Pflichtteil - lernen mit Serlo!

Stochastik

Ein Auto hat einen Wert von 30000€ und soll von eine Versicherung jährlich gegen Schäden versichert werden.
Die Autoversicherung erwartet, dass bei 10000 versicherten Autos des gleichen Typs pro Jahr folgende Schadensfälle passieren:
- 10 Versicherungsfälle mit einem Totalschaden,
- 50 Versicherungsfälle mit einem durchschnittlichen Schaden von 10000€,
- 250 kleinere Schäden mit einem durchschnittlichen Schaden von 2000€.
Berechnen Sie, welchen Versicherungsbeitrag die Versicherung jährlich anbieten sollte, wenn Sie pro Kunden einen Gewinn von 100 € (ohne Verwaltungskosten) erwirtschaften möchte.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Berechne den Erwartungswert:
$E(X)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+⋯+x_n\cdot P(X=x_n)$
$E(X)=30000\cdot \dfrac{10}{10000}+10000\cdot \dfrac{50}{10000}+2000\cdot \dfrac{250}{10000}=30+50+50=130$
Der Jahresbeitrag pro Kunde berechnet sich als Summe der mittleren Schadensfälle $E(X)$ und dem zu erwirtschafteten Gewinn $G= 100\;€$ .
Jahresbeitag $=130\;€+100\;€=230\;€$
Antwort: Pro Versicherungskunde muss ein Jahresbeitrag von $230 \;€$ verlangt werden.
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Ein Biathlet trifft erfahrungsgemäß bei 80% seiner Schüsse die Scheibe.
a) Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit er bei drei Schüssen
- nur den mit dem ersten Schuss
- mindestens einen Schuss trifft.
b) Für ein Ereignis $A$ gilt: $P(A)= \begin{pmatrix} 10 \\ a \end{pmatrix} \cdot b⁷ \cdot 0{,}2^{c}$ . Geben Sie geeignete Werte für $a$ , $b$ und $c$ an. Beschreiben Sie das Ereignis $A$ in Worten.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffizienten
Lösung zu a)
Treffer= $T$ ; kein Treffer (Niete)= $N$ ; $P(T)=0{,}8$ und $P(N)=1-P(T)=1-0{,}8=0{,}2$
Er trifft nur mit dem ersten Schuss: $P(TNN)=0{,}8\cdot 0{,}2\cdot 0{,}2=0{,}032$
Mindestens $1$ Schuss trifft:
$P(\text{mindestens 1 Treffer})=1-P(\text{kein Treffer})=1-0{,}2^3=1-0{,}008=0{,}992$
Antwort: Die Wahrscheinlichkeit nur mit dem $1.$ Schuss zu treffen beträgt $0{,}032$ und die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $1$ Schuss trifft, beträgt $0{,}992$ .
Lösung zu b)
Willst du die Wahrscheinlichkeit von $k$ Treffern eines Ereignisses mit der Wahrscheinlichkeit $p$ in einer Bernoulli-Kette der Länge $n$ berechnen, dann benutzt du den Binomialkoeffizienten: $B(n,p,k)=\binom nk\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
Vergleichst du die gegebene Wahrscheinlichkeit $P(A)=\binom {10} a\cdot b^7\cdot0{,}2^c$ für das Ereignis $A$ mit dem Binomialkoeffizienten $B(n,p,k)$ , dann ist $n=10$ , $a=k=7$ . Wegen $1-p=0{,}2$ ist $b=p=0{,}8$ . Außerdem ist $c=n-k=10-7=3$ .
Antwort: Das Ereignis $A$ lautet demnach: Bei $10$ Schussversuchen werden genau $7$ Treffer erzielt.
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Ein Chuck-your-luck ist ein Würfelspiel aus Amerika. Der Spieler setzt einen Dollar und würfelt dann dreimal. Für jede Sechs erhält er von der Bank einen Dollar.

a) Die Zufallsvariable $X$ soll den Gewinn des Spielers angeben. Geben Sie die möglichen Werte von $X$ und ihre jeweilige Wahrscheinlichkeit an.

b) Untersuchen Sie, ob das Spiel fair ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert

Lösung zu a)

Wird keine $6$ gewürfelt, verliert der Spieler seinen Einsatz $1$ $ $\; \Rightarrow\; x_1=-1$

Wird eine $6$ gewürfelt, gewinnt der Spieler seinen Einsatz $1$ $ $\; \Rightarrow\; x_2=0$

Werden zwei $6$ er gewürfelt, gewinnt der Spieler $1$ $ $\; \Rightarrow\; x_3=1$

Werden drei $6$ er gewürfelt, gewinnt der Spieler $2$ $ $\; \Rightarrow\; x_4=2$

Die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten sind in der Tabelle angegeben.

