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Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

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    Die Abbildung 1 zeigt modellhaft eine Mehrzweckhalle, die auf einer horizontalen Fläche steht und die Form eines geraden Prismas hat.

    Die Punkte A1(000)A_1 (0|0|0), A2(2000)A_2 (20|0|0), A3A_3 und A4(0100)A_4 (0|10|0) stellen im Modell die Eckpunkte der Grundfläche der Mehrzweckhalle dar, die Punkte B1B_1, B2B_2, B3B_3 und B4 B_4 die Eckpunkte der Dachfläche. Diejenige Seitenwand, die im Modell in der x1x3x_1x_3 - Ebene liegt, ist 6 m6 \ \text{m} hoch, die ihr gegenüberliegende Wand nur 4 m4\ \text{m}.

    Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 m1\ \text{m}, d.h. die Mehrzweckhalle ist 20 m20\ \text{m} lang.

    a) Geben Sie die Koordinaten der Punkte B2B_2, B3B_3 und B4B_4 an und bestätigen Sie, dass diese Punkte in der Ebene E:x2+5x330=0E : x_2 + 5x_3 -30=0 liegen.

    b) Berechnen Sie die Größe des Neigungswinkels der Dachfläche gegenüber der Horizontalen.

    c) Der Punkt T(7100)T(7|10|0) liegt auf der Kante [A3A4]\left[A_3A_4 \right]. Untersuchen Sie rechnerisch, ob es Punkte auf der Kante [B3B4]\left[B_3B_4 \right] gibt, für die gilt: Die Verbindungs-strecken des Punktes zu den Punkten B1B_1 und TT stehen aufeinander senkrecht. Geben Sie gegebenenfalls die Koordinaten dieser Punkte an.

    Der Punkt LL, der vertikal über dem Mittelpunkt der Kante [A1A2]\left[A_1A_2\right] liegt, veranschaulicht im Modell die Position einer Flutlichtanlage, die 12 m12\ \text{m} über der Grundfläche angebracht ist. Die als punktförmig angenommene Lichtquelle beleuchtet – mit Ausnahme des Schattenbereichs in der Nähe der Hallenwände – das gesamte Gelände um die Halle.

    d) Die Punkte LL, B2B_2 und B3 B_3 legen eine Ebene FF fest. Ermitteln Sie eine Gleichung von FF in Normalenform.

    (zur Kontrolle : F:3x1+x2+5x390=0F : 3x_1 + x_2 + 5x_3 - 90 = 0)

    e) Die Ebene FF schneidet die x1x2x_1x_2-Ebene in der Gerade gg. Bestimmen Sie eine Gleichung von gg.

    (zur Kontrolle: g:X=(3000)+λ(130),λRg:\vec{X} = \begin{pmatrix} 30\\0\\0 \end{pmatrix}+ \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3\\ 0 \end{pmatrix} , \lambda \in \R )

    f) Die Abbildung 2 zeigt den Grundriss des Hallenmodells in der x1x2x_1x_2-Ebene. Stellen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse den Schattenbereich der Flutlichtanlage in der Abbildung exakt dar.

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