
Der blaue Graph gehört zu Anna
Der orange Graph gehört zu Basti
Der orange Graph gehört zu Anna
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geschwindigkeit
$Geschwindigkeit=\frac{Strecke}{Zeit}$ oder auch $v=\frac{s}{t}$
Der Läufer, dessen Lauf der orange Graph darstellt, erreicht die Geschwindigkeit 4m/s bereits nach 4 Sekunden, läuft dann aber weiter, ohne seine Geschwindigkeit zu steigern.
Der Läufer, dessen Lauf der blaue Graph darstellt, erreicht die Geschwindigkeit 4m/s erst nach 6 Sekunden, steigert dann aber seine Geschwindigkeit auf 6m/s. Diese Geschwindigkeit behält er dann bei.
> Der blaue Graph gehört zu Anna, der orange Graph gehört zu Basti
3
Endlich Schulschluss! Miriam steht am Fahrradstellplatz, setzt ihre Schultasche in den Korb auf dem Gepäckträger ihres Fahrrads und packt, weil es ein warmer Sommertag ist, auch ihre Jacke dazu. Sie schließt das Schloss ihres Fahrrads auf und fährt los.
Nachdem sie ein Stück weit gekommen ist, muss sie an einer Ampel warten. Dort bemerkt sie, dass sie ihre Jacke verloren hat.
Sie kehrt um, findet die Jacke auf dem Boden liegend, hebt sie auf und verstaut sie sicher auf dem Gepäckträger. Dann setzt sie ihren Heimweg fort.
Das Zeit-Ort-Diagramm ihres Heimwegs sieht ungefähr so aus:
Beantworte die folgenden Fragen mit Hilfe des Diagramms:
Um wie viel Uhr ist Miriam von der Schule losgefahren?
Wie weit ist sie gefahren, bis sie zu der Ampel kam?
Wann ist sie an der Ampel angekommen, und wie lange hat sie dort gewartet, ehe sie umkehrte, um die Jacke zu suchen?
Wie weit von der Schule entfernt lag die Jacke auf dem Boden?
Wie viele Meter musste Miriam insgesamt zusätzlich fahren, weil sie die Jacke verloren hatte?
Musste Miriam auch beim zweiten Mal wieder an der Ampel warten, oder stand die Ampel diesmal auf Grün?
Wie weit ist Miriams Schulweg?
Wann kam Miriam vor ihrem Haus an?
Und überlege dir schließlich: Was könnte Miriam in der Zeit von 16:40 Uhr bis 16:45 Uhr getan haben?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Diagramme interpretieren
Lösung Teilaufgabe 1
Betrachte zunächst die Zeitachse. Zwischen $16:00$ und $16:15$ Uhr gibt es $3$ Blöcke mit jeweils $5$ Teilstrichen, also $15$ Teilstriche für $15$ Minuten. Ein Teilstrich entspricht also $1$ Minute.
Antwort: Die Fahrt beginnt demnach um $16:05$ Uhr ( $5$ Teilstriche nach $16$ Uhr)
Lösung Teilaufgabe 2
Betrachte zunächst die Orts-Achse (y-Achse). Hier entspricht $1$ Teilstrich $100$ Meter.
Geht man vom Ort um $16:13$ Uhr ( $2$ Teilstriche links neben $16:15$ Uhr) nach links bis zur Orts-Achse oder y-Achse (roter Pfeil), so kann man dort $800 \mathrm{m}$ ablesen.
Antwort: Miriam hat $800 \mathrm{m}$ bis zur Ampel zurückgelegt.
Lösung Teilaufgabe 3
In Teilaufgabe 2 ist schon die Zeit genannt worden.
Antwort: Sie ist um $16:13$ Uhr an der Ampel angekommen.
Der waagerechte Wegstrich bedeutet Stillstand (keine Ortsveränderung). Dieser waagerechte Wegstrich ist genau $1$ Teilstrich lang, d.h. sie hat $1$ Minute gewartet, ehe sie umkehrte.
Lösung Teilaufgabe 4
Von den zurückgelegten $800$ Metern (siehe Teilaufgabe 2) ist sie bis auf eine Entfernung von $500 \mathrm{m}$ zur Schule zurückgefahren.
Antwort: Die Jacke lag $500 \mathrm{m}$ von der Schule entfernt.
Lösung Teilaufgabe 5
Sie musste $800 \mathrm{m} - 500\mathrm{m} =300 \mathrm{m}$ zurückfahren.
Antwort: Sie musste insgesamt $2\cdot300 \mathrm{m} = 600\mathrm{m}$ zusätzlich fahren, weil sie ihre Jacke verloren hatte.
Lösung Teilaufgabe 6
Der waagerechte Wegstrich an der Ampel ist wieder $1$ Teilstrich lang.
Antwort: Miriam musste $1$ Minute an der Ampel warten.
