Pflichtteil

Es handelt sich bei $f(x)$ um eine verkettete Funktion.

Zerlege die Funktion $f(x)$, sodass die Kettenregel angewendet werden kann. Die äußere Funktion ist eine Potenzfunktion $g(x)=x^3$ und die innere Funktion ist die Funktion $h(x)=2-\cos(x)$.

Es gilt also: $f(x)=g(h(x))$

Berechne die einzelnen Ableitungen:

$g'(x)=3\cdot x^2$ und $h'(x)=\sin(x)$

Setze in die Formel der Kettenregel ein: $f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$

Es handelt sich bei $f(x)$ um ein Produkt.

Bringe $f(x)$ in die Form $f(x)=u(x)\cdot v(x)$.

Dazu setzt du $u(x)=x^2-3$ und $v(x)=\sin(3x)$.

Die Ableitung von $u(x)$ lautet: $u'(x)=2x$

Beachte, dass es sich bei $v(x)$ um eine verkettete Funktion handelt. Hier muss bei der Ableitung die Kettenregel beachtet werden.

Die äußere Funktion ist dabei $g(x)=\sin(x)$ und die innere Funktion ist die Funktion $h(x)=3x$. Es gilt also: $v(x)=g(h(x))$

Berechne die einzelnen Ableitungen:

$g'(x)=\cos(x)$ und $h'(x)=3$

Setze alles in die Formel der Kettenregel ein: $v'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$

$v'(x)=\cos(3x) \cdot 3$

Setze nun alles in die Formel für die Produktregel ein:

$f'(x)=(u(x)⋅v(x))'=u'(x)⋅v(x)+u(x)⋅v'(x)$

$f'(x)=2x\cdot \sin(3x)+(x^2-3) \cdot \cos(3x) \cdot 3$

Anders sortiert:

Es handelt sich bei $f(x)$ um eine verkettete Funktion.

Zerlege die Funktion $f(x)$, sodass die Kettenregel angewendet werden kann. Die äußere Funktion ist eine Potenzfunktion $g(x)=x^3$ und die innere Funktion ist die Funktion $h(x)=3-e^{-2x}$.

Es gilt also: $f(x)=g(h(x))$

Berechne die einzelnen Ableitungen: $g'(x)=3\cdot x^2$

Bei der Ableitung von $h(x)$ fällt die $3$ weg, sodass nur $h^*(x)=- e^{-2x}$ abgeleitet wird. Beachte, dass es sich dabei wieder um eine verkettete Funktion handelt. Hier muss bei der Ableitung ebenfalls wieder die Kettenregel beachtet werden.

Die äußere Funktion ist dabei $u(x)=-e^x$ und die innere Funktion ist die Funktion $v(x)=-2x$. Es gilt also: $h^*(x)=u(v(x))$

Berechne die einzelnen Ableitungen:

$u'(x)=-e^x$ und $v'(x)=-2$

Setze alles in die Formel der Kettenregel ein: $h^*(x)'=u'(v(x))\cdot v'(x)$

$h^*(x)'=-e^{-2x} \cdot (-2)=2 \cdot e^{-2x}=h'(x)$

Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein:

$f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$

Es handelt sich bei $f(x)$ um ein Produkt.

Bringe $f(x)$ in die Form $f(x)=u(x)\cdot v(x)$.

Dazu setzt du $u(x)=x^4$ und $v(x)=e^{2x}+1$.

Die Ableitung von $u(x)$ lautet: $u'(x)=4x^3$

Bei der Ableitung von $v(x)$ fällt die $1$ weg, sodass nur $v^*(x)= e^{2x}$ abgeleitet wird. Beachte, dass es sich dabei um eine verkettete Funktion handelt. Hier muss bei der Ableitung die Kettenregel beachtet werden.