Zufallsvariable $x_i$	$P(X= x_i)$
$-1$	$\left(\frac{5}{6}\right)^3=\frac{125}{216}$
$0$	$\binom 3 1\cdot\frac{1}{6}\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2=\frac{75}{216}$
$1$	$\binom 3 2\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^1=\frac{15}{216}$
$2$	$\left(\frac{1}{6}\right)^3=\frac{1}{216}$

Lösung zu b)

Berechne den Erwartungswert:

$E(X)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+⋯+x_n\cdot P(X=x_n)$

$E(X)=(-1)\cdot \dfrac{125}{216}+0\cdot \dfrac{75}{216}+1\cdot \dfrac{15}{216}+2\cdot \dfrac{1}{216}=- \dfrac{108}{216}=-0{,}5$

Antwort: Der Spieler verliert im Mittel $0{,}5$ $ pro Spiel. Es ist kein faires Spiel.

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Auf einem Tisch liegen verdeckt $4$ Kreuz-Karten und $n$ Herz-Karten.Es werden zwei Karten aufgedeckt.

Berechnen Sie, für welche Werte von $n$ die Wahrscheinlichkeit, dass unter den aufgedeckten Karten genau eine Herzkarte ist, gleich $\dfrac{8}{15}$ ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm

Es werden zwei Karten umgedreht. Dabei soll gelten: $P(1\;\text{Herz})=\dfrac{8}{15}$

Erstelle ein Baumdiagramm.

Die Zahl der Herzkarten ist gleich $n.$

Dann gilt für die Wahrscheinlichkeit: $P(1\;\text{Herz})=P(\text{K H})+P(\text{H K})=\dfrac{8}{15}$

Aus dem Baumdiagramm können die Wahrscheinlichkeiten für die zwei Pfade $P(\text{K H})$ und $P(\text{H K}$ ) abgelesen werden.

$\displaystyle \dfrac{4}{4+n}\cdot\dfrac{n}{3+n}+\dfrac{n}{4+n}\cdot\dfrac{4}{3+n}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{8}{15}$
	↓	Addiere die Brüche.
$\displaystyle \dfrac{8n}{(4+n)\cdot(3+n)}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{8}{15}$	$\displaystyle \cdot \dfrac{15}{8}$
$\displaystyle \dfrac{15n}{(4+n)\cdot(3+n)}$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \cdot (4+n)\cdot(3+n)$
$\displaystyle 15n$	$=$	$\displaystyle (4+n)\cdot(3+n)$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle 15n$	$=$	$\displaystyle 12+4n+3n+n^2$	$\displaystyle -15n$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle n^2-8n+12$

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.

Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel. Lies die Werte für $p$ und $q$ ab: $p=-8$ und $q=12$

$\displaystyle n_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p=-8$ und $q=12$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{(-8)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-8}{2}\right)^2-12}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 4\pm\sqrt{16-12}$
	$=$	$\displaystyle 4\pm\sqrt{4}$
	$=$	$\displaystyle 4\pm2$
$\displaystyle n_1$	$=$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle n_2$	$=$	$\displaystyle 6$

Antwort: Befinden sich entweder $2$ oder $6$ Herzkarten im Stapel, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den zwei aufgedeckten Karten genau eine Herzkarte ist, gleich $\dfrac{8}{15}$ .

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In einem Behälter befinden sich $2$ weiße und $3$ schwarze Kugeln. Es werden $2$ Kugeln mit Zurücklegen gezogen.

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der beiden Kugeln weiß ist.

b) Berechnen Sie, wie viele weiße Kugeln sich in dem Behälter befinden müssten, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine weiße Kugel zu ziehen, $0{,}91$ betragen hätte.

$\displaystyle \left(\dfrac{3}{n+3}\right)^2$	$=$	$\displaystyle 0{,}09$
	↓	Berechne das Quadrat.
$\displaystyle \dfrac{9}{(n+3)^2}$	$=$	$\displaystyle 0{,}09$	$\displaystyle \cdot (n+3)^2$
$\displaystyle 9$	$=$	$\displaystyle 0{,}09\cdot (n+3)^2$	$\displaystyle :0{,}09$
$\displaystyle 100$	$=$	$\displaystyle (n+3)^2$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle \pm10$	$=$	$\displaystyle n+3$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle \pm 10-3$	$=$	$\displaystyle n$
$\displaystyle n_1$	$=$	$\displaystyle -13$
	↓	Die negative Lösung entfällt.
$\displaystyle n_2$	$=$	$\displaystyle 7$