Lösung Teilaufgabe 7
An Ende des Graphen befindet sich ein $5$ Teilstriche langer waagrechter Wegstrich, d.h. es findet keine Ortsveränderung mehr statt. Danach endet der Graph, d.h. Miriam ist zu Hause angekommen. Geht man von diesem waagrechten Wegstrich nach links bis zur Orts-Achse oder y-Achse (roter Pfeil), so kann man dort $2500 \mathrm{m}$ ablesen.
Antwort: Miriam hat einen Schulweg von $2500 \mathrm{m}.$
Lösung Teilaufgabe 8
Der Graph endet um $16:45$ Uhr, d.h. Miriam ist zu Hause angekommen. Geht man von $16:45$ Uhr um $5$ Teilstriche zurück, d.h. um $5$ Minuten, so erhält man Miriams Ankunftszeit vor dem Haus.
Antwort: Miriam ist um $16:40$ Uhr vor ihrem Haus angekommen.
Zusatzfrage: Miriam bleibt noch $5$ Minuten vor ihrem Haus stehen, da sie noch ihre Sachen vom Fahrrad nehmen und das Fahrrad abschließen muss.
Alternativ könnte sie auch bemerkt haben, dass auf ihrem Handy eine SMS eingegangen ist und sie möchte noch schnell wissen, um was es geht.
4
Das Diagramm zeigt, wie viel Benzin sich zu jedem Zeitpunkt einer Reise im Tank eines Fahrzeugs befindet.
1. Beschreibe knapp, was um 16:00 Uhr geschieht.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Diagramme interpretieren
  gegebene Informationen:
  Situation um $16:00$ Uhr: Auto mit $5\mathrm l$ Benzin gefüllt
  Situation um $16:00$ Uhr: Auto mit $40\mathrm l$ Benzin gefüllt
  Differenz des Benzinstandes um $16:00$ Uhr berechnen.
  $5\mathrm l-40\mathrm l=-35\mathrm l=\left|35\mathrm l\right|$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Es wurden $35\mathrm l$ getankt.
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2. EWie viele Liter Benzin hat das Auto auf der Reise von 10:00 Uhr bis 21:00 Uhr verbraucht?
  l
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Diagramme interpretieren
  gegebene Informationen:
  Anfangssituation um $10:00$ Uhr: Auto mit $45\mathrm l$ Benzin gefüllt.
  Situation um $16:00$ Uhr: Auto mit $5\mathrm l$ Benzin gefüllt.
  Situation um $16:00$ Uhr: Auto mit $40\mathrm l$ Benzin gefüllt.
  Endsituation $21:00$ Uhr: Auto mit $10\mathrm l$ Benzin gefüllt.
  Differenz des Benzinstandes zwischen $10:00$ und $16:00$ sowie zwischen $16:00$ und $21:00$ Uhr berechnen.
  $45\mathrm l-5\mathrm l=40\mathrm l$
  $40\mathrm l-10\mathrm l=30\mathrm l$
  Die Ergebnisse beider Differenzen addieren .
  $40\mathrm l+30\mathrm l=70\mathrm l$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Es wurden $70\mathrm l$ verbraucht.
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5
In den folgenden Bildern A, B und C siehst du drei Graphen, die den gleichen Sachverhalt zeigen.
Die Preise sind in € angegeben.
a) Erkläre, worin sich die drei Graphen unterscheiden.
b) Finde Gemeinsamkeiten der drei Graphen.
c) Begründe, welche Darstellung du am geeignetsten findest.

Teilaufgabe a)
Der Maßstab der drei Graphen unterscheidet sich. Für die y-Achse wurden folgende Maßstäbe gewählt:
A: 1cm $\hat{=}$ 0,25 €
B: 1cm $\hat{=}$ 0,5 €
C: 1cm $\hat{=}$ 1 €
Teilaufgabe b)
Alle Graphen zeigen den gleichen Sachverhalt. Somit sind alle Zuordnungen von Preis und Menge gleich.
Auf der x-Achse wurde jeweils der gleiche Maßstab gewählt: 1cm $\hat{=}$ 1 Stück
Teilaufgabe c)
In der Darstellung A kann man am besten den Preis für eine bestimmte Menge ablesen.
In Darstellung C ist das eher schwierig.
Und auch in Darstellung B ist es weniger leicht die Wertepaare abzulesen als in A.
Daher ist die Darstellung A zu empfehlen.
6
Der Graph zeigt, wie ein Gefäß innerhalb von 10 Minuten mit Wasser gefüllt wird.
1. Bestimme, wie viel Wasser in den ersten 3 Minuten eingefüllt wird.
  l
2. Beschreibe, was zwischen der 6. und der 9. Minute passiert.
3. Lies ab, wie viel Liter Wasser in 10 Minuten insgesamt eingefüllt wird.
  l
7
Auf folgenden Rennstrecken wurde die Geschwindigkeit einer Fahrerin in der 2. Runde gemessen.
