Sachaufgaben zur Berechnung zusammengesetzter Figuren

Zuerst musst du eine allgemeine Formel aufstellen, die beschreibt, woraus die Figur besteht. Diese Figur besteht aus einem Rechteck und einem Kreis. Das heißt, die Formel setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt des Rechtecks und des Kreises.

Diese Formel stellst du nach der gesuchten Größe $A_{\mathrm{blau}}$ um.

In dieser Formel stellt $a$ die Breite und $b$ die Länge des Rechtecks dar. Da der Durchmesser $d$ des Kreises gegeben ist, kann daraus der Radius $r$ berechnet werden.

Daraus folgt für die Rechnung:

Der Flächeninhalt des blauen Teils der Tür ist $9968 \,\mathrm{cm^2}$ bzw. $0{,}9968 \,\mathrm{m^2}$.

Überlege dir zuerst, woraus die Figur sich zusammensetzt. In diesem Fall sind es zwei verschiedene Rechtecke und ein Halbkreis. Damit kannst du die allgemeine Formel aufstellen.

$\begin {array}{rcl} A_{\mathrm{gesamt}} &=& A_{\mathrm{Rechteck,1}} &+& A_{\mathrm{Rechteck,2}} &+& A_{\mathrm{Halbkreis}} \\ A_{\mathrm{gesamt}} &=& a \cdot b &+& c \cdot d &+& \dfrac{1}{2}\pi r^2 \end{array}$

Der Durchmesser des Halbkreises $d$ ist gemäß der Zeichnung gleich $b=2 \,\mathrm{cm}$. Der Radius $r$ des Halbkreises ist dann $r=\dfrac{b}{2}=\dfrac{2 \,\mathrm{cm}}{2}=1 \,\mathrm{cm}$.

Aus der Zeichnung kannst du weiterhin ablesen: $a=5 \,\mathrm{cm}$, $c=4 \,\mathrm{cm}$ und $d=12 \,\mathrm{cm}$.

Eingesetzt in:

$A_{\mathrm{gesamt}}= a \cdot b + c \cdot d + \dfrac{1}{2}\pi r^2=5\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} + 4\,\mathrm{cm} \cdot 12\,\mathrm{cm} + \dfrac{1}{2}\pi (1\,\mathrm{cm}) ^2\approx 59{,}57 \,\mathrm{cm^2}$

Antwort: Das ausgesägte Teil hat einen Flächeninhalt von etwa $59{,}57 \,\mathrm{cm^2}$

Der erste Schritt besteht darin, die allgemeine Formel zum Flächeninhalt der zusammengesetzten Figur aufzustellen. Diese Figur besteht aus einem Dreieck und einem Rechteck aus dem zwei gleich große Kreise ausgeschnitten wurden. Das bedeutet, dass die Kreise vom Flächeninhalt des Rechtecks abgezogen werden müssen.

Am einfachsten ist es, die Flächeninhalte der einzelnen Teile zu berechnen und dann in die allgemeine Formel einzusetzen.

Im nächsten Schritt musst du den Flächeninhalt des Kreises ausrechnen:

Da der Durchmesser gegeben ist, musst du den Radius $r$ ersetzen mit:

Abschließend ist es notwendig den Flächeninhalt des Dreiecks zu ermitteln.

Nun kannst du diese Werte in die allgemeine Formel einsetzen:

Im Voraus musst du eine allgemeine Formel aufstellen, mit der du den gesamten Flächeninhalt berechnen kannst. Die Figur setzt sich zusammen aus einem Parallelogramm, aus dem ein Kreis ausgeschnitten wurde. Das bedeutet, dass der Flächeninhalt des Kreises von dem des Parallelogramms abgezogen werden muss.

Die Höhe $h$ des Parallelogramms kann ersetzt werden durch den Kreisdurchmesser $d$, da der Kreis die gleiche Höhe besitzt wie das Parallelogramm.

Für den Flächeninhalt des Kreises, ist es nötig den Radius $r$ aus dem Durchmesser $d$ zu berechnen und einzusetzen, wie folgt:



Daraus folgt, dass der Gesamtflächeninhalt ca. $127 \,\mathrm{cm^2}$ beträgt.