Aufgaben zu Funktionen mit Gleichungen der Form y=mx

1
Die Funktion $f$ hat eine Gleichung der Form $y = m \cdot x$ . Der Punkt $P (2 | 9)$ soll auf dem Graphen von $f$ liegen. Bestimme den Wert von $m$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Proportionale Funktionen
Einsetzen der Koordinaten $P (2 | 9)$ in die Funktionsgleichung $y = m \cdot x$
$y$ $=$ $m \cdot x$
↓
Koordinaten $P (2 | 9)$ einsetzen
$9$ $=$ $m \cdot 2$ $: 2$
↓
nach m auflösen
$m$ $=$ $\frac{9}{2} = 4,5$
Antwort: Der Wert von $m$ beträgt 4,5. Somit muss die Funktion $f$ die Funktionsgleichung $y = 4,5 \cdot x$ haben, damit der Punkt $P (2 | 9)$ auf dem Graphen von $f$ liegt.
Zusätzliche Veranschaulichung des Graphen
Die graphische Darstellung ist nicht Teil der Aufgabenstellung.
2
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $y = 0,3 \cdot x$ .
1. Tabellarisiere die Funktion $f$ für $x \in [- 3,3]$ mit der Schrittweite $Δ x = 1$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
  Wertetabelle zu $y = 0,3 \cdot x$ mit der Schrittweite $Δ x = 1$ :
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2. Trage die Punkte der Funktion $f$ in ein Koordinatensystem ein und zeichne den Graphen der Funktion $f$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
  Punkte der Funktion $f$ im Koordinatensystem und Graph der Funktion $f$ :
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3. Zu welcher besonderen Art von Geraden gehört der Graph der Funktion $f$ ?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
  Der Graph der Funktion $f$ ist eine Gerade, die durch den Ursprung $(0 | 0)$ des Koordinatensystems verläuft. Sie wird deshalb auch Ursprungsgerade genannt.
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4. Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte $P (5 | 1,4)$ und $Q (8 | 2,4)$ auf dem Graphen der Funktion $f$ liegen.
  $P$ liegt auf dem Graphen, $Q$ aber nicht.
  $P$ und $Q$ liegen beide auf dem Graphen.
  $P$ und $Q$ liegen nicht auf dem Graphen.
  $Q$ liegt auf dem Graphen, $P$ aber nicht.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
  Setze die Koordinaten von $P$ und $Q$ in die Funktionsgleichung ein:
  Punkt $P (5 | 1,4)$ :
  $y$ $=$ $0,3 \cdot x$
  ↓
  Koordinaten einsetzen
  $1,4$ $=$ $0,3 \cdot 5$
  $1,4$ $=$ $1,5$
  ↓
  falsche Aussage
  Antwort: Der Punkt $P (5 | 1,4)$ liegt nicht auf dem Graphen der Funktion $f$ .
  Punkt $Q (8 | 2,4)$ :
  $y$ $=$ $0,3 \cdot x$
  ↓
  Koordinaten einsetzen
  $2,4$ $=$ $0,3 \cdot 8$
  $2,4$ $=$ $2,4$
  ↓
  wahre Aussage
  Antwort: Der Punkt $Q (8 | 2,4)$ liegt auf dem Graphen der Funktion $f$ .
  Zusätzliche Veranschaulichung des Graphens mit den beiden Punkten $P$ und $Q$
  Nicht in der Aufgabenstellung gefordert.
  $P (5 | 1,4) \notin G_{f}$
  $Q (8 | 2,4) \in G_{f}$
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3
In einen leeren Whirlpool wird Wasser gefüllt. Pro Minute fließen $40 l$ Wasser in den Pool.
1. Ergänze die Tabelle:
  Zeit (in min)
  0
  1
  2
  5
  8,2
  15
  25
  Wassermenge (in Litern)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  Am Anfang ist der Pool leer. Nach $0$ Minuten befinden sich $0$ Liter Wasser im Pool.
  Nach $1$ Minute befinden sich $1 \cdot 40 = 40$ Liter Wasser im Pool.
  Nach $2$ Minuten sind es dann $2 \cdot 40 = 80$ Liter.
  Nach $5$ Minuten befinden sich $5 \cdot 40 = 200$ Liter im Pool.
  .......
  Entsprechend berechnest du auch die anderen Werte in der Tabelle.
  Die ausgefüllte Tabelle sieht so aus:
  Zeit (in min)
  0
  1
  2
  5
  8,2
  15
  25
  Wassermenge (in Litern)
  0
  40
  80
  200
  328
  600
  1000
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2. Die Funktion $f$ ist durch die Zuordnungsvorschrift: Zeit $(in min) \mapsto$ Wasservolumen $(in l)$ gegeben.
  Übertrage die Punkte der Funktion $f$ in ein Koordinatensystem und zeichne den Graphen der Funktion $f$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  Punkte der Funktion $f$ im Koordinatensystem und Graph der Funktion $f$ :
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3. Wie lautet die Funktionsgleichung, die die zugeflossene Wassermenge $(in l)$ in Abhängigkeit von der Zeit $(in min)$ angibt?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  $x$ : Zeit in Minuten
  $y$ : Wassermenge in Litern im Whirlpool
  Nach $1$ Minute befinden sich $y = 1 \cdot 40 = 40$ Liter Wasser im Pool.
  Nach $2$ Minuten sind es dann $y = 2 \cdot 40 = 80$ Liter.
  Nach $10$ Minuten befinden sich $y = 10 \cdot 40 = 400$ Liter im Pool.
  ..........
  Nach $x$ Minuten sind es dann $y = x \cdot 40$ Liter $\Rightarrow y = 40 \cdot x$
  Antwort: Die Funktionsgleichung, die die zugeflossene Wassermenge $(in l)$ in Abhängigkeit von der Zeit $(in min)$ angibt, lautet: $y = 40 \cdot x$
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4. In den Whirlpool dürfen maximal $750$ Liter Wasser eingefüllt werden.
  Wie muss der Graph aus Aufgabe $b$ an diese neue Information angepasst werden?
  Lies ab und berechne, nach welcher Zeit (in Minuten) der Wasserzulauf abgestellt werden muss.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  Anpassung des Funktionsgraphen
  Das maximale Volumen von $750$ Litern kannst du durch die Funktionsgleichung $y = 750$ darstellen.
  Zeichne $y = 750$ als parallele Gerade zur x-Achse in dein Koordinatensystem ein. Sie schneidet die Funktion $f$ in einem Punkt $V (x | 750)$ .
  Der zu diesem Punkt $V$ gehörige x-Wert ist die Zeit, nach der das maximale Volumen erreicht wird. (Der Wasserzufluss muss dann abgedreht werden.)
  Abgelesener Wert $\approx 19 min$ .
  Hinweis:
  Der Funktionsgraph endet jetzt bei $y = 750$ (Litern).
  Berechnung der Zulaufszeit bis zum maximalen Volumen
  Setze in der Funktionsgleichung für $y$ den Wert $750$ ein und löse nach $x$ auf.
  $y$ $=$ $40 \cdot x$
  ↓
  $y = 750$
  $750$ $=$ $40 \cdot x$ $: 40$
  ↓
  nach $x$ auflösen
  $x$ $=$ $\frac{750}{40}$
  $=$ $18,75$
  Antwort: Nach rund $19$ Minuten muss der Wasserzulauf abgestellt werden.
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