Aufgaben zum Auflösen von Formeln nach Variablen

Bei einer Sammellinse gilt folgender Zusammenhang zwischen Brennweite $f$ , Bildweite $b$ und Gegenstandsweite $g$ :

$\frac1f=\frac1b+\frac1g$

Zeige, dass dann für die Bildweite $b$ gilt:

$b=\frac{fg}{g-f}$

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Bastian spielt gegen Lukas Darts. Von 25 Matches hat Bastian 16 gewonnen. Wie viele Spiele muss Bastian nun in Folge gewinnen, um eine 90% Gewinnquote zu haben.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen lösen
Das Problem wird mit folgender Gleichung beschrieben, wobei $x$ für die zusätzlichen Spiele steht, die Bastian in Folge gewinnen muss.
$\dfrac{16+x}{25+x}=0{,}9$
Gleichung aufstellen
Zu Beginn muss man eine Gleichung aufstellen, mit der man das gegebene Problem formulieren kann.
Da die Anzahl der zusätzlichen Spiele gesucht ist, macht es Sinn diese mit der unbekannten Variable $x$ zu beschreiben:
$x$ : Anzahl der zusätzlichen Spiele
Momentan hat Bastian eine Gewinnquote von $\dfrac{16}{25}=64\%$ . Im Zähler steht dabei die Anzahl der gewonnenen Spiele und im Nenner die Gesamtzahl aller Spiele.
Nun sollen $x$ zusätzliche Matches gespielt werden, sodass die Gewinnquote auf $90\%$ ansteigt. Dafür muss Bastian alle folgenden Matches gewinnen.
In einer Gleichung bedeutet das:
$\dfrac{16+x}{25+x}=90\%$
Diese Bruchgleichung muss nur noch gelöst werden.
$\dfrac{16+x}{25+x}=0{,}9$
$| \cdot (25+x)$
$16+x=0{,}9\cdot (25+x)$
Klammer auflösen und die Gleichung nach $x$ auflösen.
$16+x=22{,}5+0{,}9x$
$16+x=22{,}5+0{,}9x$
$|-0{,}9x -16$
$0{,}1x=6{,}5$
$|:0{,}1$
$x=65$
Antwort: Bastian müsste 65 mal in Folge gewinnen um eine 90% Gewinnquote zu erreichen.

Zum Nenner des Bruchs $\frac{4}{11}$ soll eine Zahl dazu addiert werden und die gleiche Zahl soll vom Nenner des Bruchs $\frac{18}{11}$ subtrahiert werden.

Für welche Zahlen ändert sich der Wert der Summe beider Brüche nicht.

(Gib die Lösungen in aufsteigender Reihenfolge ein)

Gleichung aufstellen

Um das Problem mathematisch zu lösen, musst du zuerst eine passende Gleichung aufstellen. Da eine Zahl gesucht ist, macht es Sinn, diese als Variable $x$ zu bestimmen.

Jetzt muss nur noch der Aufgabentext in eine Gleichung gebracht werden:

Die Nenner der beiden Brüche müssen einmal mit der Zahl $x$ addiert bzw. subtrahiert werden. Du erhältst also den folgenden Term:

$\frac{4}{11+x}+\frac{18}{11-x}$

Der Wert der Summe der beiden veränderten Brüche soll gleich sein wie der Wert der Summe der beiden ursprünglichen Brüche. Also muss gelten:

$\displaystyle \frac{4}{11+x}+\frac{18}{11-x}$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{11}+\frac{18}{11}$
$\displaystyle \frac{4}{11+x}+\frac{18}{11-x}$	$=$	$\displaystyle \frac{22}{11}$
$\displaystyle \frac{4}{11+x}+\frac{18}{11-x}$	$=$	$\displaystyle 2$

Definitionsmenge bestimmen

Als nächstes bestimmt man die Definitionsmenge.

$11+x=0 \Leftrightarrow x=-11$

$11-x=0 \Leftrightarrow x=11$

$D=\mathbb{Q}\backslash\{-11, 11\}$

Bruchgleichung lösen

Diese Bruchgleichung löst man am Besten, wenn man die Gleichung mit dem Hauptnenner multipliziert.

$\frac{4}{11+x}+\frac{18}{11-x}=2$

Der Hauptnenner besteht aus den Bausteinen

$[11+x]$
$[11-x]$

$\displaystyle \frac{4}{11+x}+\frac{18}{11-x}$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle \cdot\left(11+x\right)\cdot\left(11-x\right)$
	↓	Multipliziere mit dem Hauptnenner $(11+x)\cdot (11-x)$ .
$\displaystyle \left(\frac{4}{11+x}+\frac{18}{11-x}\right)\cdot\left(11+x\right)\left(11-x\right)$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left(11+x\right)\left(11-x\right)$
$\displaystyle \frac{4\cdot\left(11+x\right)\left(11-x\right)}{11+x}+\frac{18\cdot\left(11+x\right)\left(11-x\right)}{11-x}$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left(121-x^2\right)$
	↓	Kürze.
$\displaystyle 4\cdot\left(11-x\right)+18\cdot\left(11+x\right)$	$=$	$\displaystyle 242-2x^2$
$\displaystyle 44-4x+198+18x$	$=$	$\displaystyle 242-2x^2$
$\displaystyle 242+14x$	$=$	$\displaystyle 242-2x^2$	$\displaystyle -242$
$\displaystyle 14x$	$=$	$\displaystyle -2x^2$	$\displaystyle +2x^2$
$\displaystyle 2x^2+14x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	$2x$ ausklammern.
$\displaystyle 2x\left(x+7\right)$	$=$	$\displaystyle 0$

Ein Term wird $0$ , wenn einer der beiden Faktoren $0$ ist.

$2x=0\Leftrightarrow x=0$

$7-x=0 \Leftrightarrow x=-7$

Damit ist die Lösungsmenge der Bruchgleichung: $\mathbb{L}=\{-7{,}0\}$

Addiert man zu den Nennern der gegebenen Brüche die Zahl $-7$ , ändert sich deren Summe nicht.

Das gleiche gilt, wenn man $0$ im Nenner der beiden Brüche addiert.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \dfrac{1}{f}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{g}$	$\displaystyle -\frac{1}{g}$
$\displaystyle \dfrac{1}{b}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{g}$
	↓	Nun multipliziert man mit $b$ damit die gesuchte Größe aus dem Nenner verschwindet.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle b\cdot\left(\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{g}\right)$
	↓	Teile nun durch den Ausdruck in Klammern, damit b alleine steht.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{g}}$
	↓	Bringe nun die Brüche des Nenners auf einen gemeinsamen Hauptnenner.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{\dfrac{1\cdot g}{f\cdot g}-\dfrac{1\cdot f}{g\cdot f}}$
	↓	Fasse nun die beiden Brüche im Nenner zusammen.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{\dfrac{g-f}{f\cdot g}}$
	↓	Löse den Doppelbruch auf.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \dfrac{f\cdot g}{g-f}$
	↓	Und damit hast du es gezeigt.

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Gleichung aufstellen

Gleichung aufstellen

Definitionsmenge bestimmen

Bruchgleichung lösen