Teil B, Gruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Eine Mittelschule kauft insgesamt 120 Bälle.
Es werden 10 Fußbälle weniger bestellt als Basketbälle.
Außerdem werden halb so viele Volleybälle wie Basketbälle bestellt.
Ermittle nachvollziehbar, wie viele Fußbälle, Basketbälle und Volleybälle jeweils gekauft werden.

Videoerklärung
Lies den Text genau durch. Setze für eine der Größen, auf die sich die anderen beziehen, x ein. Formuliere die Abhängigkeit von diesem x für die anderen Größen und stelle die Gleichung auf.
Alles in dieser Aufgabe bezieht sich auf die Basketbälle:
Basketbälle: x
Fußbälle sind 10 weniger als Basketbälle: x-10
Volleybälle sind halb so viele wie die Basketbälle: 0,5x
Die Gesamtzahl der Bälle beträgt 120.
Wir können also folgende Gleichung aufstellen:
Basketbälle + Volleybälle + Fußbälle=120
$x+x-10 +0{,}5x=120$
$2{,}5x-10=120$
$2{,}5x=130$
$x=52$
Die Schule kauft also 52 Basketbälle, 52-10=42 Fußbälle und die Hälfte der Anzahl der Basketbälle, also 26. Zusammen ergibt das 120 Bälle.
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die Abbildung informiert über Tore bei den Fußballweltmeisterschaften von 2006 bis 2018.
1. Ermittle, wie viel Prozent aller Tore bei der Fußballweltmeisterschaft 2018 durch Elfmeter erzielt wurden.
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
  Im Jahr 2018 wurden insgesamt 169 Tore erzielt. Davon waren 22 Elfmetertore.
  Gesucht ist der Prozentsatz der Elfmeter.
  Berechnung mit Dreisatz:
  $169\: \text{Tore}\: \hat= \: 100\:\%\\ 1 \: \text{Tor}\: \hat=\:\frac{100}{169}\%\\ 22\: \text{Tore}\:\hat=\:\frac{100\cdot22}{169}\%\approx13{,}02\%$
  Berechnung mit Formel:
  $p=\frac{P_W\cdot100}{G}$
  Antwort: 13,02 % der Tore wurden durch Elfmeter erzielt.
  Videolösung (bis 4:39)
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2. Berechne, wie viele Tore bei den vier Weltmeisterschaften durchschnittlich durch Elfmeter erzielt wurden.
  Tore (durchschnittlich)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
  Zur Ermittlung des Durchschnitt addiert man alle Elfmetertore und dividiert durch die Anzahl Weltmeisterschaften.
  $13+9+12+22=56 \: \text{Elfmeter}$
  Die Tore wurden bei vier Weltmeisterschaften erzielt. Also muss man die Gesamtzahl durch 4 dividieren.
  $56 \: \text{Tore}: 4\: \text{Weltmeisterschaften}=14\:\text{Tore}$
  Antwort: Durchschnittlich wurden pro Weltmeisterschaft 14 Tore durch Elfmeter erzielt.
  Videoerklärung (ab 4:38 bis 5:39)
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3. Insgesamt gab es bei den vier Weltmeisterschaften 74 Elfmeter, von denen aber 18 nicht zu einem Tor führten.
  Stelle in einem Kreisdiagramm (r = 4 cm) dar, wie viele Tore durch Elfmeter erzielt wurden und wie viele Elfmeter nicht zu einem Tor führten.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
  Ein Kreis hat 360° und entspricht der Anzahl aller Elfmeter. Man muss also berechnen, wieviel Grad den nicht verwandelten Elfern entsprechen.
  Berechnung mit Dreisatz:
  $74\: \text{Elfer}\:\hat=\:360°\\ 1\: \text{Elfer}\:\hat=\:\dfrac{360°}{74}\\ 18\: \text{Elfer}\:\hat=\:\dfrac{360°\cdot18}{74}\approx87{,}6°$
  Videoerklärung (ab 5:38)
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3
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Ein Werkstück besteht aus einem Zylinder, auf dem eine Pyramide mit rechteckiger Grundfläche aufgesetzt ist (siehe Skizze).
Berechne das Volumen des Werkstücks.
cm³

