Aufgaben zur Volumenberechung bei zusammengesetzten Körpern

Zerteile zuerst den Körper in Quader.

Oberster Quader:$V_{\text{Quader oben}} = 3\text{ cm}\cdot4\text{ cm}\cdot3\text{ cm}=36\text{ cm}^3$

Mittlerer Quader: $V_{\text{Quader Mitte}} = 11\text{ cm}\cdot 3\text{ cm}\cdot4\text{ cm}=132\text{ cm}^3$

Unterer Quader: $V_\text{Quader unten} = 3\text{ cm}\cdot4\text{ cm}\cdot 2\text{ cm=24} \text{ cm}^3$

Jetzt musst du nur noch alle Volumen miteinander addieren.

Berechne als Erstes einen der Zylinder.

$(2\text{ cm})^2\cdot\pi\cdot3\text{ cm}\approx37{,}7\text{ cm}^3$

Berechne nun den Quader.

$13\text{ cm}\cdot 4\text{ cm}\cdot3\text{ cm}=156\text{ cm}^3$

Nun musst du nur noch dreimal den Zylinder mit dem Quader addieren.

$3\cdot37{,}7\text{ cm}^3+156\text{cm}^3\approx269.1\text{ cm}^3$

Teile den Körper zuerst in 4 Quader ein.

$5\text{ cm}\cdot6\text{ cm}\cdot3\text{ cm}=90\text{ cm}^3$

Rechne jetzt den roten Quader aus.

$15\text{ cm}\cdot 6\text{ cm}\cdot2\text{ cm}=180\text{ cm}^3$

Rechne nun einen der zwei grünen Quader aus.

$6\text{ cm}\cdot 4\text{ cm}\cdot4\text{ cm}=96\text{ cm}^3$

Jetzt musst du nur noch alle Quader zusammenrechnen. Allerdings musst du den grünen Quader zweimal nehmen.

$90~\text{cm}^3+180~\text{cm}^3+2\cdot 96~\text{cm}^3=462~\text{cm}^3$

Quelle: torange.biz, CC-BY-SA-4.0

Du kannst das Volumen von diesem Haus auf zwei Arten berechnen:

• Entweder als ein Prisma mit der ganzen Vorderseite des Hauses als Grundfläche

• oder als einen zusammengesetzten Körper aus einem Quader (unterer Teil des Hauses) und einem Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche (das Dach).

In dieser Lösung wird das Volumen für den zusammengesetzten Körper berechnet.

Gegeben: Länge des Quaders = $7\, \mathrm{m}$ Breite des Quaders = $4\, \mathrm{m}$

Die Höhe des Quaders musst du erst noch ausrechnen.

Höhe des Quaders = ?

Die Höhe berechnest du, indem du von der Gesamthöhe des Hauses ($4{,}5 \, \mathrm{m}$) die Höhe des Dachs ($2 \, \mathrm{m}$) abziehst.

Höhe des Quaders = $4{,}5 \, \mathrm{m} - 2 \, \mathrm{m} = 2{,}5 \, \mathrm{m}$

Jetzt kannst du das Volumen des Quaders berechnen.

$V_\text{Quader} = \text{Länge} \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe} = 7 \, \mathrm{m} \cdot 4 \, \mathrm{m} \cdot 2{,}5 \, \mathrm{m} = 70 \, \mathrm{m^3}$

Gegeben: Länge des Dachs = $7 \, \mathrm{m}$ Breite des Dachs = $4 \, \mathrm{m}$ Höhe des Dachs = $2 \, \mathrm{m}$

Für das Volumen des Prismas benötigst du zuerst seine Grundfläche. Diese ist hier ein Dreieck. Die Höhe des Dreiecks ist die Dachhöhe und die Grundseite ist die Breite des Dachs.

$G_\text{Prisma} = \frac12 \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe} = \frac12 \cdot 4 \, \mathrm{m} \cdot 2 \, \mathrm{m} = 4 \, \mathrm{m^2}$

Berechne jetzt das Volumen des Prismas. Beachte, dass die Höhe des Prismas hier die Länge des Dachs ist.

$V_\text{Prisma} = G_\text{Prisma} \cdot \text{Länge} = 4 \, \mathrm{m^2} \cdot 7 \, \mathrm{m} = 28\,\mathrm{m^3}$

$V_\text{Haus} = \ldots ?$

Addiere jetzt die einzelnen Teile, um das Gesamtvolumen zu berechnen.

$V_\text{Haus} = V_\text{Quader} + V_\text{Prisma} = 70 \, \mathrm{m^3} + 28 \, \mathrm{m^3} = 98 \, \mathrm{m^3}$