Pflichtteil

1
schule-bw.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY 4.0 mit Namensnennung Landesbildungsserver Baden-Württemberg
Ableitung
1. Bilden Sie die Ableitung der Funktion $f$ mit $f (x) = (2 - \cos (x))^{3} .$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
  Es handelt sich bei $f (x)$ um eine verkettete Funktion.
  Zerlege die Funktion $f (x)$ , sodass die Kettenregel angewendet werden kann. Die äußere Funktion ist eine Potenzfunktion $g (x) = x^{3}$ und die innere Funktion ist die Funktion $h (x) = 2 - \cos (x)$ .
  Es gilt also: $f (x) = g (h (x))$
  Berechne die einzelnen Ableitungen:
  $g^{'} (x) = 3 \cdot x^{2}$ und $h^{'} (x) = \sin (x)$
  Setze in die Formel der Kettenregel ein: $f^{'} (x) = g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x)$
  $f^{'} (x) = 3 \cdot {(2 - \cos (x))}^{2} \cdot \sin (x)$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Bilden Sie die Ableitung der Funktion $f$ mit $f (x) = (x^{2} - 3) \cdot \sin (3 x) .$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
  Es handelt sich bei $f (x)$ um ein Produkt.
  Bringe $f (x)$ in die Form $f (x) = u (x) \cdot v (x)$ .
  Dazu setzt du $u (x) = x^{2} - 3$ und $v (x) = \sin (3 x)$ .
  Die Ableitung von $u (x)$ lautet: $u^{'} (x) = 2 x$
  Beachte, dass es sich bei $v (x)$ um eine verkettete Funktion handelt. Hier muss bei der Ableitung die Kettenregel beachtet werden.
  Die äußere Funktion ist dabei $g (x) = \sin (x)$ und die innere Funktion ist die Funktion $h (x) = 3 x$ . Es gilt also: $v (x) = g (h (x))$
  Berechne die einzelnen Ableitungen:
  $g^{'} (x) = \cos (x)$ und $h^{'} (x) = 3$
  Setze alles in die Formel der Kettenregel ein: $v^{'} (x) = g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x)$
  $v^{'} (x) = \cos (3 x) \cdot 3$
  Setze nun alles in die Formel für die Produktregel ein:
  $f^{'} (x) = (u (x) \cdot v (x))^{'} = u^{'} (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v^{'} (x)$
  $f^{'} (x) = 2 x \cdot \sin (3 x) + (x^{2} - 3) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$
  Anders sortiert:
  $f^{'} (x) = 2 x \cdot \sin (3 x) + 3 \cdot (x^{2} - 3) \cdot \cos (3 x)$
  
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. Bilden Sie die Ableitung der Funktion $f$ mit $f (x) = (3 - e^{- 2 x})^{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
  Es handelt sich bei $f (x)$ um eine verkettete Funktion.
  Zerlege die Funktion $f (x)$ , sodass die Kettenregel angewendet werden kann. Die äußere Funktion ist eine Potenzfunktion $g (x) = x^{3}$ und die innere Funktion ist die Funktion $h (x) = 3 - e^{- 2 x}$ .
  Es gilt also: $f (x) = g (h (x))$
  Berechne die einzelnen Ableitungen: $g^{'} (x) = 3 \cdot x^{2}$
  Bei der Ableitung von $h (x)$ fällt die $3$ weg, sodass nur $h^{*} (x) = - e^{- 2 x}$ abgeleitet wird. Beachte, dass es sich dabei wieder um eine verkettete Funktion handelt. Hier muss bei der Ableitung ebenfalls wieder die Kettenregel beachtet werden.
  Die äußere Funktion ist dabei $u (x) = - e^{x}$ und die innere Funktion ist die Funktion $v (x) = - 2 x$ . Es gilt also: $h^{*} (x) = u (v (x))$
  Berechne die einzelnen Ableitungen:
  $u^{'} (x) = - e^{x}$ und $v^{'} (x) = - 2$
  Setze alles in die Formel der Kettenregel ein: $h^{*} (x)^{'} = u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x)$
  $h^{*} (x)^{'} = - e^{- 2 x} \cdot (- 2) = 2 \cdot e^{- 2 x} = h^{'} (x)$
  Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein:
  $f^{'} (x) = g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x)$
  $f^{'} (x) = \underset{g^{'} (h (x))}{\underset{⏟}{3 \cdot (3 - e^{- 2 x})^{2}}} \cdot \underset{h^{'} (x)}{\underset{⏟}{2 \cdot e^{- 2 x}}} = 6 \cdot (3 - e^{- 2 x})^{2} \cdot e^{- 2 x}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4. Bilden Sie die Ableitung der Funktion $f$ mit $f (x) = x^{4} \cdot (e^{2 x} + 1)$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
  Es handelt sich bei $f (x)$ um ein Produkt.
  Bringe $f (x)$ in die Form $f (x) = u (x) \cdot v (x)$ .
  Dazu setzt du $u (x) = x^{4}$ und $v (x) = e^{2 x} + 1$ .
  Die Ableitung von $u (x)$ lautet: $u^{'} (x) = 4 x^{3}$
  Bei der Ableitung von $v (x)$ fällt die $1$ weg, sodass nur $v^{*} (x) = e^{2 x}$ abgeleitet wird. Beachte, dass es sich dabei um eine verkettete Funktion handelt. Hier muss bei der Ableitung die Kettenregel beachtet werden.
  Die äußere Funktion ist dabei $g (x) = e^{x}$ und die innere Funktion ist die Funktion $h (x) = 2 x$ . Es gilt also: $v^{*} (x) = g (h (x))$
  Berechne die einzelnen Ableitungen:
  $g^{'} (x) = e^{x}$ und $h^{'} (x) = 2$
  Setze alles in die Formel der Kettenregel ein: $v^{*} (x)^{'} = g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x)$
  $v^{*} (x)^{'} = e^{2 x} \cdot 2 = 2 \cdot e^{2 x} = v^{'} (x)$
  Setze nun alles in die Formel für die Produktregel ein:
  $f^{'} (x) = (u (x) \cdot v (x))^{'} = u^{'} (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v^{'} (x)$
  $f^{'} (x) = 4 x^{3} \cdot (e^{2 x} + 1) + x^{4} \cdot 2 \cdot e^{2 x}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
5. Bilden Sie die Ableitung der Funktion $f$ mit $f (x) = e^{- 2 x} + 2 \sqrt{x}$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
  Es handelt sich bei $f (x)$ um eine Summe.
  Leite nach der Summenregel die einzelnen Funktionsterme ab.
  $f (x) = u (x) + v (x) \Rightarrow f^{'} (x) = u^{'} (x) + v^{'} (x)$
  Setze dazu $u (x) = e^{- 2 x}$ und $v (x) = 2 \sqrt{x} = 2 \cdot x^{\frac{1}{2}}$
  Beachte, dass es sich bei $u (x)$ um eine verkettete Funktion handelt. Hier muss bei der Ableitung die Kettenregel beachtet werden.
  Die äußere Funktion ist dabei $g (x) = e^{x}$ und die innere Funktion ist die Funktion $h (x) = - 2 x$ . Es gilt also: $u (x) = g (h (x))$
  Berechne die einzelnen Ableitungen:
  $g^{'} (x) = e^{x}$ und $h^{'} (x) = - 2$
  Setze alles in die Formel der Kettenregel ein: $u (x)^{'} = g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x)$
  $u^{'} (x) = e^{- 2 x} \cdot (- 2) = - 2 \cdot e^{- 2 x}$
  Berechne nun die Ableitung von $v (x)$ :
  $v^{'} (x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{- \frac{1}{2}} = x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$
  Setze die berechneten Ableitungen ein: $f^{'} (x) = u^{'} (x) + v^{'} (x)$
  $f^{'} (x) = - 2 \cdot e^{- 2 x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
6. Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion $f$ mit $f (x) = e^{- 3 x} \cdot (x^{2} + 1)$ und vereinfachen Sie so weit wie möglich.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
  Es handelt sich bei $f (x)$ um ein Produkt.
  Bringe $f (x)$ in die Form $f (x) = u (x) \cdot v (x)$ .
  Dazu setzt du $u (x) = e^{- 3 x}$ und $v (x) = x^{2} + 1$ .
  Beachte, dass es sich bei $u (x)$ um eine verkettete Funktion handelt. Hier muss bei der Ableitung die Kettenregel beachtet werden.
  Die äußere Funktion ist dabei $g (x) = e^{x}$ und die innere Funktion ist die Funktion $h (x) = - 3 x$ . Es gilt also: $u (x) = g (h (x))$
  Berechne die einzelnen Ableitungen:
  $g^{'} (x) = e^{x}$ und $h^{'} (x) = - 3$
  Setze alles in die Formel der Kettenregel ein: $u^{'} (x) = g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x)$
  $u^{'} (x) = e^{- 3 x} \cdot (- 3) = - 3 \cdot e^{- 3 x}$
  Die Ableitung von $v (x)$ lautet: $v^{'} (x) = 2 x$
  Setze nun alles in die Formel für die Produktregel ein:
  $f^{'} (x) = (u (x) \cdot v (x))^{'} = u^{'} (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v^{'} (x)$
  $f^{'} (x) = - 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (x^{2} + 1) + e^{- 3 x} \cdot 2 x$
  Vereinfacht:
  $f^{'} (x) = e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x - 3)$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2
schule-bw.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY 4.0 mit Namensnennung Landesbildungsserver Baden-Württemberg
Stammfunktion und Integral
1. Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f (x) = 3 \cdot e^{- 2 x} + \frac{1}{2 x}$ .