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnung von Volumina
Videolösung
Textlösung
Das Werkstück setzt sich zusammen aus einer Pyramide mit rechteckiger Grundfläche und einem Zylinder. Das Gesamtvolumen beträgt
$V_{gesamt}\:=\:V_P+V_Z$
Allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens einer Pyramide:
$V_P\:=\:\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h_P$
Die Grundfläche G ist ein Rechteck, gegeben sind a und b. Außerdem gegeben ist die Höhe der Pyramide. Somit kann man das Volumen der Pyramide berechnen:
$V_P\:=\:\dfrac{1}{3}\cdot 12 \:cm\cdot 9\:cm\cdot 16\:cm\\ V_P\:=576 \:cm^3$
Allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders:
$V_Z\:=\:\pi\cdot r^2\cdot h_Z$
Unbekannt in dieser Formel ist der Radius r. Der Durchmesser des Zylinders entspricht aber der Diagonale der Grundfläche der Pyramide.
Die Diagonale ist die Hypothenuse in dem rechtwinkligen Dreieck aus a, b und d.
Berechnung des Durchmessers:
$d^2\:=\:a^2+b^2\\ d^2\:= 12^2\:cm^2+9^2\:cm^2\\ d^2\:=225\:cm^2\\ d\:=\:\sqrt {225\:cm^2}\\ d\:=15\:cm$
Der Radius ist der halbe Durchmesser: $r\:=\:\dfrac{d}{2}=\:\dfrac{15\: cm}{2}=\:7{,}5\:cm$
Einsetzen der Zahlen in die Formel:
$V_Z\:=\:\pi\cdot 7{,}5^2\:cm^2\cdot 4\:cm\\ V_Z\:=\:706{,}5\:cm^3$
Damit ergibt sich ein Gesamtvolumen von
$V_{gesamt}\:=\:V_P+\:V_Z\\ V_{gesamt}\:=\:576\:cm^3+706{,}5\:cm^3\\ V_{gesamt}\:=\:1282{,}5\:cm^3$
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Ein regelmäßiges Fünfeck hat eine Seitenlänge von 4,5 cm.
1. Zeichne dieses regelmäßige Fünfeck.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Konstruktion von regelmäßigen Vielecken
  Lösung Teil a)
  Die Konstruktion eines regelmäßigen Vielecks beginnt immer mit der Konstruktion des sogenannten Bestimmungsdreiecks. Dieses Dreieck ist immer ein gleichschenkliges Dreieck, im Fall eines Sechsecks sogar ein gleichseitiges.
  Dividiere zunächst 360° durch die Anzahl der Ecken, in diesem Fall 5.
  Bei einem regelmäßigen Fünfeck ist der Mittelpunktswinkel des Bestimmungsdreiecks 360° : 5 = 72°.
  Wegen der Winkelsumme im Dreieck von 180° ist die Summe der beiden anderen Winkel, die man Basiswinkel nennt, 180° - 72° = 108°, jeder Winkel hat also 108° : 2 = 54°.
  Für die Konstruktion des Fünfecks zeichne eine Seitenlänge von 4,5 cm. An beiden Enden konstruierst du jeweils einen Winkel von 54°. Der Schnittpunkt der beiden Schenkel ist der Mittelpunkt des Fünfecks.
  Um diesen Mittelpunkt zeichne einen Kreis mit dem Radius der Länge der Schenkel.
  Stelle jetzt am Zirkel die Seitenlänge von 4,5 cm ein und trage ausgehend von der Ecke eines Basiswinkels die Seitenlänge auf dem gezeichneten Kreis ab. Am Schnittpunkt der abgetragenen Seitenlänge mit dem Kreis wiederholst du das bis alle fünf Ecken konstruiert sind.
  Dann verbinde die Ecken, das Ergebnis ist das gesuchte Fünfeck.
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2. Ein anderes regelmäßiges Fünfeck hat einen Umfang von 29,5 cm.
  Bestimme, um wie viele Zentimeter sich die beiden Seitenlängen der Fünfecke unterscheiden.
  
  Lösung Teil b)
  Das konstruierte Fünfeck hat einen Umfang von
  $U\:=\:5\cdot4{,}5\:cm\\ U\: =22{,}5\: cm$
  Das andere regelmäßige Fünfeck hat einen Umfang von 29,5 cm. Die Differenz beträgt
  $U_2-U_1\:=\:29{,}5\:cm-22{,}5\:cm=\:7 \:cm$
  Die Seitenlängen unterscheiden sich durch $7\:cm:5\:Seiten\:=1{,}4\:cm$
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