Die äußere Funktion ist dabei $g(x)=e^x$ und die innere Funktion ist die Funktion $h(x)=2x$. Es gilt also: $v^*(x)=g(h(x))$

Berechne die einzelnen Ableitungen:

$g'(x)=e^x$ und $h'(x)=2$

Setze alles in die Formel der Kettenregel ein: $v^*(x)'=g'(h(x))\cdot h'(x)$

$v^*(x)'=e^{2x} \cdot 2=2\cdot e^{2x}= v'(x)$

Setze nun alles in die Formel für die Produktregel ein:

$f'(x)=(u(x)⋅v(x))'=u'(x)⋅v(x)+u(x)⋅v'(x)$

Es handelt sich bei $f(x)$ um eine Summe.

Leite nach der Summenregel die einzelnen Funktionsterme ab.

$f(x)=u(x)+v(x)\; \Rightarrow\; f'(x)=u'(x)+v'(x)$

Setze dazu $u(x)=e^{-2x}$ und $v(x)=2\sqrt{x}=2\cdot x^\frac{1}{2}$

Beachte, dass es sich bei $u(x)$ um eine verkettete Funktion handelt. Hier muss bei der Ableitung die Kettenregel beachtet werden.

Die äußere Funktion ist dabei $g(x)=e^x$ und die innere Funktion ist die Funktion $h(x)=-2x$. Es gilt also: $u(x)=g(h(x))$

Berechne die einzelnen Ableitungen:

$g'(x)=e^x$ und $h'(x)=-2$

Setze alles in die Formel der Kettenregel ein: $u(x)'=g'(h(x))\cdot h'(x)$

$u'(x)=e^{-2x} \cdot (-2)=-2\cdot e^{-2x}$

Berechne nun die Ableitung von $v(x)$:

$v'(x)=2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$

Setze die berechneten Ableitungen ein: $f'(x)=u'(x)+v'(x)$

Es handelt sich bei $f(x)$ um ein Produkt.

Bringe $f(x)$ in die Form $f(x)=u(x)\cdot v(x)$.

Dazu setzt du $u(x)= e^{-3x}$ und $v(x)=x^2+1$.

Beachte, dass es sich bei $u(x)$ um eine verkettete Funktion handelt. Hier muss bei der Ableitung die Kettenregel beachtet werden.

Die äußere Funktion ist dabei $g(x)=e^x$ und die innere Funktion ist die Funktion $h(x)=-3x$. Es gilt also: $u(x)=g(h(x))$

Berechne die einzelnen Ableitungen:

$g'(x)=e^x$ und $h'(x)=-3$

Setze alles in die Formel der Kettenregel ein: $u'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$

$u'(x)=e^{-3x} \cdot (-3)=-3\cdot e^{-3x}$

Die Ableitung von $v(x)$ lautet: $v'(x)=2x$

Setze nun alles in die Formel für die Produktregel ein:

$f'(x)=(u(x)⋅v(x))'=u'(x)⋅v(x)+u(x)⋅v'(x)$

$f'(x)=-3\cdot e^{-3x} \cdot(x^2+1)+ e^{-3x}\cdot 2x$

Vereinfacht:

Die gegebene Funktion ist eine Summe aus zwei Funktionen $u(x)+v(x)$, sodass für jede dieser beiden Funktionen eine Stammfunktion ermittelt werden kann.

$u(x)=3\cdot e^{-2x}$

Die $3$ bleibt als konstanter Vorfaktor erhalten und zu $e^{-2x}$ ist $-\dfrac{1}{2} e^{-2x}$ eine Stammfunktion $\;\;\Rightarrow\;\;U(x)=3\cdot \left( -\dfrac{1}{2} \right)e^{-2x}=-\dfrac{3}{2} e^{-2x}$

$v(x)=\dfrac{1}{2x}=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{x}$

Die $\dfrac{1}{2}$ bleibt als konstanter Vorfaktor erhalten und zu $\dfrac{1}{x}$ ist $\ln|x|$ eine Stammfunktion $\;\;\Rightarrow\;\;V(x)=\dfrac{1}{2} \ln|x|$

Eine Stammfunktion ist also:

Die gegebene Funktion ist eine Summe aus zwei Funktionen $u(x)$+$v(x)$, sodass für jede dieser beiden Funktionen eine Stammfunktion ermittelt werden kann.

