Sachaufgaben zur Berechnung zusammengesetzter Figuren

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Nadja möchte die im Bild dargestellte Tür mit Bullauge einbauen. Die Tür selbst besitzt die Maße 61 x 175 cm. Das Bullauge hat einen Durchmesser von 30 cm. Nadja will nun wissen, welchen Flächeninhalt der blaue Teil der Tür besitzt. Runde dabei auf ganze Zahlen.
cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zusammengesetzte Figuren
Zuerst musst du eine allgemeine Formel aufstellen, die beschreibt, woraus die Figur besteht. Diese Figur besteht aus einem Rechteck und einem Kreis. Das heißt, die Formel setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt des Rechtecks und des Kreises.
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} A_{\mathrm{Rechteck}} &=& A_{\mathrm{blau}} + A_{\mathrm{Kreis}} \end{array}$
Diese Formel stellst du nach der gesuchten Größe $A_{\mathrm{blau}}$ um.
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} A_{\mathrm{blau}} &=& A_{\mathrm{Rechteck}} &-& A_{\mathrm{Kreis}} \\ &=& a \cdot b &-& \pi r^2 \end{array}$
In dieser Formel stellt $a$ die Breite und $b$ die Länge des Rechtecks dar. Da der Durchmesser $d$ des Kreises gegeben ist, kann daraus der Radius $r$ berechnet werden.
$\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} d &=& 2r \\\\ r &=& \dfrac{1}{2} d \\\\ &=& \dfrac{1}{2} \cdot 30 \,\mathrm{cm} = 15 \,\mathrm{cm} \end{array}$
Daraus folgt für die Rechnung:
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} A_{\mathrm{blau}} &=& a \cdot b &-& \pi r^2 \\ &=& 61 \,\mathrm{cm} \cdot 175\,\mathrm{cm} &-& \pi \cdot (15 \,\mathrm{cm})^2 \\ &=& 10675 \,\mathrm{cm^2} &-& 225\pi \,\mathrm{cm^2} \\ &=& 9968 \,\mathrm{cm^2} = 0{,}9968 \,\mathrm{m^2} \end{array}$
Der Flächeninhalt des blauen Teils der Tür ist $9968 \,\mathrm{cm^2}$ bzw. $0{,}9968 \,\mathrm{m^2}$ .
2
Laura sägt das unten abgebildete Teil im Werkunterricht aus. Sie möchte nun wissen, welchen Flächeninhalt das ausgesägte Teil hat. Die nötigen Maße kannst du dem Bild entnehmen. Runde bei deinem Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zusammengesetzte Figuren
Überlege dir zuerst, woraus die Figur sich zusammensetzt. In diesem Fall sind es zwei verschiedene Rechtecke und ein Halbkreis. Damit kannst du die allgemeine Formel aufstellen.
$\begin {array}{rcl} A_{\mathrm{gesamt}} &=& A_{\mathrm{Rechteck,1}} &+& A_{\mathrm{Rechteck,2}} &+& A_{\mathrm{Halbkreis}} \\ A_{\mathrm{gesamt}} &=& a \cdot b &+& c \cdot d &+& \dfrac{1}{2}\pi r^2 \end{array}$
Der Durchmesser des Halbkreises $d$ ist gemäß der Zeichnung gleich $b=2 \,\mathrm{cm}$ . Der Radius $r$ des Halbkreises ist dann $r=\dfrac{b}{2}=\dfrac{2 \,\mathrm{cm}}{2}=1 \,\mathrm{cm}$ .
Aus der Zeichnung kannst du weiterhin ablesen: $a=5 \,\mathrm{cm}$ , $c=4 \,\mathrm{cm}$ und $d=12 \,\mathrm{cm}$ .
Eingesetzt in:
$A_{\mathrm{gesamt}}= a \cdot b + c \cdot d + \dfrac{1}{2}\pi r^2=5\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} + 4\,\mathrm{cm} \cdot 12\,\mathrm{cm} + \dfrac{1}{2}\pi (1\,\mathrm{cm}) ^2\approx 59{,}57 \,\mathrm{cm^2}$
Antwort: Das ausgesägte Teil hat einen Flächeninhalt von etwa $59{,}57 \,\mathrm{cm^2}$
3
Aus der unten dargestellten Figur wurden zwei Kreise mit Durchmesser $d$ ausgeschnitten. Die Figur hat folgende Maße: $h$ = 30 cm, $d$ = 20 cm, $l$ = 45 cm, $b$ = 55 cm. Berechne den Flächeninhalt der Figur. Runde das Ergebnis auf ganze Zahlen.
cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zusammengesetzte Figuren
Der erste Schritt besteht darin, die allgemeine Formel zum Flächeninhalt der zusammengesetzten Figur aufzustellen. Diese Figur besteht aus einem Dreieck und einem Rechteck aus dem zwei gleich große Kreise ausgeschnitten wurden. Das bedeutet, dass die Kreise vom Flächeninhalt des Rechtecks abgezogen werden müssen.
$\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} A_{\mathrm{gesamt}} &=& (\textcolor{009999}{A_{\mathrm{Rechteck}}} &-& 2 \cdot \textcolor{660099}{A_{\mathrm{Kreis}}} ) &+& \textcolor{cc0000}{A_{\mathrm{Dreieck}}} \\ A_{\mathrm{gesamt}} &=& (\textcolor{009999}{b \cdot l} &-& 2 \cdot \textcolor{660099}{\pi r^2}) &+& \textcolor{cc0000}{\dfrac{1}{2} \cdot b \cdot h} \end{array}$
