Pflichtteil

Bilden Sie die Ableitung der Funktion $f$ mit $f(x)=(2-\cos(x))^3.$

Bilden Sie die Ableitung der Funktion $f$ mit $f(x) = (x²- 3)\cdot \sin(3x).$

Bilden Sie die Ableitung der Funktion $f$ mit $f(x)=(3-e^{-2x})^3$

Bilden Sie die Ableitung der Funktion $f$ mit $f(x) = x⁴\cdot (e^{2x}+1)$.

Bilden Sie die Ableitung der Funktion $f$ mit $f(x) = e^{-2x}+2\sqrt{x}$.

Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion $f$ mit $f(x) = e^{-3x}\cdot(x²+ 1)$und vereinfachen Sie so weit wie möglich.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = 3\cdot e^{-2x}+\dfrac{1}{2x}$.

Bestimmen Sie eine Stammfunktion $F$ von $f$.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{1}{x^2}+x$. Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion $F$ von $f$, deren Schaubild den Punkt $(1|0)$ enthält.

Zeigen Sie, dass $F(x) = \ln(1+x²)$ eine Stammfunktion von $f(x) =2\cdot \dfrac{x}{1+x²}$ ist.

Berechnen Sie das Integral $\displaystyle \int_1^e\left(\frac{3}{x}-1\right)\mathrm{d}x$.

Berechnen Sie das Integral $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\sin(2x)+1)\;\mathrm{d}x$.

Die Funktion f mit $f(x) =\dfrac{4}{\sqrt{x}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden $x = 4$ und der y-Achse eine nach oben offene Fläche ein (siehe Skizze). Untersuchen Sie, ob diese Fläche einen endlichen Flächeninhalt hat und bestimmen Sie diesen gegebenenfalls.

Lösen Sie die Gleichung $x^5 + 2x^3- 3x = 0.$

Lösen Sie die Gleichung $(2x^2 – 50) \cdot (e^{2x} – 7) = 0.$

Lösen Sie die Gleichung $e^x+3-10\cdot e^{-x}=0.$

Lösen Sie die Gleichung $(e^{-x} - 3 )^2 = 4.$

Lösen Sie für $0\leq x\leq2\pi$ die Gleichung $(\sin(x))^2- 2\sin(x) = 3.$

Lösen Sie die Gleichung $\dfrac{2}{x²} +\dfrac{1}{x}= 1.$

Lösen Sie die Gleichung $1 −\dfrac{5}{e^{x}}+\dfrac{4}{e^{2x}}=0.$

Lösen Sie für $0 \leq x\leq2\pi$ die Gleichung $\cos(x)·(e^{-2x+1} + 1) = 0.$

Bestimmen Sie die Extrempunkte der Funktion $f$ mit $f(x)=e^{2x}+e^{-x}.$

Bestimmen Sie den Wendepunkt der Funktion $f$ mit $f(x) = (x-1)\cdot e^{x}.$

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = 2\cdot e^{-x}$

a) Bestimmen Sie die Gleichung der Normalen von $f$ im Punkt $P(-1|2e)$.

b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Normalen mit der x-Achse.

Die Funktion $f$ hat das nebenstehende Schaubild und die Funktionsgleichung

$f(x) = ae^{x} + b$ , $(a,b \in \mathbb{R}).$

a) Bestimmen Sie die Werte von $a$ und $b$.

b) Berechnen Sie, an welcher Stelle die Funktion $f$ die Steigung $- 1$ besitzt.

Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x}+3$ und $\displaystyle g(x)=-\frac{1}{1+x}$.

Geben Sie die waagrechte Asymptote der Funktion $f$ an.

Bestimmen Sie die Stelle, an der $f$ und $g$ die gleiche Steigung haben.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = e^{-x-1}+1$

a) Skizzieren Sie das Schaubild von $f$.

b) Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $-1$ und zeichnen Sie die Tangente ein.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)= 2\cdot \sqrt{2x+1}$.

a) Berechnen Sie die Steigung von $f$ an der Stelle $1{,}5$.

b) Berechnen Sie die Stelle, an der die Funktion $f$ die Steigung $2$ hat.

c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an der Stelle $0$.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = -\sin(x) + 1.$

a) Skizzieren Sie das Schaubild von $f$ für $0\leq x\leq 2\pi$.

b) Bestimmen Sie die Steigung von $f$ an der Stelle $x = \pi$.

c) Bestimmen Sie $c$ so, dass der Ursprung auf dem Schaubild von $g(x) = f(x+c)$ liegt.

Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitung $f'$ einer Funktion $f$. Begründen Sie, ob folgende Aussagen über die Funktion $f$ wahr, falsch oder unentscheidbar sind.

a) An der Stelle $0$ hat das Schaubild von $f$ einen Hochpunkt.

b) Für $0\leq x \leq 2$ ist $f(x)\leq 0$.

c) Das Schaubild von $f$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung für $-1 \lt x \lt 1$.

d) An der Stelle $2$ hat das Schaubild von $f$ einen Wendepunkt.

Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitung $f'$ einer Funktion $f$.

a) Begründen Sie, welche Aussagen man in dem dargestellten Bereich hinsichtlich der Anzahl der

- Extremstellen,

- Wendestellen

und Nullstellen

von $f$ man treffen kann.

b) Begründen Sie, dass $\displaystyle \int_{-2}^3f'(x)\,\mathrm{d}x<0$ gilt.

Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitung $f'$ einer Funktion $f$.

Begründen Sie, ob folgende Aussagen über die Funktion $f$ wahr, falsch oder unentscheidbar sind.

a) Bei $x = 0$ besitzt das Schaubild von $f$ einen Extrempunkt.

b) Bei $x = -2$ besitzt das Schaubild von f eine waagrechte Tangente.

c) Das Schaubild der Funktion $f$ besitzt keine Wendepunkte.

d) $f(x) \gt 0$ für $x \gt -2$.

Gegeben sind die Schaubilder zweier Funktionen $f$ und $g.$ Eine der beiden Funktionen ist die Ableitungsfunktion der anderen Funktion.

a) Begründen Sie, dass die Funktion $f$ die Ableitung der Funktion $g$ ist.

b) Die Funktion $g$ hat die Funktionsgleichung $g(x) = e^{ax}+b$. Bestimmen Sie $a$ und $b.$

Die 4 Abbildungen zeigen die Schaubilder von Funktionen. Eines dieser Schaubilder gehört zu der Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{a}{1+x²}-1$.

a) Begründen Sie, dass Abbildung 2 zur Funktion $f$ gehört. Bestimmen Sie den Wert von a.

b) Von den anderen drei Abbildungen gehört eine zur Ableitungsfunktion $f'$ und eine zur Integralfunktion $I$ mit $I(x)=\int_{2}^{x} f(t) \mathrm{d}t$. Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehörigen Abbildungen zu und begründen Sie jeweils Ihre Zuordnung.

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Linearen Gleichungssystems.

$x_1 + x_2 +7x_3 = 2$

$2x_1 - x_2 - 3x_3 = -5$

$4x_1 - x_2 + 4x_3 = -7.$

Stellen Sie den Vektor $\vec{v}= \begin{pmatrix} 14 \\ -5 \\ 7 \end{pmatrix}$ als Linearkombination der drei Vektoren

$\vec{a}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\vec{b}= \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix}$und $\vec{c}= \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$dar.

Gegeben sind die Ebenen $E_1:\begin{pmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6\end{pmatrix} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 3 \\ 2\end{pmatrix}=0$ und $E_2 : x_3 = 2.$

a) Stellen Sie die Ebenen $E_1$ und $E_2$ in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar.

b) Zeichnen Sie die Schnittgerade $g$ von $E_1$und $E_2$ ein und bestimmen Sie die Gleichung der Schnittgeraden.

Gegeben sind die Ebenen $E:x_1+2x_2=4$ und $F : 2x_1 + x_2 + 2x_3 = 8.$

a) Stellen Sie die Ebenen $E$ und $F$ in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar.

b) Zeichnen Sie die Schnittgerade von $E$ und $F$ ein und bestimmen Sie die Gleichung der Schnittgeraden.

a) Geben Sie die Gleichung der Ebene $E$ an, welche die Spurpunkte $(0|0|4)$ und $(0|-3|0)$ und keinen Schnittpunkt mit der $x_1$-Achse hat.

b) Geben Sie die Gleichung der Ebene $F$ an, welche den Punkt $A(3|-3|-1$) enthält und parallel zur Ebene $E:x_1=2$ ist.

c) Geben Sie die Gleichung der Geraden $g$ an, welche durch den Punkt $P(5|1|-4)$ geht und senkrecht zur Ebene

$E:\begin{pmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2\\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=0$ steht.

Gegeben sind die Geraden $g$ und $h$ mit $g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1\\ 5 \end{pmatrix}$ und

$h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot\begin{pmatrix} -9 \\ 3 \\ -15 \end{pmatrix}$

a) Zeigen Sie, dass $g$ und $h$ parallel, aber nicht identisch sind.

b) Geben Sie eine Gleichung der Ebene an, in der die Geraden $g$ und $h$ liegen.

Gegeben sind die beiden Ebenen $E$ und $F$ mit

$E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+ t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}$; $s,t\in\mathbb{R}$ und

$F: x_1 – x_2 + x_3 - 1 = 0.$

a) Weisen Sie nach, dass $E$ und $F$ parallel zueinander liegen.

b) Bestimmen Sie den Abstand von $E$ und $F$.

Gegeben sind die Punkte $A(3|0|1),$ $B(6|2|2)$ und $C(0|3|5).$ Die Ebene $E$ enthält die Punkte $A,B$ und $C.$

a) Bestimmen Sie die Gleichung von $E$ in Normalenform und Koordinatenform.

b) Untersuchen Sie die Lage der Ebene $E$ zur Geraden $g$ mit

$g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

Gegeben ist die Gerade $g$ mit $g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix}$; $t\in\mathbb{R}$ und $h$ mit

$h:\vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$; $s\in\mathbb{R}$

a) Zeigen Sie, dass die Geraden $g$ und $h$ orthogonal zueinander liegen.

b) Untersuchen Sie, ob sich $g$ und $h$ auch schneiden.