  Bestimmen Sie eine Stammfunktion $F$ von $f$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
  Die gegebene Funktion ist eine Summe aus zwei Funktionen $u (x) + v (x)$ , sodass für jede dieser beiden Funktionen eine Stammfunktion ermittelt werden kann.
  $u (x) = 3 \cdot e^{- 2 x}$
  Die $3$ bleibt als konstanter Vorfaktor erhalten und zu $e^{- 2 x}$ ist $- \frac{1}{2} e^{- 2 x}$ eine Stammfunktion $\Rightarrow U (x) = 3 \cdot (- \frac{1}{2}) e^{- 2 x} = - \frac{3}{2} e^{- 2 x}$
  $v (x) = \frac{1}{2 x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$
  Die $\frac{1}{2}$ bleibt als konstanter Vorfaktor erhalten und zu $\frac{1}{x}$ ist $\ln | x |$ eine Stammfunktion $\Rightarrow V (x) = \frac{1}{2} \ln | x |$
  Eine Stammfunktion ist also:
  $F (x) = U (x) + V (x) = - \frac{3}{2} e^{- 2 x} + \frac{1}{2} \ln | x |$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f (x) = \frac{1}{x^{2}} + x$ . Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion $F$ von $f$ , deren Schaubild den Punkt $(1 | 0)$ enthält.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
  Die gegebene Funktion ist eine Summe aus zwei Funktionen $u (x)$ + $v (x)$ , sodass für jede dieser beiden Funktionen eine Stammfunktion ermittelt werden kann.
  $u (x) = \frac{1}{x^{2}} = x^{- 2}$
  Zu $x^{- 2}$ ist $- x^{- 1}$ eine Stammfunktion $\Rightarrow U (x) = - x^{- 1}$
  $v (x) = x$
  Zu $x$ ist $\frac{1}{2} \cdot x^{2}$ eine Stammfunktion $\Rightarrow V (x) = \frac{1}{2} x^{2}$
  Die Menge aller Stammfunktionen ist also:
  $F (x) = U (x) + V (x) = - x^{- 1} + \frac{1}{2} x^{2} + C$
  Gesucht ist die Stammfunktion $F$ von $f$ , deren Schaubild den Punkt $(1 | 0)$ enthält, d.h.
  $F (1) = 0 \Rightarrow 0 = - 1^{- 1} + \frac{1}{2} 1^{2} + C$
  $0 = - 1 + \frac{1}{2} + C \Rightarrow 0 = - \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$
  $F (x) = - x^{- 1} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2}$ oder $F (x) = - \frac{1}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. Zeigen Sie, dass $F (x) = \ln (1 + x^{2})$ eine Stammfunktion von $f (x) = 2 \cdot \frac{x}{1 + x^{2}}$ ist.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
  Berechne die Ableitung von $F (x) :$
  Beachte, dass es sich bei $F (x)$ um eine verkettete Funktion handelt.
  Zerlege die Funktion $F (x)$ , sodass die Kettenregel angewendet werden kann. Die äußere Funktion ist die natürliche Logarithmusfunktion $g (x) = \ln (x)$ und die innere Funktion ist die Funktion $h (x) = 1 + x^{2}$
  Es gilt also: $F (x) = g (h (x))$
  Berechne die einzelnen Ableitungen:
  $g^{'} (x) = \frac{1}{x}$ und $h^{'} (x) = 2 x$
  Setze in die Formel der Kettenregel ein: $F^{'} (x) = g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x)$
  $F^{'} (x) = \frac{1}{1 + x^{2}} \cdot 2 x = 2 \cdot \frac{x}{1 + x^{2}} = f (x)$
  Antwort: Damit ist gezeigt, dass $F (x) = \ln (1 + x^{2})$ eine Stammfunktion von $f (x) = 2 \cdot \frac{x}{1 + x^{2}}$ ist.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  $F (x)$ ist dann eine Stammfunktion, wenn $F^{'} (x) = f (x)$ ist.
4. Berechnen Sie das Integral $\int_{1}^{e} (\frac{3}{x} - 1) d x$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
  Eine Stammfunktion zu $\frac{3}{x}$ ist $3 \cdot \ln | x |$ und zu 1 gehört die Stammfunktion $x$ .
  $\Rightarrow \int_{1}^{e} (\frac{3}{x} - 1) d x = {[3 \cdot \ln | x | - x]}_{1}^{e}$
  $= (3 \cdot \underset{1}{\underset{⏟}{\ln | e |}} - e) - (3 \cdot \underset{0}{\underset{⏟}{\ln | 1 |}} - 1) = 3 - e + 1 = 4 - e$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
5. Berechnen Sie das Integral $\int_{0}^{\frac{π}{4}} (\sin (2 x) + 1) d x$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
  Eine Stammfunktion zu $\sin (2 x)$ ist $- \frac{1}{2} \cos (2 x)$ und zu 1 gehört die Stammfunktion $x$ .
  $\Rightarrow \int_{0}^{\frac{π}{4}} (\sin (2 x) + 1) d x = {[- \frac{1}{2} \cos (2 x) + x]}_{0}^{\frac{π}{4}}$
  $= (- \frac{1}{2} \cdot \underset{0}{\underset{⏟}{\cos (2 \cdot \frac{π}{4})}} + \frac{π}{4}) - (- \frac{1}{2} \cdot \underset{1}{\underset{⏟}{\cos (2 \cdot 0)}} + 0)$
  $= \frac{π}{4} + \frac{1}{2}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
6. Die Funktion f mit $f (x) = \frac{4}{\sqrt{x}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden $x = 4$ und der y-Achse eine nach oben offene Fläche ein (siehe Skizze). Untersuchen Sie, ob diese Fläche einen endlichen Flächeninhalt hat und bestimmen Sie diesen gegebenenfalls.
  
  Berechne die eingeschlossene Fläche in Abhängigkeit von $k$ .
  $A (k) = \int_{k}^{4} (\frac{4}{\sqrt{x}}) d x = {[8 \cdot \sqrt{x}]}_{k}^{4}$
  $= (8 \cdot \sqrt{4}) - (8 \cdot \sqrt{k}) = 16 - 8 \cdot \sqrt{k}$
  Berechne nun den Grenzwert von $A (k)$ für $k \to 0$
  $A = \lim_{k \to 0} (16 - 8 \cdot \sqrt{k}) = 16$
  Antwort: Die Fläche hat einen endlichen Flächeninhalt $A = 16 FE$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3
schule-bw.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY 4.0 mit Namensnennung Landesbildungsserver Baden-Württemberg
Gleichungslehre
1. Lösen Sie die Gleichung $x^{5} + 2 x^{3} - 3 x = 0.$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
  $0$ $=$ $x^{5} + 2 x^{3} - 3 x$
  ↓
  Klammere $x$ aus.
  $0$ $=$ $x (x^{4} + 2 x^{2} - 3)$
  ↓
  Wende den Satz vom Nullprodukt an.
  $x_{1}$ $=$ $0$
  $0$ $=$ $x^{4} + 2 x^{2} - 3$
  ↓
  Substituiere $x^{2} = z$ .
  $0$ $=$ $z^{2} + 2 z - 3$
  Du hast eine quadratische Gleichung erhalten, die mit der Mitternachtsformel oder mit der pq-Formel gelöst werden kann. Hier wird die pq-Formel verwendet.
  Lies aus der Gleichung die Werte für $p$ und $q$ ab: $p = 2$ und $q = - 3$
  $z_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
  ↓
  Setze $p = 2$ und $q = - 3$ ein.
  $=$ $- \frac{2}{2} \pm \sqrt{{(\frac{2}{2})}^{2} - (- 3)}$
  ↓
  Vereinfache.
  $=$ $- 1 \pm \sqrt{1 + 3}$
  $=$ $- 1 \pm 2$
  $z_{1}$ $=$ $- 3$
  $z_{2}$ $=$ $1$
  Rücksubstituieren
  Setze $z_{1}$ und $z_{2}$ wieder in die Substitutionsgleichung $x^{2} = z$ ein, so erhältst du die zwei Gleichungen: $(I) x^{2} = - 3$ und $(I I) x^{2} = 1$
  Die Gleichung $(I)$ hat keine reelle Lösung und Gleichung $(I I)$ hat die beiden Lösungen $x_{2} = - 1$ und $x_{3} = 1$ .
  Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge $𝕃 = {- 1; 0; 1}$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Lösen Sie die Gleichung $(2 x^{2} – 50) \cdot (e^{2 x} – 7) = 0.$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz vom Nullprodukt
  Wenn das Produkt zweier Faktoren $0$ ist, so ist mindestens einer dieser Faktoren gleich $0$ .
  Also ist entweder $(I) 2 x^{2} – 50 = 0$ oder $(I I) e^{2 x} – 7 = 0$
  Lösung für Gleichung $(I)$ :
  $2 x^{2} – 50$ $=$ $0$ $+ 50$
  ↓
  Löse nach $x^{2}$ auf.
  $2 x^{2}$ $=$ $50$ $: 2$
  $x^{2}$ $=$ $25$ $\sqrt{}$
  $x_{1}$ $=$ $- 5$
  $x_{2}$ $=$ $5$
  Lösung für Gleichung $(I I)$ :
  $e^{2 x} – 7$ $=$ $0$ $+ 7$
  ↓
  Löse nach $x$ auf.
