Um die Koordinaten des Endpunktes $Q$ des Durchmessers zu ermitteln, verdoppelt man die Strecke von $P$ nach $M\$über $M\$hinaus.

$P\left(8|-5|1\right)\ \ \ M\left(5|-1|1\right)$

Verbindungsvektor von $P\;\text{nach}\;M$ ist $\vec{a}$

$\vec{a}=\begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}$. $\vec{q}=\begin{pmatrix}5\\-1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}$

Somit hat $Q$ die Koordinaten: $Q(2|3|1)$

Der Punkt $R(9|-1|4)$ liegt auf der Kugel, wenn sein Abstand vom Mittelpunkt $M$ gleich der Länge von $\vec{a}=|\vec{a}|=5$ ist.

Der Vektor von $M$ nach $R$ ist $\vec{r}$.

Es gilt: $\vec{r}=\begin{pmatrix}9-5\\-1-(-1)\\4-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}$

$\left|\begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}\right|=\sqrt{4^2+0^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.$

Damit liegt $R$ auf der Kugel.

b) Da der Punkt $R$ auf der Kugel mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius der Länge $5$ liegt, liegt er automatisch auf dem Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius der Länge $5$.

Die Eckpunkte $P,Q,R$ liegen somit auf einem Thaleskreis und damit ist das Dreieck $PQR$ rechtwinklig