Aufgaben zum Begriff der Quadratwurzel

1
In der folgenden Tabelle ist die Seitenlänge eines Quadrats $a$ oder dessen Flächeninhalt $A_{□}$ gegeben.
In den Tabellen fehlen noch einige Werte. Berechne sie im Kopf.
a
$4 cm$
?
$1 m$
$7 cm$
$A_{□}$
?
$49 m^{2}$
?
?
a
?
$10 mm$
?
?
$A_{□}$
$81 {cm}^{2}$
?
$121 {dm}^{2}$
$25 {cm}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadrat
In dieser Aufgabe kannst du beispielsweise zuerst die fehlenden Flächeninhalte berechnen und danach die fehlenden Seitenlängen.
Berechnung der Flächeninhalte
Den Flächeninhalt eines Quadrats bestimmst du aus der Formel:
$A_{□} = a^{2} = a \cdot a$
Berechne mit der Formel nun die fehlenden Flächeninhalte:
$a = 4 cm \Rightarrow A_{□} = (4 cm)^{2} = 16 {cm}^{2}$
$a = 1 m \Rightarrow A_{□} = (1 m)^{2} = 1 m^{2}$
$a = 7 cm \Rightarrow A_{□} = (7 cm)^{2} = 49 {cm}^{2}$
$a = 10 mm \Rightarrow A_{□} = (10 mm)^{2} = 100 {mm}^{2}$
Berechnung der Seitenlängen
Um die fehlenden Seitenlängen zu erhalten, musst du dich nun fragen, welche Zahl mit sich selbst malgenommen den entsprechenden Flächeninhalt ergibt.
Also z.B. "Welche Zahl mal sich selbst ergibt $49$ ?" $\to$ $7 \cdot 7 = 49$ , also ist die gesuchte Seitenlänge $7 m$ .
$\begin{array}{l} A_{□} = 49 m^{2} \Rightarrow 7 \cdot 7 = 49 \\ \Rightarrow a = 7 m \end{array}$
$\begin{array}{l} A_{□} = 81 {cm}^{2} \Rightarrow 9 \cdot 9 = 81 \\ \Rightarrow a = 9 cm \end{array}$
$\begin{array}{l} A_{□} = 121 {dm}^{2} \Rightarrow 11 \cdot 11 = 121 \\ \Rightarrow a = 11 dm \end{array}$
$\begin{array}{l} A_{□} = 25 {cm}^{2} \Rightarrow 5 \cdot 5 = 25 \\ \Rightarrow a = 5 cm \end{array}$
Lösung
$a$
$4 cm$
$7 m$
$1 m$
$7 cm$
$A_{□}$
$16 {cm}^{2}$
$49 m^{2}$
$1 m^{2}$
$49 {cm}^{2}$
$a$
$9 cm$
$10 mm$
$11 dm$
$5 cm$
$A_{□}$
$81 {cm}^{2}$
$100 {mm}^{2}$
$121 {dm}^{2}$
$25 {cm}^{2}$
2
Das farbig markierte Quadrat hat einen Flächeninhalt von $9 {cm}^{2}$ . Bestimme den Umfang des Rechtecks.
cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
Berechnung der Seitenlänge des $f a r b i g e n Q u a d r a t s$
Die Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge $a$ lautet:
$A_{□} = a^{2} = a \cdot a$
Du weißt aus der Angabe, dass der Flächeninhalt des farbigen Quadrats $9 {cm}^{2}$ beträgt.
Um nun die Seitenlänge zu erhalten, musst du dich fragen, welche Zahl mit sich selbst malgenommen $9 {cm}^{2}$ ergibt.
$A_{□} = 9 {cm}^{2} \Rightarrow 3 \cdot 3 = 9 \Rightarrow a = 3 cm$
Das farbige Quadrat hat eine Seitenlänge von $a = 3 cm$ .
Bestimmung des Umfangs des Rechtecks
Die Formel für den Umfang eines Rechtecks mit der Länge $l$ und der Breite $b$ lautet:
$U_{Rechteck} = 2 \cdot l + 2 \cdot b$
Aus dem Bild kannst du entnehmen, dass die Länge des Rechtecks 6 mal die Seitenlänge $𝒂$ des Quadrats ist und die Breite des Rechtecks 4 mal der Seitenlänge des Quadrats entspricht.
$Länge : l = 6 \cdot 3 cm = 18 cm Breite : b = 4 \cdot 3 cm = 12 cm$
Nun kannst du die Länge und die Breite in die Formel für den Umfang eines Rechtecks einsetzten und erhältst die Lösung:
$U_{Rehteck} = 2 \cdot l + 2 \cdot b = 2 \cdot 18 cm + 2 \cdot 12 cm = 60 cm$
Der Umfang des Rechtecks beträgt $60 cm$ .
Für die Bestimmung des Umfangs des Rechtecks, kannst du zuerst mithilfe der Formel für die Berechnung des Flächeninhalts eines Quadrats, die Seitenlänge des farbigen Quadrats bestimmen. Anschließend kannst du die Anzahl der Quadrate an den Seiten bestimmen und dadurch den Umfang des Rechtecks bestimmen.

a	$4 cm$	?	$1 m$	$7 cm$
$A_{□}$	?	$49 m^{2}$	?	?

a	?	$10 mm$	?	?
$A_{□}$	$81 {cm}^{2}$	?	$121 {dm}^{2}$	$25 {cm}^{2}$

$a$	$4 cm$	$7 m$	$1 m$	$7 cm$
$A_{□}$	$16 {cm}^{2}$	$49 m^{2}$	$1 m^{2}$	$49 {cm}^{2}$

$a$	$9 cm$	$10 mm$	$11 dm$	$5 cm$
$A_{□}$	$81 {cm}^{2}$	$100 {mm}^{2}$	$121 {dm}^{2}$	$25 {cm}^{2}$

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Aufgaben zum Begriff der Quadratwurzel

Berechnung der Flächeninhalte

Berechnung der Seitenlängen

Lösung

Berechnung der Seitenlänge des farbigen Quadrats

Bestimmung des Umfangs des Rechtecks

Berechnung der Seitenlänge des $f a r b i g e n Q u a d r a t s$