Gegeben sind die Punkte $A(12|0|0)$, $B(4|10|5)$ und $C (2|8|4).$

a) Zeigen Sie, dass das Dreieck $ABC$ rechtwinklig ist.

b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$.

Gegeben sind die Punkte $A(1|3|0), B(3|7|-4)$ und $C(2|8|1)$.

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$.

Gegeben sind die Punkte $A(-7|0|1), B(-5|3|1)$ und $C(-4|0|-1)$.

a) Zeigen Sie, dass das Dreieck $ABC$ gleichschenklig ist.

b) Das Dreieck $ABC$ lässt sich so durch einen Punkt $P$ ergänzen, dass eine Raute entsteht. Bestimmen Sie die Koordinaten von $P$.

c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$.

Ein Auto hat einen Wert von 30000€ und soll von eine Versicherung jährlich gegen Schäden versichert werden.

Die Autoversicherung erwartet, dass bei 10000 versicherten Autos des gleichen Typs pro Jahr folgende Schadensfälle passieren:

- 10 Versicherungsfälle mit einem Totalschaden,

- 50 Versicherungsfälle mit einem durchschnittlichen Schaden von 10000€,

- 250 kleinere Schäden mit einem durchschnittlichen Schaden von 2000€.

Berechnen Sie, welchen Versicherungsbeitrag die Versicherung jährlich anbieten sollte, wenn Sie pro Kunden einen Gewinn von 100 € (ohne Verwaltungskosten) erwirtschaften möchte.

Ein Biathlet trifft erfahrungsgemäß bei 80% seiner Schüsse die Scheibe.

a) Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit er bei drei Schüssen

- nur den mit dem ersten Schuss

- mindestens einen Schuss trifft.

b) Für ein Ereignis $A$ gilt: $P(A)= \begin{pmatrix} 10 \\ a \end{pmatrix} \cdot b⁷ \cdot 0{,}2^{c}$. Geben Sie geeignete Werte für $a$, $b$ und $c$ an. Beschreiben Sie das Ereignis $A$ in Worten.

Ein Chuck-your-luck ist ein Würfelspiel aus Amerika. Der Spieler setzt einen Dollar und würfelt dann dreimal. Für jede Sechs erhält er von der Bank einen Dollar.

a) Die Zufallsvariable $X$ soll den Gewinn des Spielers angeben. Geben Sie die möglichen Werte von $X$ und ihre jeweilige Wahrscheinlichkeit an.

b) Untersuchen Sie, ob das Spiel fair ist.

Auf einem Tisch liegen verdeckt $4$ Kreuz-Karten und $n$ Herz-Karten.Es werden zwei Karten aufgedeckt.

Berechnen Sie, für welche Werte von $n$ die Wahrscheinlichkeit, dass unter den aufgedeckten Karten genau eine Herzkarte ist, gleich $\dfrac{8}{15}$ ist.

In einem Behälter befinden sich $2$ weiße und $3$ schwarze Kugeln. Es werden $2$ Kugeln mit Zurücklegen gezogen.

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der beiden Kugeln weiß ist.

b) Berechnen Sie, wie viele weiße Kugeln sich in dem Behälter befinden müssten, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine weiße Kugel zu ziehen, $0{,}91$ betragen hätte.

Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen $E_1$ und $E_2$. Die Ebene $F$ ist parallel zu $E_1$ und $E_2$ und hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand.

Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man eine Gleichung der Ebene $F$ bestimmen kann.

Gegeben ist eine Ebene $E$. Gesucht ist eine zu $E$ parallele Ebene $F$ im

Abstand 3.

Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man eine Gleichung der Ebene $F$ bestimmen kann.

Die vier Punkte $A, B, C$ und $D$ bilden ein Parallelogramm im Raum. Des Weiteren ist ein Punkt $P$ gegeben.

Beschreiben Sie ein Verfahren, um festzustellen ob der Punkt $P$ im Parallelogramm $ABCD$ liegt.

Skizzieren Sie das Schaubild einer Funktion $f$ mit folgenden Eigenschaften:

$f(x)\gt0, f'(x)\gt0$ und $f''(x)\lt0$

Begründen Sie: Ist $f''(x)\lt0$, so ist das Schaubild von $f$ eine Rechtskurve.

Für ein Ereignis $A$ bei der mehrmaligen Durchführung eines Bernoulli-Experimentes gilt

$P\left(A\right)=1-\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 15 \\ 13 \end{pmatrix} \cdot 0{,}6^{13} \cdot 0{,}4^{2}+15 \cdot 0{,}6^{14} \cdot 0{,}4+ 0{,}6^{15}\end{pmatrix}$

Beschreiben Sie das Ereignis $A$ in Worten.