$u(x)=\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}$

Zu $x^{-2}$ ist $-x^{-1}$ eine Stammfunktion $\;\;\Rightarrow\;\;U(x)=-x^{-1}$

$v(x)=x$

Zu $x$ ist $\frac{1}{2}\cdot x^2$ eine Stammfunktion $\;\;\Rightarrow\;\;V(x)=\frac{1}{2}x^2$

Die Menge aller Stammfunktionen ist also:

Gesucht ist die Stammfunktion $F$ von $f$, deren Schaubild den Punkt $(1|0)$ enthält, d.h.

$F(1)=0\;\;\Rightarrow\;\;0=-1^{-1}+\frac{1}{2}1^2+C$

$0=-1+\frac{1}{2}+C\;\Rightarrow\;0=-\frac{1}{2}+C\;\Rightarrow\;C=\frac{1}{2}$

$\displaystyle F(x)=-x^{-1}+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}$ oder $\displaystyle F(x)=-\frac{1}{x}+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}$

Berechne die Ableitung von $F(x):$

Beachte, dass es sich bei $F(x )$ um eine verkettete Funktion handelt.

Zerlege die Funktion $F(x)$, sodass die Kettenregel angewendet werden kann. Die äußere Funktion ist die natürliche Logarithmusfunktion $g(x)=\ln(x)$ und die innere Funktion ist die Funktion $h(x)=1+x²$

Es gilt also: $F(x)=g(h(x))$

Berechne die einzelnen Ableitungen:

$g'(x)=\dfrac{1}{x}$ und $h'(x)=2x$

Setze in die Formel der Kettenregel ein: $F'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$

$F'(x)=\dfrac{1}{1+x²}\cdot 2x=2 \cdot \dfrac{x}{1+x²}=f(x)$

Antwort: Damit ist gezeigt, dass $F(x) = \ln(1+x²)$ eine Stammfunktion von $f(x) =2\cdot \dfrac{x}{1+x²}$ ist.

Eine Stammfunktion zu $\dfrac{3}{x}$ ist $3\cdot\ln|x|$und zu 1 gehört die Stammfunktion $x$.

$\Rightarrow\;\;\int_{1}^{e} \left(\dfrac{3}{x}-1\right) \mathrm{d}x=\left[3\cdot\ln|x|-x\right]_{1}^{e}$

$=(3\cdot\underbrace{\ln|e|}_{1}-e)-(3\cdot \underbrace{\ln|1|}_{0}-1)=3-e+1=4-e$

Eine Stammfunktion zu $\sin(2x)$ ist $-\frac{1}{2}\cos(2x)$ und zu 1 gehört die Stammfunktion $x$.

$\Rightarrow\;\;\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin(2x)+1) \mathrm{d}x=\left[-\frac{1}{2}\cos(2x)+x\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$

$=(-\frac{1}{2}\cdot\underbrace{\cos(2\cdot\frac{\pi}{4})}_{0}+\frac{\pi}{4})-(-\frac{1}{2}\cdot\underbrace{\cos(2\cdot 0)}_{1}+0)$

$=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{1}{2}$

Berechne die eingeschlossene Fläche in Abhängigkeit von $k$.

$A(k)=\int_{k}^{4} \left(\dfrac{4}{\sqrt{x}}\right) \mathrm{d}x=\left[8\cdot \sqrt{x}\right]_{k}^{4}$

$=(8\cdot \sqrt{4})-(8\cdot \sqrt{k})=16-8\cdot \sqrt{k}$

Berechne nun den Grenzwert von $A(k)$ für $k\rightarrow0$

$A=\lim_{k\rightarrow0}(16-8\cdot \sqrt{k})=16$

Antwort: Die Fläche hat einen endlichen Flächeninhalt $A=16 \;\text{FE}$.

