Teilaufgabe a)

Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Damit hat man ein zweistufiges Zufallsexperiment. Bei jeder Stufe gilt:

$P\left(\left\{1\right\}\right)=p$ und $P\left(\left\{3\right\}\right)=1-p=q$ ,

da die Ereignisse der 1. Drehung und der 2. Drehung unabhängig sind.

Damit die Summe der erzielten Zahlen den Wert 4 ergibt, muss entweder beim1. Drehen die Zahl $1$ und beim 2. Drehen die Zahl $3$ oder beim 1. Drehen die Zahl $3$ und beim 2. Drehen die Zahl $1$ erzielt werden.

$P\left(\left\{\left(1{,}3\right)\left(3{,}1\right)\right\}=p\cdot (1-p)+(1-p)\cdot p=2\cdot p\cdot\left(1-p\right)\right)$

Teilaufgabe b)

Beim zweimalige drehen sind die Summen

$S_1=2;\ S_2=4;\ S_3=6$ möglich.

Es gilt $P\left(S_1\right)=p^2\ ;\ P\left(S_2\right)=2\cdot p\cdot\left(1-p\right);\ P\left(S_3\right)=\left(1-p\right)^2$

Somit gilt für den Erwartungswert:

$E\left(X\right)=2\cdot p^2+4\cdot2\cdot p\cdot\left(1-p\right)+6\cdot\left(1-p\right)^2$

$E\left(X\right)=2\cdot p^2+8\cdot p-8\cdot p^2+6-12\cdot p+6\cdot p^2=6-4p$

$E(X)=3\Leftrightarrow6-4\cdot p=3\Leftrightarrow p=\frac{3}{4}$