Ordne die folgenden Geschwindigkeitsgraphen, den entsprechenden Rennstrecken zu. Begründe deine Entscheidung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Diagramme interpretieren
Jede der Abbildungen von 1 bis 4 enthält verschiedene Streckenabschnitte. Sie geben Auskunft über die dort gefahrene Geschwindigkeiten.
Verläuft der Geschwindigkeitsgraph waagerecht, so wird dort mit konstanter Geschwindigkeit gefahren.
Ist die Steigung des Geschwindigkeitsgraphen negativ, so nimmt die Geschwindigkeit ab, d. h. hier wird gebremst.
Ist die Steigung des Geschwindigkeitsgraphen positiv, so nimmt die Geschwindigkeit zu, hier wird beschleunigt.
Die Kurvenform gibt Auskunft darüber wie stark gebremst werden muss.
Je enger die Kurve ist (starke Krümmung der Bahnkurve), desto stärker muss die Geschwindigkeitsabnahme erfolgen (starkes Bremsen). Bei einer nicht so stark gekrümmten Kurve ist auch die Geschwindigkeitsabnahme geringer.
So kann man anhand der Abbildungen 1 bis 4 die Art der Kurve identifizieren.
Der Graph der Rennstrecke a ist ein Kreis. Die Fahrt auf einem Kreis ist eine gleichförmige Kreisbewegung, bei der die Geschwindigkeit konstant bleibt. Der einzige Geschwindigkeitsgraph mit einer konstanten Geschwindigkeit von $180~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ (waagerechte Gerade) ist Graph Nr. 2.
Der Graph der Rennstrecke b enthält drei Kurven, eine sehr enge Kurve (starke Geschwindigkeitsabnahme bis auf $80~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ ) und zwei etwas weitere Kurven (geringere Geschwindigkeitsabnahme bis auf $180~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ ). Der Graph der Rennstrecke b enthält außerdem auch zwei längere, fast gerade Bahnstrecken. Zu den zwei längeren geraden Bahnstrecken gehören in der Abbildung 3 auch zwei längere Streckenbereiche mit gleicher Geschwindigkeit.
Zu b passt also nur der Graph 3 mit insgesamt drei Kurvenfahrten.
Der Graph der Rennstrecke c enthält vier gleich gestaltete Kurven und auch zwei längere gerade Bahnstrecken. Zu den zwei längeren geraden Bahnstrecken gehören in der Abbildung 4 auch zwei längere Streckenbereiche mit gleicher Geschwindigkeit. Zu c passt also der Graph 4 mit insgesamt vier gleichen Kurvenfahrten.
Der Graph der Rennstrecke d enthält drei sehr enge Kurven (starke Geschwindigkeitsabnahme von $240~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ bis auf $120~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ ) und drei etwas weitere Kurven (geringere Geschwindigkeitsabnahme von $240~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ auf $200~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ ). Zu dieser Abbildung passt also nur der Graph 1.
Im folgenden Abschnitt sind die Rennstrecken und die zugehörigen Geschwindigkeitsgraphen noch einmal nebeneinander dargestellt.
Graph zu Strecke a)
Graph zu Strecke b)
Graph zu Strecke c)
Graph zu Strecke d)
8
Du fährst mit dem Fahrrad durch die Stadt. Eine App in deinem Handy misst alle 2 Minuten deine aktuelle Geschwindigkeit.
Beschreibe deine Fahrt, zum Beispiel, indem du erst einen Graphen zeichnest und diesen dann deutest. Was könnten Gründe für die jeweiligen Geschwindigkeiten sein?
Minuten nach Fahrtbeginn
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
aktuelle Geschwindigkeit (km/h)
0
5
5
0
10
5
5
2
2
0
0

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graphen mit einer Wertetabelle zeichnen
Graph zeichnen
Trage die Punkte aus der Wertetabelle in ein Koordinatensystem ein:
Graph/Tabelle beschreiben
Zunächst beschleunigst du und fährst dann für längere Zeit mit 5 km/h.
Dann bremst du und stehst während Minute 6.
Danach beschleunigst du sehr stark auf 10 km/h.
Anschließend fährst du erneut längere Zeit mit 5 km/h.
Während der 14. und 16. Minute fährst du langsamer, mit 2 km/h.
Nach der 18. Minute stehst du.
Deutung der Werte
Vermutlich fährst du auf geraden Strecken sehr bequem mit 5 km/h.
In der 6. Minute könntest du an einer Ampel stehen oder nochmal angehalten haben, um kurz etwas nachzusehen.
Danach geht es bergab, weshalb du sehr schnell fahren kannst.
Während du 2 km/h fährst, könnte es sein, dass du einen Berg hinauf fährst oder mehr Verkehr herrscht.
Vermutlich bist du nach 18 Minuten am Ziel angekommen.
Zeichne zuerst den Graphen oder stelle ihn dir vor und deute dann die Werte.