  $e^{2 x}$ $=$ $7$ $\ln$
  $\ln (e^{2 x})$ $=$ $\ln (7)$
  $2 x$ $=$ $\ln (7)$ $: 2$
  $x_{3}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot \ln (7)$
  Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge $𝕃 = {- 5; \frac{1}{2} \ln (7); 5}$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. Lösen Sie die Gleichung $e^{x} + 3 - 10 \cdot e^{- x} = 0.$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung
  $0$ $=$ $e^{x} + 3 - 10 \cdot e^{- x}$ $\cdot e^{x}$
  ↓
  Multipliziere mit $e^{x}$ .
  $0$ $=$ $e^{2 x} + 3 \cdot e^{x} - 10$
  ↓
  Substituiere $e^{x} = z$ .
  $0$ $=$ $z^{2} + 3 z - 10$
  Du hast eine quadratische Gleichung erhalten, die mit der Mitternachtsformel oder mit der pq-Formel gelöst werden kann. Hier wird die pq-Formel verwendet.
  Lies aus der Gleichung die Werte für $p$ und $q$ ab: $p = 3$ und $q = - 10$
  $z_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
  ↓
  Setze $p = 3$ und $q = - 10$ ein.
  $=$ $- \frac{3}{2} \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)}$
  ↓
  Vereinfache.
  $=$ $- \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} + 10}$
  $=$ $- \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{49}{4}}$
  $=$ $- \frac{3}{2} \pm \frac{7}{2}$
  $z_{1}$ $=$ $- 5$
  $z_{2}$ $=$ $2$
  Rücksubstituieren
  Setze $z_{1}$ und $z_{2}$ wieder in die Substitutionsgleichung $e^{x} = z$ ein, so erhältst du die zwei Gleichungen: $(I) e^{x} = - 5$ und $(I I) e^{x} = 2$
  Die Gleichung $(I)$ hat keine Lösung ( $e^{x}$ ist für alle $x$ immer $> 0$ ) und Gleichung $(I I)$ hat die Lösung $x = \ln (2)$ .
  Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge $𝕃 = {\ln (2)}$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4. Lösen Sie die Gleichung $(e^{- x} - 3)^{2} = 4.$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
  $(e^{- x} - 3)^{2}$ $=$ $4$ $\sqrt{}$
  $e^{- x} - 3$ $=$ $- 2$
  $e^{- x} - 3$ $=$ $+ 2$
  Du hast zwei Gleichungen erhalten:
  $(I) e^{- x} - 3 = - 2$ und $(I I) e^{- x} - 3 = 2$
  Lösung für Gleichung $(I)$ :
  $e^{- x} - 3$ $=$ $- 2$ $+ 3$
  ↓
  Löse nach $x$ auf.
  $e^{- x}$ $=$ $1$ $\ln$
  $- x$ $=$ $\ln (1)$
  ↓
  $\ln (1) = 0$ .
  $x$ $=$ $0$
  Lösung für Gleichung $(I I)$ :
  $e^{- x} - 3$ $=$ $2$ $+ 3$
  ↓
  Löse nach $x$ auf.
  $e^{- x}$ $=$ $5$ $\ln$
  $- x$ $=$ $\ln (5)$ $\cdot (- 1)$
  $x$ $=$ $- \ln (5)$
  Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge $𝕃 = {- \ln (5); 0}$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
5. Lösen Sie für $0 \leq x \leq 2 π$ die Gleichung $(\sin (x))^{2} - 2 \sin (x) = 3.$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
  $(\sin (x))^{2} - 2 \sin (x)$ $=$ $3$ $- 3$
  $(\sin (x))^{2} - 2 \sin (x) - 3$ $=$ $0$
  ↓
  Setze $\sin (x)$ =z.
  $z^{2} - 2 z - 3$ $=$ $0$
  Du hast eine quadratische Gleichung erhalten, die mit der Mitternachtsformel oder mit der pq-Formel gelöst werden kann. Hier wird die pq-Formel verwendet.
  Lies aus der Gleichung die Werte für $p$ und $q$ ab: $p = - 2$ und $q = - 3$
  $z_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
  ↓
  Setze $p = - 2$ und $q = - 3$ ein.
  $=$ $- \frac{(- 2)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 2}{2})}^{2} - (- 3)}$
  ↓
  Vereinfache.
  $=$ $1 \pm \sqrt{1 + 3}$
  $=$ $1 \pm 2$
  $z_{1}$ $=$ $- 1$
  $z_{2}$ $=$ $3$
  Rücksubstituieren
  Setze $z_{1}$ und $z_{2}$ wieder in die Substitutionsgleichung $\sin (x) = z$ ein, so erhältst du die zwei Gleichungen: $(I) \sin (x) = - 1$ und $(I I) \sin (x) = 3$
  Gleichung $(I)$ hat die Lösung $x = \frac{3}{2} π$ .
  Die Gleichung $(I I)$ hat keine Lösung, da für alle $x$ gilt $- 1 \leq \sin (x) \leq 1$ ).
  Antwort: Die Gleichung hat im Bereich $0 \leq x \leq 2 π$ die Lösungsmenge $𝕃 = {\frac{3}{2} π}$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
6. Lösen Sie die Gleichung $\frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x} = 1.$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
  $\frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x}$ $=$ $1$ $\cdot x^{2}$
  ↓
  Multipliziere mit dem Hauptnenner $x^{2}$ .
  $2 + x$ $=$ $x^{2}$ $- 2 - x$
  ↓
  Bringe alle Terme auf eine Seite.
  $0$ $=$ $x^{2} - x - 2$
  Du hast eine quadratische Gleichung erhalten, die mit der Mitternachtsformel oder mit der pq-Formel gelöst werden kann. Hier wird die pq-Formel verwendet.
  Lies aus der Gleichung die Werte für $p$ und $q$ ab: $p = - 1$ und $q = - 2$
  $x_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
  ↓
  Setze $p = - 1$ und $q = - 2$ ein.
  $=$ $- \frac{(- 1)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 1}{2})}^{2} - (- 2)}$
  ↓
  Vereinfache.
  $=$ $\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 2}$
  $=$ $\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}}$
  $=$ $\frac{1}{2} \pm \frac{3}{2}$
  $x_{1}$ $=$ $- 1$
  $x_{2}$ $=$ $2$
  Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge $𝕃 = {- 1; 2}$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
7. Lösen Sie die Gleichung $1 - \frac{5}{e^{x}} + \frac{4}{e^{2 x}} = 0.$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
  $0$ $=$ $1 - \frac{5}{e^{x}} + \frac{4}{e^{2 x}}$ $\cdot e^{2 x}$
  ↓
  Multipliziere mit dem Hauptnenner $e^{2 x}$ .
  $0$ $=$ $e^{2 x} - 5 e^{x} + 4$
  ↓
  Substituiere $e^{x} = z$ .
  $0$ $=$ $z^{2} - 5 z + 4$
  Du hast eine quadratische Gleichung erhalten, die mit der Mitternachtsformel oder mit der pq-Formel gelöst werden kann. Hier wird die pq-Formel verwendet.
  Lies aus der Gleichung die Werte für $p$ und $q$ ab: $p = - 5$ und $q = 4$
  $z_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
  ↓
  Setze $p = - 5$ und $q = 4$ ein.
  $=$ $- \frac{(- 5)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 5}{2})}^{2} - 4}$
  ↓
  Vereinfache.
  $=$ $\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} - 4}$
  $=$ $\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}}$
  $=$ $\frac{5}{2} \pm \frac{3}{2}$
  $z_{1}$ $=$ $1$
  $x_{2}$ $=$ $4$
  Rücksubstituieren
  Setze $z_{1}$ und $z_{2}$ wieder in die Substitutionsgleichung $e^{x} = z$ ein, so erhältst du die zwei Gleichungen: $(I) e^{x} = 1$ und $(I I) e^{x} = 4$
  Gleichung $(I)$ hat die Lösung $x = 0$ .
  Die Gleichung $(I I)$ hat die Lösung $x = \ln (4)$ .
  Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge $𝕃 = {0; \ln (4)}$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
8. Lösen Sie für $0 \leq x \leq 2 π$ die Gleichung $\cos (x) · (e^{- 2 x + 1} + 1) = 0.$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz vom Nullprodukt
  Wenn das Produkt zweier Faktoren $0$ ist, so ist mindestens einer dieser Faktoren gleich $0$ .
  Also ist entweder $(I) \cos (x) = 0$ oder $(I I) e^{- 2 x + 1} + 1 = 0$
  Lösung für Gleichung $(I)$ :
  Im Bereich $0 \leq x \leq 2 π$ ist $\cos (\frac{π}{2}) = 0$ und $\cos (\frac{3 π}{2}) = 0$
  $\Rightarrow x_{1} = \frac{π}{2} und x_{2} = \frac{3 π}{2}$
  Lösung für Gleichung $(I I)$ :
  $e^{- 2 x + 1} + 1 = 0 \Rightarrow (I I^{'}) e^{- 2 x + 1} = - 1$
  Die Gleichung $(I I^{'})$ hat keine Lösung ( $e^{- 2 x + 1}$ ist für alle $x$ immer $> 0$ ).
  Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge $𝕃 = {\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2}}$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4
schule-bw.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY 4.0 mit Namensnennung Landesbildungsserver Baden-Württemberg
Elemente der Kurvendiskussion
1. Bestimmen Sie die Extrempunkte der Funktion $f$ mit $f (x) = e^{2 x} + e^{- x} .$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema
  Ableitungen
  Berechne die erste und zweite Ableitung der Funktion. Beachte die Kettenregel.
