Aufgaben zu Funktionen mit Gleichungen der Form y=mx+t

Eine Kerze ist anfangs $18\; \text{cm}$ lang. Wenn sie brennt, wird sie in jeder Stunde um $1{,}5\; \text{cm}$ kürzer.

Wie viele Stunden dauert es, bis die Kerze ganz abgebrannt ist?
Stunden

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Pro Stunde wird die Kerze um $1{,}5\; \text{cm}$ kürzer. Die Brenndauer in Stunden erhältst du, indem du berechnest, wie oft die $1{,}5\; \text{cm}$ in der Gesamtlänge von $18\; \text{cm}$ enthalten sind. $\Rightarrow \dfrac{18}{1{,}5}=12$
Antwort: Nach $12$ Stunden ist die Kerze abgebrannt.
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Zeichne den Graphen der Funktion $f$ :
Brenndauer $x$ $\left(\text{in}\;\text{Stunden}\right)$ $\mapsto$ Länge $y$ $\left(\text{in}\;\text{cm}\right)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Graph der Funktion $f$
Zum Zeichnen einer linearen Funktion brauchst du zwei Punkte, die auf dem Graphen der Funktion liegen.
Ein Punkt ist in der Aufgabenstellung gegeben. Am Anfang $x=0$ ist die Kerze $18\; \text{cm}$ lang $\Rightarrow P\left(0 \vert 18\right)$ .
Im Aufgabenteil a) hast du die Zeit $x=12$ Stunden berechnet, nach der die Kerze abgebrannt ist, d.h. die Kerzenlänge ist $0\; \text{cm}\Rightarrow Q\left(12 \vert 0\right)$ .
Zeichne die beiden Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie.
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Notiere die Funktionsgleichung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Funktionsgleichung
Beispiele für die Kerzenlänge $\textcolor{006400}{y}$ nach einer bestimmten Brenndauer $\textcolor{ff6600}{x}$ Stunden.
Am Anfang ist die Kerze $\textcolor{006400}{y}=18\; \text{cm}$ lang.
Brenndauer $\textcolor{ff6600}{1}$ Stunde : Nach $\textcolor{ff6600}{1}$ Stunde hat sie noch eine Länge von:
Brenndauer $\textcolor{ff6600}{2}$ Stunden: Nach $\textcolor{ff6600}{2}$ Stunden hat sie dann eine Länge von:
Brenndauer $\textcolor{ff6600}{x}$ Stunden: Nach $\textcolor{ff6600}{x}$ Stunden hat sie eine Länge von:
In der Normalform geschrieben lautet die Funktionsgleichung: $y=-1{,}5\cdot x+18$
Antwort: Die Funktionsgleichung für die Länge der Kerze in Abhängigkeit von der Zeit lautet:
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Berechne die Länge der Kerze nach $5$ bzw. $8$ Stunden. Überprüfe deine berechneten Werte anhand des Graphen.

Berechne, nach wie viel Stunden die Kerze nur noch $3\; \text{cm}$ lang ist.