Am einfachsten ist es, die Flächeninhalte der einzelnen Teile zu berechnen und dann in die allgemeine Formel einzusetzen.
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \textcolor{009999}{A_{\mathrm{Rechteck}}} &=& \textcolor{009999}{b \cdot l} \\ \textcolor{009999}{A_{\mathrm{Rechteck}}} &=& 55 \,\mathrm{cm} \cdot 45 \,\mathrm{cm} = 2475 \,\mathrm{cm^2} \end{array}$
Im nächsten Schritt musst du den Flächeninhalt des Kreises ausrechnen:
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \textcolor{660099}{A_{\mathrm{Kreis}}} &=& \textcolor{660099}{\pi r^2} \end{array}$
Da der Durchmesser gegeben ist, musst du den Radius $r$ ersetzen mit:
$\displaystyle d = 2r \Rightarrow r = \dfrac{d}{2}$
$\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} \textcolor{660099}{A_{\mathrm{Kreis}}} &=& \textcolor{660099}{\pi r^2} \\\\ \textcolor{660099}{A_{\mathrm{Kreis}}} &=& \textcolor{660099}{\pi\cdot \Big(\dfrac{d}{^2}\Big)^2} \\\\ \textcolor{660099}{A_{\mathrm{Kreis}}} &=& \pi \cdot \Big(\dfrac{20 \,\mathrm{cm}}{2}\Big)^2 &=& \pi \cdot (10 \,\mathrm{cm})^2 \\\\ \textcolor{660099}{A_{\mathrm{Kreis}}} &=& \pi \cdot 100 \,\mathrm{cm^2} \end{array}$
Abschließend ist es notwendig den Flächeninhalt des Dreiecks zu ermitteln.
$\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} \textcolor{cc0000}{A_{\mathrm{Dreieck}}} &=& \textcolor{cc0000}{\dfrac{1}{2} \cdot b \cdot h} \\\\ \textcolor{cc0000}{A_{\mathrm{Dreieck}}} &=& \dfrac{1}{2} \cdot 55 \,\mathrm{cm} \cdot 30 \,\mathrm{cm} = 825 \,\mathrm{cm^2} \end{array}$
Nun kannst du diese Werte in die allgemeine Formel einsetzen:
$\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} A_{\mathrm{gesamt}} &=& (\textcolor{009999}{A_{\mathrm{Rechteck}}} &-& 2 \cdot \textcolor{660099}{A_{\mathrm{Kreis}}} ) &+& \textcolor{cc0000}{A_{\mathrm{Dreieck}}} \\\\ A_{\mathrm{gesamt}} &=& (\textcolor{009999}{b \cdot l} &-& 2 \cdot \textcolor{660099}{\pi r^2}) &+& \textcolor{cc0000}{\dfrac{1}{2} \cdot b \cdot h} \\\\ A_{\mathrm{gesamt}} &=& (2475 \,\mathrm{cm^2} &-& 2\cdot \pi\cdot 100 \,\mathrm{cm^2}) &+& 825 \,\mathrm{cm^2} \\\\ A_{\mathrm{gesamt}} &=& 2672 \,\mathrm{cm^2} \end{array}$
4
Aus dem Parallelogramm unten wurde ein Kreis mit Durchmesser $d = 12 \,\mathrm{cm}$ ausgeschnitten. Die Länge $l$ beträgt $20 \,\mathrm{cm}$ . Berechne den Flächeninhalt der Figur. Runde das Ergebnis auf ganze Zahlen.
cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren
Im Voraus musst du eine allgemeine Formel aufstellen, mit der du den gesamten Flächeninhalt berechnen kannst. Die Figur setzt sich zusammen aus einem Parallelogramm, aus dem ein Kreis ausgeschnitten wurde. Das bedeutet, dass der Flächeninhalt des Kreises von dem des Parallelogramms abgezogen werden muss.
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} A_{\mathrm{gesamt}} &=& A_{\mathrm{Parallelogramm}} &-& A_{\mathrm{Kreis}} \\ A_{\mathrm{gesamt}} &=& l \cdot h &-& \pi r^2 \end{array}$
Die Höhe $h$ des Parallelogramms kann ersetzt werden durch den Kreisdurchmesser $d$ , da der Kreis die gleiche Höhe besitzt wie das Parallelogramm.
Für den Flächeninhalt des Kreises, ist es nötig den Radius $r$ aus dem Durchmesser $d$ zu berechnen und einzusetzen, wie folgt:
$\displaystyle d = 2r \Rightarrow r = \dfrac{d}{2}$

$\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} A_{\mathrm{gesamt}} &=& l \cdot d &-& \pi r^2 \\\\ A_{\mathrm{gesamt}} &=& l \cdot d &-& \pi \cdot \Big(\dfrac{d}{2}\Big)^2 \\\\ A_{\mathrm{gesamt}} &=& 20 \,\mathrm{cm} \cdot 12\,\mathrm{cm} &-& \pi \cdot \Big(\dfrac{12 \,\mathrm{cm}}{2}\Big)^2 \\\\ A_{\mathrm{gesamt}} &=& 240 \,\mathrm{cm^2} &-& 36\pi\,\mathrm{cm^2} \\\\ A_{\mathrm{gesamt}} &\approx& 127 \,\mathrm{cm^2} \end{array}$
Daraus folgt, dass der Gesamtflächeninhalt ca. $127 \,\mathrm{cm^2}$ beträgt.

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