  1. Ableitung
  $f (x) = e^{2 x} + e^{- x}$
  Die Ableitung von $e^{2 x}$ ist $2 \cdot e^{2 x}$ und von $e^{- x}$ ist $(- 1) \cdot e^{- x}$ .
  $f^{'} (x) = 2 \cdot e^{2 x} - e^{- x}$
  2. Ableitung
  $f^{'} (x) = 2 \cdot e^{2 x} - e^{- x}$
  Die Ableitung von $2 \cdot e^{2 x}$ ist $2 \cdot 2 \cdot e^{2 x} = 4 \cdot e^{2 x}$ und von $- e^{- x}$ ist $e^{- x}$ .
  $f^{''} (x) = 4 \cdot e^{2 x} + e^{- x}$ ; $f^{''} (x)$ ist für alle $x > 0$ .
  Extrema
  Bedingung: $f^{'} (x) = 0$ und $f^{''} (x) \neq 0$
  Setze die 1. Ableitung gleich $0$ .
  $0$ $=$ $2 \cdot e^{2 x} - e^{- x}$ $\cdot e^{x}$
  ↓
  Beseitige den negativen Exponenten.
  $0$ $=$ $2 \cdot e^{3 x} - e^{0}$
  ↓
  Vereinfache.
  $0$ $=$ $2 \cdot e^{3 x} - 1$ $+ 1$
  ↓
  Löse nach $x$ auf.
  $1$ $=$ $2 \cdot e^{3 x}$ $: 2$
  $0,5$ $=$ $e^{3 x}$ $\ln$
  $\ln (0,5)$ $=$ $3 x$ $: 3$
  $\frac{1}{3} \cdot \ln (0,5)$ $=$ $x$
  Du hast eine Extremstelle gefunden: $x_{E} = \frac{1}{3} \cdot \ln (0,5)$
  Da die zweite Ableitung für alle $x > 0$ ist, handelt es sich bei dem Extremum um einen Tiefpunkt.
  $T P (\frac{1}{3} \cdot \ln (0,5) | f (\frac{1}{3} \cdot \ln (0,5)))$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Bestimmen Sie den Wendepunkt der Funktion $f$ mit $f (x) = (x - 1) \cdot e^{x} .$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte
  Ableitungen
  Berechne die erste und zweite Ableitung der Funktion.
  1. Ableitung
  $f (x) = (x - 1) \cdot e^{x}$
  Wende die Produktregel an:
  Schreibe $f (x)$ als Produkt der beiden Funktionen $u (x)$ und $v (x)$ .
  $f (x) = u (x) \cdot v (x) \Rightarrow u (x) = x - 1$ und $v (x) = e^{x}$
  $u^{'} (x) = 1$ und $v^{'} (x) = e^{x}$
  $f^{'} (x) = u^{'} (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v^{'} (x)$
  $f^{'} (x) = 1 \cdot e^{x} + (x - 1) \cdot e^{x} = e^{x} (1 + x - 1) = x \cdot e^{x}$
  2. Ableitung
  $f^{'} (x) = x \cdot e^{x}$
  Wende die Produktregel an:
  $u (x) = x$ und $v (x) = e^{x} \Rightarrow u^{'} (x) = 1$ und $v^{'} (x) = e^{x}$
  $f^{''} (x) = 1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x} = e^{x} \cdot (1 + x)$
  Wendepunkte
  Bedingung: $f^{''} (x) = 0$ und Vorzeichenwechsel von $f^{''} (x)$ bei $x_{W}$ .
  Setze die 2. Ableitung gleich $0$ .
  $0 = e^{x} \cdot (1 + x)$
  Wende den Satz vom Nullprodukt an.
  1. Faktor: $e^{x} \neq 0$ für alle $x$ .
  2. Faktor: $1 + x = 0 \Rightarrow x = - 1$
  Du hast eine mögliche Wendestelle gefunden: $x_{W} = - 1$
  Prüfe, ob $f^{''} (x)$ bei $x_{W}$ das Vorzeichen wechselt.
  $f^{''} (- 2) = e^{- 2} \cdot (1 - 2) = - e^{- 2} < 0$
  $f^{''} (0) = e^{0} \cdot (1 - 0) = 1 > 0$
  Es gibt also einen Vorzeichenwechsel von $f^{''} (x)$ von $-$ nach $+$ an der Stelle $x = - 1$ .
  Berechne $f (- 1)$ :
  $f (- 1) = (- 1 - 1) \cdot e^{- 1} = - 2 \cdot e^{- 1}$
  Antwort: Der Wendepunkt lautet: $WP (- 1 | - 2 \cdot e^{- 1})$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f (x) = 2 \cdot e^{- x}$
  a) Bestimmen Sie die Gleichung der Normalen von $f$ im Punkt $P (- 1 | 2 e)$ .
  b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Normalen mit der x-Achse.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normale
  Lösung zu a)
  Berechne dazu die 1. Ableitung der gegebenen Funktion. Beachte die Kettenregel.
  $f (x) = 2 \cdot e^{- x} \Rightarrow f^{'} (x) = - 2 \cdot e^{- x}$
  Berechne die Steigung im Punkt $P (- 1 | 2 e)$ :
  $f^{'} (- 1) = - 2 \cdot e^{1}$
  Für die Steigung der Normalen gilt:
  $m_{N} = - \frac{1}{f^{'} (- 1)} = - \frac{1}{- 2 \cdot e} = \frac{1}{2 e}$
  Normalengleichung: $y_{N} = m_{N} \cdot x + b = \frac{1}{2 e} \cdot x + b$
  Setze $P (- 1 | 2 e)$ in $y_{N}$ ein und berechne $b$ :
  $2 e = \frac{1}{2 e} \cdot (- 1) + b \Rightarrow b = 2 e + \frac{1}{2 e}$
  Antwort: Die Gleichung der Normalen im Punkt $P (- 1 | 2 e)$ lautet:
  $y_{N} = \frac{1}{2 e} \cdot x + 2 e + \frac{1}{2 e}$
  Lösung zu b)
  Schnittpunkt der Normalen mit der x-Achse:
  Setze $y_{N} = 0$ :
  $0$ $=$ $\frac{1}{2 e} \cdot x + 2 e + \frac{1}{2 e}$ $- 2 e - \frac{1}{2 e}$
  ↓
  Löse nach $x$ auf.
  $- 2 e - \frac{1}{2 e}$ $=$ $\frac{1}{2 e} \cdot x$ $\cdot 2 e$
  $(- 2 e - \frac{1}{2 e}) \cdot 2 e$ $=$ $x$
  ↓
  Löse die Klammer auf.
  $- 4 e^{2} - 1$ $=$ $x$
  Antwort: Der Schnittpunkt der Normalen mit der x-Achse lautet: $N (- 4 e^{2} - 1 | 0)$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4. Die Funktion $f$ hat das nebenstehende Schaubild und die Funktionsgleichung
  $f (x) = a e^{x} + b$ , $(a, b \in ℝ) .$
  a) Bestimmen Sie die Werte von $a$ und $b$ .
  b) Berechnen Sie, an welcher Stelle die Funktion $f$ die Steigung $- 1$ besitzt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
  Lösung zu a)
  Es gilt: $\lim_{x \to - \infty} f (x) = 3 \Rightarrow b = 3$
  Damit ist $f (x) = a e^{x} + 3$ .
  Aus der Abbildung entnimmst du:
  $f (0) = 1 \Rightarrow 1 = a e^{0} + 3 \Rightarrow a = - 2$
  Antwort: Die gesuchten Werte lauten $a = - 2$ und $b = 3$ .
  Lösung zu b)
  Die Funktion $f (x)$ ist demnach $f (x) = - 2 e^{x} + 3$ .
  Die 1. Ableitung von $f (x)$ ist dann: $f^{'} (x) = - 2 e^{x}$ .
  Gesucht ist $f^{'} (x) = - 1$
  $- 1$ $=$ $- 2 e^{x}$ $: (- 2)$
  ↓
  Löse nach $x$ auf.
  $\frac{- 1}{- 2}$ $=$ $e^{x}$
  ↓
  Vereinfache.
  $\frac{1}{2}$ $=$ $e^{x}$ $\ln$
  $\ln (\frac{1}{2})$ $=$ $x$
  Antwort: An der Stelle $x = \ln (\frac{1}{2}) = - \ln (2)$ hat die Funktion $f (x)$ die Steigung $- 1$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
5. Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit $f (x) = \frac{1}{1 - x} + 3$ und $g (x) = - \frac{1}{1 + x}$ .
  Geben Sie die waagrechte Asymptote der Funktion $f$ an.
  Bestimmen Sie die Stelle, an der $f$ und $g$ die gleiche Steigung haben.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptote
  Lösung zu a)
  Es gilt: $\lim_{x \to \infty} (\underset{\to 0}{\underset{⏟}{\frac{1}{1 - x}}} + 3) = 3 \Rightarrow y_{A} = 3$
  Antwort: Die waagrechte Asymptote der Funktion $f (x)$ lautet $y_{A} = 3$ .