Stunden

2
Ein Wasserversorger berechnet $1{,}50\; €$ pro $\text{m}^3$ Wasser (Verbrauchskosten). Zusätzlich muss der Kunde eine monatliche Grundgebühr in Höhe von 6 € bezahlen.
Monatlich ergeben sich die Gesamtkosten aus der Summe der Verbrauchskosten und der Grundgebühr.
1. Ergänze die Tabelle.
  Wasserverbrauch (in m³)
  0
  1
  2
  3
  7,8
  15
  20
  Verbrauchskosten (in €)
  Gesamtkosten (in €)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  Die Gesamtkosten berechnest du als Summe der Wasserverbrauchskosten pro $\text{m}^3$ und der Grundgebühr. (Auch wenn kein Wasser verbraucht wird, muss die Grundgebühr bezahlt werden.)
  0 $\text{m}^3$ kostet $0\;\cdot 1{,}50 \;\text{€}$ plus Grundgebühr 6 € $\;\Rightarrow$ Gesamtkosten: $y = 0\;\cdot 1{,}50 \;\text{€}+6\;\text{€}=6\;\text{€}$
  1 $\text{m}^3$ kostet $1\;\cdot 1{,}50 \;\text{€}$ plus Grundgebühr 6 € $\;\Rightarrow$ Gesamtkosten: $y = 1\;\cdot 1{,}50 \;\text{€}+6\;\text{€}=7{,}50 \;\text{€}$
  2 $\text{m}^3$ kosten $2\;\cdot 1{,}50 \;\text{€}$ plus Grundgebühr 6 € $\;\Rightarrow$ Gesamtkosten: $y = 2\;\cdot 1{,}50 \;\text{€}+6\;\text{€}=9 \;\text{€}$
  Entsprechend berechnest du die anderen Werte in der Tabelle.
  Die vollständige Tabelle sieht folgendermaßen aus:
  Wasserverbrauch (in m³)
  0
  1
  2
  3
  7,8
  15
  20
  Verbrauchskosten (in €)
  0
  1,50
  3,00
  4,50
  11,70
  22,50
  30,00
  Gesamtkosten (in €)
  6,00
  7,50
  9,00
  10,50
  17,70
  28,50
  36,00
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2. Zeichne den Graphen der Funktion $f$ :
  Wasserverbrauch $x$ (in $m^3$ ) $\;\mapsto$ Gesamtkosten $y$ (in €)
  Bestimme auch die Funktionsgleichung.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  Graph der Funktion $f$
  Der Tabelle kannst du die Koordinaten von $2$ Punkten entnehmen, z.B. $P(0\vert 6)$ und $Q(20|36)$ .
  Zeichne die beiden Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie mit einer Halbgeraden, die im Punkt $P$ beginnt.
  Anmerkung: Es gibt keinen negativen Wasserverbrauch. Deshalb beginnt der Graph der Funktion $f$ im Punkt $P$ .
  Bestimmung der Funktionsgleichung:
  1 $\text{m}^3$ Wasser kostet $1\;\cdot 1{,}50 \;\text{€}$ plus Grundgebühr 6 € $\;\Rightarrow$ Gesamtkosten: $y = 1\;\cdot 1{,}50 \;\text{€}+6\;\text{€}$
  2 $\text{m}^3$ kosten $2\;\cdot 1{,}50 \;\text{€}$ plus Grundgebühr 6 € $\;\Rightarrow$ Gesamtkosten: $y = 2\;\cdot 1{,}50 \;\text{€}+6\;\text{€}$
  ........
  $x$ $\text{m}^3$ kosten $x\;\cdot 1{,}50 \;\text{€}$ plus Grundgebühr 6 € $\;\Rightarrow$ Gesamtkosten: $y = x\;\cdot 1{,}50 \;\text{€}+6\;\text{€}$
  Diese Überlegungen führen dich zur Funktionsgleichung: $y=1{,}5\cdot x +6$
  Antwort: Die Funktionsgleichung lautet: $y=1{,}5\cdot x +6$
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Wasserverbrauch (in m³)	0	1	2	3	7,8	15	20
Verbrauchskosten (in €)	0	1,50	3,00	4,50	11,70	22,50	30,00
Gesamtkosten (in €)	6,00	7,50	9,00	10,50	17,70	28,50	36,00

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 18-1{,}5\cdot x$
	↓	$x=5$ einsetzen
	$=$	$\displaystyle 18-1{,}5\cdot5$
	$=$	$\displaystyle 18-7{,}5$
	$=$	$\displaystyle 10{,}5$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 18-1{,}5\cdot x$
	↓	$x=8$ einsetzen
	$=$	$\displaystyle 18-1{,}5\cdot8$
	$=$	$\displaystyle 18-12$
	$=$	$\displaystyle 6$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 18-1{,}5\cdot x$
	↓	$y=3$ einsetzen
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle 18-1{,}5\cdot x$	$\displaystyle +1{,}5 \cdot x$
	↓	Terme mit $x$ auf die linke Gleichungsseite
$\displaystyle 3+1{,}5 \cdot x$	$=$	$\displaystyle 18$	$\displaystyle -3$
	↓	alle Zahlen auf die rechte Gleichungsseite
$\displaystyle 1{,}5 \cdot x$	$=$	$\displaystyle 15$	$\displaystyle :1{,}5$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{15}{1{,}5}$
	$=$	$\displaystyle 10$

Aufgaben zu Funktionen mit Gleichungen der Form y=mx+t

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Graph der Funktion $f$

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Funktionsgleichung

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Setze $x=5$ in die Funktionsgleichung ein.

Setze $x=8$ in die Funktionsgleichung ein.

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Setze in die Funktionsgleichung für $y$ den Wert $3$ ein und löse nach $x$ auf.

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Graph der Funktion $f$

Bestimmung der Funktionsgleichung:

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Aufgaben zu Funktionen mit Gleichungen der Form y=mx+t

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Graph der Funktion fff

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Funktionsgleichung

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Setze x=5x=5x=5 in die Funktionsgleichung ein.

Setze x=8x=8x=8 in die Funktionsgleichung ein.

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Setze in die Funktionsgleichung für yyy den Wert 333 ein und löse nach xxx auf.

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Graph der Funktion fff

Bestimmung der Funktionsgleichung:

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Graph der Funktion $f$

Setze $x=5$ in die Funktionsgleichung ein.

Setze $x=8$ in die Funktionsgleichung ein.

Setze in die Funktionsgleichung für $y$ den Wert $3$ ein und löse nach $x$ auf.

Graph der Funktion $f$