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten, die mit der Mitternachtsformel oder mit der pq-Formel gelöst werden kann. Hier wird die pq-Formel verwendet.

Lies aus der Gleichung die Werte für $p$ und $q$ ab:$\;p=2$ und $q=-3$

Rücksubstituieren

Setze $z_1$​ und $z_2$​ wieder in die Substitutionsgleichung $x^2=z$ ein, so erhältst du die zwei Gleichungen: $\mathrm{(I)}\; x^2=-3$ und $\mathrm{(II)}\;x^2=1$

Die Gleichung $\mathrm{(I)}$ hat keine reelle Lösung und Gleichung $\mathrm{(II)}$ hat die beiden Lösungen $x_2=-1$ und $x_3 =1$.

Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{-1;0;1\}$.

Wenn das Produkt zweier Faktoren $0$ ist, so ist mindestens einer dieser Faktoren gleich $0$.

Also ist entweder $\mathrm{(I)}\;2x^2 – 50=0$ oder $\mathrm{(II)}\;e^{2x} – 7=0$

Lösung für Gleichung $\mathrm{(I)}$:

Lösung für Gleichung $\mathrm{(II)}$:

Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{-5;\frac{1}{2}\ln(7);5\}$.

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten, die mit der Mitternachtsformel oder mit der pq-Formel gelöst werden kann. Hier wird die pq-Formel verwendet.

Lies aus der Gleichung die Werte für $p$ und $q$ ab:$\;p=3$ und $q=-10$

Rücksubstituieren

Setze $z_1$​ und $z_2$​ wieder in die Substitutionsgleichung $e^x=z$ ein, so erhältst du die zwei Gleichungen: $\mathrm{(I)}\; e^x=-5$ und $\mathrm{(II)}\;e^x=2$

Die Gleichung $\mathrm{(I)}$ hat keine Lösung ($e^x$ ist für alle $x$ immer $>0$) und Gleichung $\mathrm{(II)}$ hat die Lösung $x=\ln(2)$.

Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{\ln(2)\}$.

Du hast zwei Gleichungen erhalten:

$\mathrm{(I)}\; e^{-x}-3=-2$ und $\mathrm{(II)}\; e^{-x}-3=2$

Lösung für Gleichung $\mathrm{(I)}$:

Lösung für Gleichung $\mathrm{(II)}$:

Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{-\ln(5);0\}$.

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten, die mit der Mitternachtsformel oder mit der pq-Formel gelöst werden kann. Hier wird die pq-Formel verwendet.

Lies aus der Gleichung die Werte für $p$ und $q$ ab:$\;p=-2$ und $q=-3$

Rücksubstituieren

Setze $z_1$​ und $z_2$​ wieder in die Substitutionsgleichung $\sin(x)=z$ ein, so erhältst du die zwei Gleichungen: $\mathrm{(I)}\; \sin(x)=-1$ und $\mathrm{(II)}\;\sin(x)=3$

Gleichung $\mathrm{(I)}$ hat die Lösung $x=\dfrac{3}{2}\pi$.

Die Gleichung $\mathrm{(II)}$ hat keine Lösung, da für alle $x$ gilt $-1\leq \sin(x) \leq 1$).

Antwort: Die Gleichung hat im Bereich $0\leq x\leq2\pi$ die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{\frac{3}{2}\pi\}$.

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten, die mit der Mitternachtsformel oder mit der pq-Formel gelöst werden kann. Hier wird die pq-Formel verwendet.

Lies aus der Gleichung die Werte für $p$ und $q$ ab:$\;p=-1$ und $q=-2$

Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{-1;2\}$.