  Lösung zu b)
  Berechne die Ableitungen von $f (x)$ und $g (x)$ :
  $f (x) = \frac{1}{1 - x} + 3 = (1 - x)^{- 1} + 3$
  Beachte die Kettenregel:
  $f^{'} (x) = - (1 - x)^{- 2} \cdot (- 1) = (1 - x)^{- 2} = \frac{1}{(1 - x)^{2}}$
  $g (x) = - \frac{1}{1 + x} = - (1 + x)^{- 1}$
  $g^{'} (x) = - (- 1) \cdot (1 + x)^{- 2} \cdot (1) = (1 + x)^{- 2} = \frac{1}{(1 + x)^{2}}$
  Setze $f^{'} (x) = g^{'} (x) :$
  $\frac{1}{(1 - x)^{2}}$ $=$ $\frac{1}{(1 + x)^{2}}$ $\cdot (1 + x)^{2}$
  ↓
  Beseitige die Nenner.
  $\frac{(1 + x)^{2}}{(1 - x)^{2}}$ $=$ $1$ $\cdot (1 - x)^{2}$
  $(1 + x)^{2}$ $=$ $(1 - x)^{2}$
  ↓
  Löse die Klammern auf.
  $1 + 2 x + x^{2}$ $=$ $1 - 2 x + x^{2}$ $- x^{2}$
  $1 + 2 x$ $=$ $1 - 2 x$ $+ 2 x - 1$
  $4 x$ $=$ $0$ $: 4$
  $x$ $=$ $0$
  Antwort: An der Stelle $x = 0$ haben $f (x)$ und $g (x)$ die gleiche Steigung.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
6. Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f (x) = e^{- x - 1} + 1$
  a) Skizzieren Sie das Schaubild von $f$ .
  b) Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $- 1$ und zeichnen Sie die Tangente ein.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
  Lösung zu a)
  Es gilt:
  $\lim_{x \to - \infty} (e^{- x - 1} + 1) = \infty$ und
  $\lim_{x \to + \infty} (e^{- x - 1} + 1) = 1$
  $f (1) = 1 + e^{- 2} \approx 1,1$
  $f (0) = 1 + e^{- 1} \approx 1,4$
  $f (- 1) = e^{- (- 1) - 1} + 1 = e^{0} + 1 = 2$
  (Punkt $A$ in der Abbildung)
  $f (- 2) = e + 1 \approx 3,7$
  Lösung zu b)
  Berechne die 1. Ableitung der gegebenen Funktion und beachte die Kettenregel:
  $f^{'} (x) = e^{- x - 1} \cdot (- 1) + 0 = - e^{- x - 1}$
  An der Stelle $x = - 1$ hat $f^{'} (x)$ den Wert $- e^{- (- 1) - 1} = - e^{1 - 1} = - e^{0} = - 1$
  Für die Tangente im Punkt $A (- 1 | 2)$ ergibt sich dann die Gleichung:
  $y_{T} = m \cdot x + b = f^{'} (- 1) \cdot x + b = - 1 \cdot x + b$
  Setze $A$ in $y_{T}$ ein: $2 = - 1 \cdot (- 1) + b = 1 + b \Rightarrow b = 1$
  Antwort: Die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f (x)$ an der Stelle $x = - 1$ lautet $y_{T} = - x + 1$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
7. Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f (x) = 2 \cdot \sqrt{2 x + 1}$ .
  a) Berechnen Sie die Steigung von $f$ an der Stelle $1,5$ .
  b) Berechnen Sie die Stelle, an der die Funktion $f$ die Steigung $2$ hat.
  c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an der Stelle $0$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableiten von Potenzfunktionen
  Lösung zu a)
  Berechne die 1. Ableitung der gegebenen Funktion und beachte die Kettenregel:
  $f (x) = 2 \cdot \sqrt{2 x + 1} = 2 \cdot (2 x + 1)^{\frac{1}{2}}$
  $f^{'} (x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (2 x + 1)^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 = 2 \cdot (2 x + 1)^{- \frac{1}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2 x + 1}}$
  $f^{'} (1,5) = \frac{2}{\sqrt{2 \cdot 1,5 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{4}} = \frac{2}{2} = 1$
  Antwort: Die Steigung von $f (x)$ an der Stelle $x = 1,5$ beträgt $1$ .
  Lösung zu b)
  Setze $f^{'} (x) = 2$ :
  $2$ $=$ $\frac{2}{\sqrt{2 x + 1}}$ $\cdot \sqrt{2 x + 1}$
  ↓
  Beseitige den Nenner.
  $2 \cdot \sqrt{2 x + 1}$ $=$ $2$ $: 2$
  ↓
  Löse nach $x$ auf.
  $\sqrt{2 x + 1}$ $=$ $1$ $()^{2}$
  $2 x + 1$ $=$ $1$ $- 1$
  $2 x$ $=$ $0$ $: 2$
  $x$ $=$ $0$
  Antwort: An der Stelle $x = 0$ hat die Funktion $f (x)$ die Steigung $2$ .
  Lösung zu c)
  Aus b) folgt $f^{'} (0) = 2$ und $f (0) = 2 \cdot \sqrt{2 \cdot 0 + 1} = 2$ $\Rightarrow A (0 | 2)$
  Für die Tangente im Punkt $A (0 | 2)$ ergibt sich dann die Gleichung:
  $y_{T} = m \cdot x + b = f^{'} (0) \cdot x + b = 2 \cdot x + b$
  Setze $A$ in $y_{T}$ ein: $2 = 2 \cdot 0 + b \Rightarrow b = 2$
  Antwort: Die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f (x)$ an der Stelle $x = 0$ lautet $y_{T} = 2 x + 2$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
8. Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f (x) = - \sin (x) + 1.$
  a) Skizzieren Sie das Schaubild von $f$ für $0 \leq x \leq 2 π$ .
  b) Bestimmen Sie die Steigung von $f$ an der Stelle $x = π$ .
  c) Bestimmen Sie $c$ so, dass der Ursprung auf dem Schaubild von $g (x) = f (x + c)$ liegt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrische Funktionen
  Lösung zu a)
  Die Funktion $\sin (x)$ wird an der x-Achse gespiegelt und um $1$ in positive
  y-Achsenrichtung verschoben.
  $f (x) = - \sin (x) + 1$
  Lösung zu b)
  Berechne die 1. Ableitung der gegebenen Funktion:
  $f^{'} (x) = - \cos (x)$
  $f^{'} (π) = - \cos (π) = - (- 1) = 1$
  Antwort: Die Steigung von $f (x)$ an der Stelle $x = π$ beträgt $1$ .
  Lösung zu c)
  Aus der Abbildung zu a) kannst du entnehmen, dass die Funktion $f (x)$ um $\frac{π}{2}$ nach links verschoben werden muss.
  $g (x) = f (x + c) = - \sin (x + \frac{π}{2}) + 1 \Rightarrow c = \frac{π}{2}$
  Antwort: Für $c = \frac{π}{2}$ liegt der Ursprung auf dem Schaubild von $g (x) = f (x + c)$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
5
schule-bw.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY 4.0 mit Namensnennung Landesbildungsserver Baden-Württemberg
Funktionskompetenz
1. Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitung $f^{'}$ einer Funktion $f$ . Begründen Sie, ob folgende Aussagen über die Funktion $f$ wahr, falsch oder unentscheidbar sind.
  a) An der Stelle $0$ hat das Schaubild von $f$ einen Hochpunkt.
  b) Für $0 \leq x \leq 2$ ist $f (x) \leq 0$ .
  c) Das Schaubild von $f$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung für $- 1 < x < 1$ .
  d) An der Stelle $2$ hat das Schaubild von $f$ einen Wendepunkt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
  Lösung zu a)
  An der Stelle $x = 0$ ist $f^{'} (x) = 0$ und $f^{'} (x)$ hat hier einen Vorzeichenwechsel von $+$ nach $-$ . Das Schaubild von $f (x)$ hat somit bei $x = 0$ einen Hochpunkt.
  Die Aussage ist wahr.
  Lösung zu b)
  Der Verlauf von $f^{'} (x)$ lässt keine eindeutigen Rückschlüsse auf den Verlauf von $f (x)$ zu.
  Die Aussage ist unentscheidbar.
  Lösung zu c)
  Für $- 1 < x < 1$ entnimmst du dem Schaubild, dass hier $f^{'} (x)$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Demnach muss Schaubild von $f (x)$ achsensymmetrisch zur y-Achse sein.
  Die Aussage ist falsch.
  Lösung zu d)
  An der Stelle $x = 2$ ist $f^{'} (x)$ maximal, d.h. $f^{''} (x) = 0$ . Außerdem ist $f^{'} (2) = 0$ und $f^{'} (x)$ hat hier keinen Vorzeichenwechsel, sodass hier ein Terrassenpunkt oder Sattelpunkt vorliegt.
  Die Aussage ist wahr.
  (Anmerkung: Ein Terrassenpunkt oder Sattelpunkt ist ein Wendepunkt, in dem die Steigung einer Funktion 0 wird.)
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitung $f^{'}$ einer Funktion $f$ .
  a) Begründen Sie, welche Aussagen man in dem dargestellten Bereich hinsichtlich der Anzahl der
  - Extremstellen,
  - Wendestellen
  und Nullstellen
  von $f$ man treffen kann.
  b) Begründen Sie, dass $\int_{- 2}^{3} f^{'} (x) d x < 0$ gilt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
  Lösung zu a)
  Anzahl der Extremstellen: Der Abbildung entnimmst du, dass $f^{'} (x)$ zwei Nullstellen jeweils mit Vorzeichenwechsel hat. Demnach hat $f (x)$ zwei Extrema.
