Aufgaben zum Begriff der Quadratwurzel

In dieser Aufgabe kannst du beispielsweise zuerst die fehlenden Flächeninhalte berechnen und danach die fehlenden Seitenlängen.

Berechnung der Flächeninhalte

Den Flächeninhalt eines Quadrats bestimmst du aus der Formel:

Berechne mit der Formel nun die fehlenden Flächeninhalte:

$a=4\text{cm}\Rightarrow A_{\mathrm{\square }}=(4\text{cm}{)}^2=16{\text{cm}}^{2}a=4\backslash text\{cm\}\; \backslash Rightarrow\; A\_\backslash square=(4\backslash text\{cm\})^2=16\backslash text\{cm\}^2$

$a=1\text{m}\Rightarrow A_{\mathrm{\square }}=(1\text{m}{)}^2=1{\text{m}}^{2}a=1\backslash text\{m\}\; \backslash Rightarrow\; A\_\backslash square=\; (1\backslash text\{m\})^2=1\backslash text\{m\}^2$

$a=7\text{cm}\Rightarrow A_{\mathrm{\square }}=(7\text{cm}{)}^2=49{\text{cm}}^{2}a=7\backslash text\{cm\}\; \backslash Rightarrow\; A\_\backslash square=(7\backslash text\{cm\})^2=49\backslash text\{cm\}^2$

$a=10\text{mm}\Rightarrow A_{\mathrm{\square }}=(10\text{mm}{)}^2=100{\text{mm}}^{2}a=10\backslash text\{mm\}\; \backslash Rightarrow\; A\_\backslash square=(10\backslash text\{mm\})^2=100\backslash text\{mm\}^2$

Berechnung der Seitenlängen

Um die fehlenden Seitenlängen zu erhalten, musst du dich nun fragen, welche Zahl mit sich selbst malgenommen den entsprechenden Flächeninhalt ergibt.

Also z.B. "Welche Zahl mal sich selbst ergibt $4949$?" $\to \backslash rightarrow$ $7\cdot 7=497\backslash cdot7=49$, also ist die gesuchte Seitenlänge $7\text{m}7\backslash text\{m\}$.

$A_{\mathrm{\square }}=49{\text{m}}^2\Rightarrow 7\cdot 7=49\Rightarrow a=7\text{m}A\_\backslash square\; =\; 49\backslash text\{m\}^2\; \backslash Rightarrow\; 7\backslash cdot\; 7\; =49\; \backslash \backslash \; \backslash Rightarrow\; a=7\backslash text\{m\}$

$A_{\mathrm{\square }}=81{\text{cm}}^2\Rightarrow 9\cdot 9=81\Rightarrow a=9\text{cm}A\_\backslash square\; =\; 81\backslash text\{cm\}^2\; \backslash Rightarrow\; 9\backslash cdot\; 9\; =81\; \backslash \backslash \; \backslash Rightarrow\; a=9\backslash text\{cm\}$

$A_{\mathrm{\square }}=121{\text{dm}}^2\Rightarrow 11\cdot 11=121\Rightarrow a=11\text{dm}A\_\backslash square\; =\; 121\backslash text\{dm\}^2\; \backslash Rightarrow\; 11\backslash cdot\; 11\; =121\; \backslash \backslash \; \backslash Rightarrow\; a=11\backslash text\{dm\}$

$A_{\mathrm{\square }}=25{\text{cm}}^2\Rightarrow 5\cdot 5=25\Rightarrow a=5\text{cm}A\_\backslash square\; =\; 25\backslash text\{cm\}^2\; \backslash Rightarrow\; 5\backslash cdot\; 5\; =25\; \backslash \backslash \; \backslash Rightarrow\; a=5\backslash text\{cm\}$

Lösung

Berechnung der Seitenlänge des $\text{farbigen Quadrats}\backslash text\{\backslash color\{009999\}\{farbigen\; Quadrats\}\}$

Die Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge $aa$ lautet:

Du weißt aus der Angabe, dass der Flächeninhalt des farbigen Quadrats $9{\text{ cm}}^{2}9\; \backslash text\{\; cm\}^2$ beträgt.

Um nun die Seitenlänge zu erhalten, musst du dich fragen, welche Zahl mit sich selbst malgenommen $9{\text{ cm}}^{2}9\; \backslash text\{\; cm\}^2$ ergibt.

Das farbige Quadrat hat eine Seitenlänge von $a=3\text{ cm}a=\; 3\backslash text\{\; cm\}$.

Bestimmung des Umfangs des Rechtecks

Die Formel für den Umfang eines Rechtecks mit der Länge $ll$ und der Breite $bb$ lautet:

Aus dem Bild kannst du entnehmen, dass die Länge des Rechtecks 6 mal die Seitenlänge $\mathit{a}\backslash boldsymbol\; a$ des Quadrats ist und die Breite des Rechtecks 4 mal der Seitenlänge des Quadrats entspricht.

Nun kannst du die Länge und die Breite in die Formel für den Umfang eines Rechtecks einsetzten und erhältst die Lösung:

$U_{\text{Rehteck}}=2\cdot l+2\cdot b=2\cdot 18\text{ cm}+2\cdot 12\text{ cm}=60\text{ cm}U\_\{\backslash text\{Rehteck\}\}\; =\; 2\backslash cdot\; l+\; 2\backslash cdot\; b=2\backslash cdot\; 18\; \backslash text\{\; cm\}\; +2\backslash cdot\; 12\; \backslash text\{\; cm\}=\; 60\backslash text\{\; cm\}$

Der Umfang des Rechtecks beträgt $60\text{ cm}60\backslash text\{\; cm\}$.