  Anzahl der Wendestellen: Der Abbildung entnimmst du, dass $f^{'} (x)$ zwei Extrema hat. Hier ist jeweils $f^{''} (x) = 0$ . Demnach hat $f (x)$ zwei Wendestellen.
  Anzahl der Nullstellen: Sowohl die Ableitung von $f (x)$ als auch die Ableitung von $f (x) + c$ (Graph von $f (x)$ parallel zur y-Achse verschoben) ergeben die gleiche Ableitungsfunktion $f^{'} (x)$ . Somit ist keine genaue Aussage über die Anzahl der Nullstellen von $f (x)$ möglich.
  Allerdings weißt du, dass zwischen zwei Nullstellen von $f$ immer ein Extremum liegen muss. Daher kann $f$ höchstens drei Nullstellen haben.
  Lösung zu b)
  Das Integral $\int_{- 2}^{3} f^{'} (x) d x$ kann in zwei Teile zerlegt werden: $\int_{- 2}^{3} f^{'} (x) d x = \int_{- 2}^{1} f^{'} (x) d x + \int_{1}^{3} f^{'} (x) d x$
  Dabei gilt: $| \int_{- 2}^{1} f^{'} (x) d x | > \int_{1}^{3} f^{'} (x) d x$ . Der Wert des Integrals $\int_{- 2}^{1} f^{'} (x) d x$ ist negativ, da die Fläche unter der $x$ -Achse liegt. Insgesamt ist dann die Flächenbilanz negativ, sodass die angegebene Ungleichung stimmt.
  Du kannst auch z.B. durch das Zählen von ganzen Kästchen feststellen, dass schon $\int_{- 2}^{- 1 / 2} f (x) d x < - 3$ und $\int_{1}^{3} f (x) d x < 3$ ist.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitung $f^{'}$ einer Funktion $f$ .
  Begründen Sie, ob folgende Aussagen über die Funktion $f$ wahr, falsch oder unentscheidbar sind.
  a) Bei $x = 0$ besitzt das Schaubild von $f$ einen Extrempunkt.
  b) Bei $x = - 2$ besitzt das Schaubild von f eine waagrechte Tangente.
  c) Das Schaubild der Funktion $f$ besitzt keine Wendepunkte.
  d) $f (x) > 0$ für $x > - 2$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
  Lösung zu a)
  An der Stelle $x = 0$ ist $f^{'} (0) = 2$ , d.h. die Steigung ist hier positiv. Bei einem Extrempunkt müsste die Steigung aber $0$ sein.
  Die Aussage ist falsch.
  Lösung zu b)
  $f^{'} (- 2) = 0$ und $f^{'} (x)$ hat hier einen Vorzeichenwechsel, sodass hier eine Extremstelle mit waagrechter Tangente vorliegt.
  Die Aussage ist wahr.
  Lösung zu c)
  An der Stelle $x = 0$ ist $f^{''} (0) = 0$ , d.h. der Graph hat hier einen Wendepunkt.
  Die Aussage ist falsch.
  Lösung zu d)
  Sowohl die Ableitung von $f (x)$ als auch die Ableitung von $f (x) + c$ (Graph von $f (x)$ parallel zur y-Achse verschoben) ergeben die gleiche Ableitungsfunktion $f^{'} (x)$ . Aus dem Verlauf von $f^{'} (x)$ kann nicht auf den Verlauf von $f (x)$ rückgeschlossen werden.
  Die Aussage unentscheidbar.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4. Gegeben sind die Schaubilder zweier Funktionen $f$ und $g .$ Eine der beiden Funktionen ist die Ableitungsfunktion der anderen Funktion.
  a) Begründen Sie, dass die Funktion $f$ die Ableitung der Funktion $g$ ist.
  b) Die Funktion $g$ hat die Funktionsgleichung $g (x) = e^{a x} + b$ . Bestimmen Sie $a$ und $b .$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
  Lösung zu a)
  Für $x > 0$ ist die Steigung der Funktion $f (x)$ kleiner als $1$ . Da aber $g (x)$ für $x >$ 0 immer $> 2$ ist, kann $g (x)$ nicht die Ableitungsfunktion von $f (x)$ sein. Demnach ist $g^{'} (x) = f (x)$ .
  Antwort: Die Funktion $f (x)$ ist die Ableitung der Funktion $g (x)$ .
  Lösung zu b)
  Es gilt: $g (0) = 3$ $\Rightarrow 3 = e^{0} + b \Rightarrow 3 = 1 + b \Rightarrow b = 2$
  $y_{A} = 2$ ist auch die waagrechte Asymptote der Funktion $g (x)$ .
  Somit ist $g (x) = e^{a x} + 2 \Rightarrow g^{'} (x) = a \cdot e^{a x} = f (x)$ wie in Aufgabe a) nachgewiesen.
  $f (0) = - \frac{1}{2} \Rightarrow g^{'} (0) = - \frac{1}{2} = a \cdot e^{0} = a$
  Antwort: $a = - \frac{1}{2}$ und $b = 2$ . Damit folgt für die Funktion $g (x) = e^{- \frac{1}{2} \cdot x} + 2$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
5. Die 4 Abbildungen zeigen die Schaubilder von Funktionen. Eines dieser Schaubilder gehört zu der Funktion $f$ mit $f (x) = \frac{a}{1 + x^{2}} - 1$ .
  a) Begründen Sie, dass Abbildung 2 zur Funktion $f$ gehört. Bestimmen Sie den Wert von a.
  b) Von den anderen drei Abbildungen gehört eine zur Ableitungsfunktion $f^{'}$ und eine zur Integralfunktion $I$ mit $I (x) = \int_{2}^{x} f (t) d t$ . Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehörigen Abbildungen zu und begründen Sie jeweils Ihre Zuordnung.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
  Lösung zu a)
  Die gegebene Funktion $f (x) = \frac{a}{1 + x^{2}} - 1$ ist wegen $f (- x) = f (x)$ achsensymmetrisch zur y-Achse. Die Abbildung $2$ ist die einzige Funktion, die achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Außerdem hat $f (x)$ eine waagrechte Asymptote $y_{A} = - 1$ und nur der Graph in Abbildung $2$ hat auch eine waagrechte Asymptote $y_{A} = - 1$ .
  Es gilt: $f (0) = 2 \Rightarrow 2 = \frac{a}{1 + 0} - 1 \Rightarrow a = 3$
  Antwort: Abbildung $2$ gehört zur Funktion $f (x)$ und $a$ hat den Wert $3$ .
  Lösung zu b)
  Der Graph der Funktion $f (x) = \frac{3}{1 + x^{2}} - 1$ hat bei $x = 0$ einen Hochpunkt $\Rightarrow f^{'} (0) = 0$ mit Vorzeichenwechsel von $+$ nach $-$ . Nur Abbildung $3$ erfüllt diese beiden Bedingungen.
  Die Integralfunktion $I (x) = \int_{2}^{x} f (t) d t$ hat für $x = 2$ eine Nullstelle. Nur die Abbildung $4$ hat bei $x = 2$ eine Nullstelle.
  Antwort: Abbildung $3$ gehört zur Ableitungsfunktion $f^{'} (x)$ und Abbildung $4$ gehört zur Integralfunktion $I (x)$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
6
schule-bw.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY 4.0 mit Namensnennung Landesbildungsserver Baden-Württemberg
Lineare Gleichungssysteme, Inzidenzgeometrie
1. Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Linearen Gleichungssystems.
  $x_{1} + x_{2} + 7 x_{3} = 2$
  $2 x_{1} - x_{2} - 3 x_{3} = - 5$
  $4 x_{1} - x_{2} + 4 x_{3} = - 7.$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Gleichungssystem
  $\begin{array}{rccccccc} I & x_{1} & + & x_{2} & + & 7 x_{3} & = & 2 \\ II & 2 x_{1} & - & x_{2} & - & 3 x_{3} & = & - 5 \\ III & 4 x_{1} & - & x_{2} & + & 4 x_{3} & = & - 7 \end{array} $
  Zunächst solltest du das Gleichungssystem zu einer erweiterten Koeffizientenmatrix umschreiben:
  $(\begin{array}{rrrc} 1 & 1 & 7 & 2 \\ 2 & - 1 & - 3 & - 5 \\ 4 & - 1 & 4 & - 7 \end{array})$
  Als ersten Schritt des Gaußverfahrens verwendest du jetzt das Additionsverfahren, um die beiden Einträge, die jetzt $orange$
  markiert sind auf null zu bringen.
  $\begin{array}{c} (\begin{array}{rrrc} 1 & 1 & 7 & 2 \\ 2 & - 1 & - 3 & - 5 \\ 4 & - 1 & 4 & - 7 \end{array}) & \underset{\to}{II - 2 \cdot I} & (\begin{array}{rrrc} 1 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & - 3 & - 17 & - 9 \\ 4 & - 1 & 4 & - 7 \end{array}) \\ (\begin{array}{rrrc} 1 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & - 3 & - 17 & - 9 \\ 4 & - 1 & 4 & - 7 \end{array}) & \underset{\to}{III - 4 \cdot I} & (\begin{array}{rrrc} 1 & 1 & - 7 & 2 \\ 0 & - 3 & - 17 & - 9 \\ 0 & - 5 & - 24 & - 15 \end{array}) \end{array}$
  Dazu ziehst du von der zweiten Zeile das Doppelte der ersten Zeile ab $(II - 2 \cdot I)$ .
  Anschließend ziehst du von der dritten Zeile das Vierfache der ersten Zeile ab $(III - 4 \cdot I)$ .
  Jetzt gibt es in deiner erweiterten Koeffizientenmatrix nur noch einen Eintrag unter der Diagonalen, der nicht null ist, in der Matrix ist er $grün$ markiert.
  Damit auch in diesem Eintrag der Matrix eine null steht, addierst du nun zum minus Dreifachen der dritten Zeile das Fünffache der zweiten Zeile $(- 3 \cdot III + 5 \cdot II)$ .
  $\begin{array}{c} (\begin{array}{rrrc} 1 & 1 & - 7 & 2 \\ 0 & - 3 & - 17 & - 9 \\ 0 & - 5 & - 24 & - 15 \end{array}) & \underset{\to}{- 3 \cdot III + 5 \cdot II} & (\begin{array}{rrrc} 1 & 1 & - 7 & 2 \\ 0 & - 3 & - 17 & - 9 \\ 0 & 0 & - 13 & 0 \end{array}) \end{array}$
  Die letzte Zeile lautet nun: $- 13 x_{3} = 0 \Rightarrow x_{3} = 0$
  Aus Zeile $2$ folgt dann mit $x_{3} = 0$ : $- 3 x_{2} - 17 \cdot 0 = - 9 \Rightarrow x_{2} = 3$
  Aus Zeile $1$ folgt dann mit $x_{3} = 0$ und $x_{2} = 3$ : $x_{1} + 3 - 7 \cdot 0 = 2 \Rightarrow x_{1} = - 1$
  Antwort: Das lineare Gleichungssystem hat die Lösungsmenge $𝕃 = {(- 1 | 3 | 0)}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Stellen Sie den Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} 14 \\ - 5 \\ 7 \end{array})$ als Linearkombination der drei Vektoren
  $\vec{a} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 3 \end{array})$ , $\vec{b} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 7 \end{array})$ und $\vec{c} = (\begin{array}{c} 5 \\ - 2 \\ 2 \end{array})$ dar.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearkombination
  Du machst den Ansatz: $\vec{v} = r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} + t \cdot \vec{c}$
  $(\begin{array}{c} 14 \\ - 5 \\ 7 \end{array}) = r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 7 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 5 \\ - 2 \\ 2 \end{array})$
  Um das Gaußverfahren anzuwenden, sollte in der erweiterten Koeffizientenmatrix an der ersten Stelle keine $0$ stehen. Deshalb werden die Spalten $1$ und $2$ vertauscht.
  $(\begin{array}{rrrc} - 1 & 0 & 5 & 14 \\ 3 & 1 & - 2 & - 5 \\ 7 & 3 & 2 & 7 \end{array})$
  Als ersten Schritt des Gaußverfahrens verwendest du jetzt das Additionsverfahren, um die beiden Einträge, die jetzt $orange$
  markiert sind auf null zu bringen.
  $\begin{array}{c} (\begin{array}{rrrc} - 1 & 0 & 5 & 14 \\ 3 & 1 & - 2 & - 5 \\ 7 & 3 & 2 & 7 \end{array}) & \underset{\to}{II + 3 \cdot I} & (\begin{array}{rrrc} - 1 & 0 & 5 & 14 \\ 0 & 1 & 13 & 37 \\ 7 & 3 & 2 & 7 \end{array}) \\ (\begin{array}{rrrc} - 1 & 0 & 5 & 14 \\ 0 & 1 & 13 & 37 \\ 7 & 3 & 2 & 7 \end{array}) & \underset{\to}{III + 7 \cdot I} & (\begin{array}{rrrc} - 1 & 0 & 5 & 14 \\ 0 & 1 & 13 & 37 \\ 0 & 3 & 37 & 105 \end{array}) \end{array}$
  Dazu addierst du zur zweiten Zeile das Dreifache der ersten Zeile $(II + 3 \cdot I)$ .
  Anschließend addierst du zur dritten Zeile das Siebenfache der ersten Zeile $(III + 7 \cdot I)$ .
  Jetzt gibt es in deiner erweiterten Koeffizientenmatrix nur noch einen Eintrag unter der Diagonalen, der nicht null ist, in der Matrix ist er $grün$ markiert.
  Damit auch in diesem Eintrag der Matrix eine null steht, subtrahierst du das Dreifache der zweiten Zeile von der dritten Zeile $(III - 3 \cdot II)$ .
  
  $\begin{array}{c} (\begin{array}{rrrc} - 1 & 0 & 5 & 14 \\ 0 & 1 & 13 & 37 \\ 0 & 3 & 37 & 105 \end{array}) & \underset{\to}{III - 3 \cdot II} & (\begin{array}{rrrc} - 1 & 0 & 5 & 14 \\ 0 & 1 & 13 & 37 \\ 0 & 0 & - 2 & - 6 \end{array}) \end{array}$
  Die letzte Zeile lautet nun: $- 2 \cdot t = - 6 \Rightarrow t = 3$
  Aus Zeile $2$ folgt dann mit $t = 3$ : $r + 13 \cdot 3 = 37 \Rightarrow r = - 2$
  Aus Zeile $1$ folgt dann mit $t = 3$ und $r = - 2$ : $- s + 0 \cdot (- 2) + 5 \cdot 3 = 14 \Rightarrow s = 1$
  Antwort: Der Vektor $\vec{v}$ kann durch die folgende Linearkombination dargestellt werden:
  $(\begin{array}{c} 14 \\ - 5 \\ 7 \end{array}) = (- 2) \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 7 \end{array}) + 3 \cdot (\begin{array}{c} 5 \\ - 2 \\ 2 \end{array})$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. Gegeben sind die Ebenen $E_{1} : (\begin{array}{c} \vec{x} - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array}) \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 2 \end{array}) = 0$ und $E_{2} : x_{3} = 2.$
  a) Stellen Sie die Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar.
  b) Zeichnen Sie die Schnittgerade $g$ von $E_{1}$ und $E_{2}$ ein und bestimmen Sie die Gleichung der Schnittgeraden.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittgerade
  Lösung zu a)
  Die rote Ebene ist die Ebene $E_{1}$ in Koordinatenform: $2 x_{1} + 3 x_{2} + 2 x_{3} = 12$
  In Achsenabschnittsform lautet $E_{1}$ : $\frac{x_{1}}{6} + \frac{x_{2}}{4} + \frac{x_{3}}{6} = 1$
  So können die Achsenschnittpunkte (Spurpunkte) abgelesen werden: $S_{x_{1}} (6 | 0 | 0)$ ; $S_{x_{2}} (0 | 4 | 0)$ ; $S_{x_{3}} (0 | 0 | 6)$
  Die grüne Ebene ist die Ebene $E_{2}$ : $x_{3} = 2$ . Sie hat den Achsenschnittpunkt $S_{x_{3}} (0 | 0 | 2)$ und sie liegt parallel zur $x_{1}$ - $x_{2}$ -Ebene.
  Lösung zu b)
  Die blau eingezeichnete Gerade in der Abbildung ist die Schnittgerade der beiden Ebenen.
  Bestimmung der Geradengleichung
  Du suchst zwei Punkte, die in beiden Ebenen liegen.
  Für alle Werte von $x_{1}$ liegt der Punkt $A (x_{1} | 0 | 2)$ in der Ebene $E_{2}$ ( $A$ erfüllt die Ebenengleichung).
  Für alle Werte von $x_{2}$ liegt der Punkt $B (0 | x_{2} | 2)$ in der Ebene $E_{2}$ ( $B$ erfüllt die Ebenengleichung).
  Die Punkte $A$ und $B$ sollen gemeinsame Punkte der beiden Ebenen sein. Deshalb müssen beide Punkte auch die Ebenengleichung $E_{1}$ erfüllen.
  $A \in E_{1} \Rightarrow 2 \cdot x_{1} + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 2 = 12 \Rightarrow x_{1} = 4 \Rightarrow A (4 | 0 | 2)$
  $B \in E_{1} \Rightarrow 2 \cdot 0 + 3 \cdot x_{2} + 2 \cdot 2 = 12 \Rightarrow x_{2} = \frac{8}{3} \Rightarrow B (0 | \frac{8}{3} | 2)$
  Die Schnittgerade ergibt sich dann zu: $g : \vec{x} = \vec{O A} + r \cdot \vec{A B}$
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array}) + r \cdot ((\begin{array}{c} 0 \\ \frac{8}{3} \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array})) = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ \frac{8}{3} \\ 0 \end{array})$
  Der Richtungsvektor kann noch vereinfacht werden: $(\begin{array}{c} - 4 \\ \frac{8}{3} \\ 0 \end{array}) \underset{\to}{\cdot 3} (\begin{array}{c} - 12 \\ 8 \\ 0 \end{array}) \underset{\to}{: 4} (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ 0 \end{array})$
  Antwort: Die Gleichung der Schnittgeraden lautet: $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ 0 \end{array})$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4. Gegeben sind die Ebenen $E : x_{1} + 2 x_{2} = 4$ und $F : 2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} = 8.$
  a) Stellen Sie die Ebenen $E$ und $F$ in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar.
  b) Zeichnen Sie die Schnittgerade von $E$ und $F$ ein und bestimmen Sie die Gleichung der Schnittgeraden.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittgerade
  Lösung zu a)
  Die grüne Ebene ist die Ebene $E$ in Koordinatenform: $x_{1} + 2 x_{2} = 4$
  In Achsenabschnittsform lautet $E$ : $\frac{x_{1}}{4} + \frac{x_{2}}{2} = 1$
  So können die Achsenschnittpunkte (Spurpunkte) abgelesen werden: $S_{x_{1}} (4 | 0 | 0)$ ; $S_{x_{2}} (0 | 2 | 0)$
  Es gibt keinen Schnittpunkt mit der $x_{3}$ -Achse, d.h. die Ebene $E$ verläuft parallel zur $x_{3}$ -Achse
  Die rote Ebene ist die Ebene $F$ in Koordinatenform: $2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} = 8$
  In Achsenabschnittsform lautet $F$ : $\frac{x_{1}}{4} + \frac{x_{2}}{8} + \frac{x_{3}}{4} = 1$
  So können die Achsenschnittpunkte abgelesen werden: $S_{x_{1}} (4 | 0 | 0)$ ; $S_{x_{2}} (0 | 8 | 0)$ ; $S_{x_{3}} (0 | 0 | 4)$
  Lösung zu b)
  Die blau eingezeichnete Gerade in der Abbildung ist die Schnittgerade der beiden Ebenen.
  Bestimmung der Geradengleichung
  Du suchst zwei Punkte, die in beiden Ebenen liegen.
  Der Punkt $A (4 | 0 | 0) = S_{x_{1}}$ ist ein gemeinsamer Punkt der beiden Ebenen $E$ und $F$ .
  Für alle Werte von $x_{3}$ liegt der Punkt $B (0 | 2 | x_{3})$ in der Ebene $E$ ( $B$ erfüllt die Ebenengleichung).
  Damit $B$ auch in der Ebene $F$ liegt, muss gelten:
  $B \in F \Rightarrow 2 \cdot 0 + 2 + 2 \cdot x_{3} = 8 \Rightarrow x_{3} = 3 \Rightarrow B (0 | 2 | 3)$
  Die Schnittgerade ergibt sich dann zu $g : \vec{x} = \vec{O A} + r \cdot \vec{A B}$
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot ((\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array})) = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ 2 \\ 3 \end{array})$
  Antwort: Die Gleichung der Schnittgeraden lautet $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ 2 \\ 3 \end{array})$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
5. a) Geben Sie die Gleichung der Ebene $E$ an, welche die Spurpunkte $(0 | 0 | 4)$ und $(0 | - 3 | 0)$ und keinen Schnittpunkt mit der $x_{1}$ -Achse hat.
  b) Geben Sie die Gleichung der Ebene $F$ an, welche den Punkt $A (3 | - 3 | - 1$ ) enthält und parallel zur Ebene $E : x_{1} = 2$ ist.
  c) Geben Sie die Gleichung der Geraden $g$ an, welche durch den Punkt $P (5 | 1 | - 4)$ geht und senkrecht zur Ebene
  $E : (\begin{array}{c} \vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) = 0$ steht.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Achsenabschnittsform
  Lösung zu a)
  Die Ebene $E$ hat keinen Schnittpunkt mit der $x_{1}$ -Achse, d.h. die Ebenengleichung $E$ hat unter Berücksichtigung der gegebenen Spurpunkte die Achsenabschnittsform:
  $E : \frac{x_{2}}{- 3} + \frac{x_{3}}{4} = 1 \Rightarrow - 4 x_{2} + 3 x_{3} = 12$
  Antwort: Die Gleichung der Ebene $E$ lautet: $- 4 x_{2} + 3 x_{3} = 12$
  Lösung zu b)
  $E : x_{1} = 2$
  Die Ebene $E$ hat den Normalenvektor ${\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ .
  Da die Ebene $F$ parallel zu $E$ sein soll, hat sie den gleichen Normalenvektor wie $E$ und enthält den Punkt A.
  $F : (\vec{x} - \vec{O A}) \circ {\vec{n}}_{E} = 0 \Rightarrow (\vec{x} - (\begin{array}{c} 3 \\ - 3 \\ - 1 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = 0 \Rightarrow x_{1} - 3 = 0$
  Antwort: Die Gleichung der Ebene $F$ lautet: $x_{1} = 3$ .
  Lösung zu c)
  Der Normalenvektor $\vec{n} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array})$ der gegebenen Ebene $E$ ist der Richtungsvektor der Geraden $g$ , da die Gerade senkrecht zu $E$ steht.
  Als Aufpunkt der Geraden $g$ wird der Punkt $P$ genommen.
  Antwort: Die Gleichung der Geraden $g$ lautet: $\vec{x} = (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array})$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
6. Gegeben sind die Geraden $g$ und $h$ mit $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 5 \end{array})$ und
  $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 9 \\ 3 \\ - 15 \end{array})$
  a) Zeigen Sie, dass $g$ und $h$ parallel, aber nicht identisch sind.
  b) Geben Sie eine Gleichung der Ebene an, in der die Geraden $g$ und $h$ liegen.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenseitige Lage von Geraden
  Lösung zu a)
  Wenn die beiden Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind, dann gilt $g ∥ h$ :
  ${\vec{u}}_{g} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 5 \end{array})$ und ${\vec{u}}_{h} = (\begin{array}{c} - 9 \\ 3 \\ - 15 \end{array})$ $\Rightarrow {\vec{u}}_{h} = (- 3) \cdot {\vec{u}}_{g} \Rightarrow g ∥ h$
  Der Aufpunkt der Geraden $g$ liegt nicht auf der Geraden $h$ , denn:
  $(\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 9 \\ 3 \\ - 15 \end{array}) \Rightarrow (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) \neq r \cdot (\begin{array}{c} - 9 \\ 3 \\ - 15 \end{array})$
  Die letzte Gleichung ist für kein $r$ erfüllbar.
  Antwort: Die beiden Geraden sind parallel, aber nicht identisch.
  Lösung zu b)
  Die gesuchte Ebene hat als Aufpunkt den Aufpunkt der Geraden $g$ und als einen Richtungsvektor den Richtungsvektor der Geraden $g$ . Einen zweiten Richtungsvektor der Ebene $E$ erhältst du als Differenz der beiden Aufpunkte der Geraden $g$ und $h$ .
  $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 5 \end{array}) + s \cdot ((\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \end{array})) = (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 5 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$
  Antwort: Die Gleichung der Ebene $E$ lautet: $\vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 5 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
7
schule-bw.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY 4.0 mit Namensnennung Landesbildungsserver Baden-Württemberg
Metrische Geometrie
1. Gegeben sind die beiden Ebenen $E$ und $F$ mit
  $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 2 \end{array})$ ; $s, t \in ℝ$ und
  $F : x_{1} – x_{2} + x_{3} - 1 = 0.$
  a) Weisen Sie nach, dass $E$ und $F$ parallel zueinander liegen.
  b) Bestimmen Sie den Abstand von $E$ und $F$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hessesche Normalenform
  Lösung zu a)
  Die Ebenen sind parallel zueinander, wenn die Normalenvektoren parallel zueinander sind.
  $\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{array}{c} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{array}) \Rightarrow {\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$
  Aus der Koordinatenform von der Ebene $F$ liest du den Normalenvektor ab:
  ${\vec{n}}_{F} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) \Rightarrow {\vec{n}}_{E} = {\vec{n}}_{F}$
  Die Ebenen sind parallel zueinander.
  Lösung zu b)
  Erstelle die Hessesche Normalenform der Ebene $F$ :
  $F_{H N F} : \frac{a x_{1} + b x_{2} + c x_{3} - d}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = 0 \Rightarrow \frac{x_{1} - x_{2} + x_{3} - 1}{\sqrt{3}} = 0$
  Setze den Aufpunkt $A (1 | 2 | 3)$ der Ebene $E$ in die Hessesche Normalenform ein, um den Abstand der beiden Ebenen zu berechnen.
  $d (A, F) = | \frac{1 \cdot 1 - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 - 1}{\sqrt{1^{2} + (- 1)^{2} + 1^{2}}} | = | \frac{1}{\sqrt{3}} | = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3}$
  Antwort: Die beiden Ebenen haben einen Abstand von $\frac{1}{3} \cdot \sqrt{3}$ voneinander.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Gegeben sind die Punkte $A (3 | 0 | 1),$ $B (6 | 2 | 2)$ und $C (0 | 3 | 5) .$ Die Ebene $E$ enthält die Punkte $A, B$ und $C .$
  a) Bestimmen Sie die Gleichung von $E$ in Normalenform und Koordinatenform.
  b) Untersuchen Sie die Lage der Ebene $E$ zur Geraden $g$ mit
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenen
  Lösung zu a)
  Für die Ebene in Parameterform gilt:
  $E_{A B C} = \vec{O A} + r \cdot (\vec{O B} - \vec{O A}) + s \cdot (\vec{O C} - \vec{O A})$
  $E_{A B C} = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + r \cdot ((\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 1 \end{array})) + s \cdot ((\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 1 \end{array}))$
  $E_{A B C} = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 3 \\ 4 \end{array})$
  Bei der Umrechnung der Ebenengleichung in die Normalenform muss das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene berechnet werden.
  ${\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 3 \\ 3 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 \\ - 15 \\ 15 \end{array})$
  Der Normalenvektor kann noch vereinfacht werden: ${\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 3 \end{array})$
  Mit dem Punkt $A (3 | 0 | 1)$ erhältst du dann die Normalenform der Ebene:
  $E : (\vec{x} - \vec{O A}) \circ {\vec{n}}_{E} = 0 \Rightarrow (\vec{x} - (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 1 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 3 \end{array}) = 0$
  Wird das Skalarprodukt ausmultipliziert, erhältst du die Koordinatenform der Ebenengleichung:
  $E : x_{1} - 3 x_{2} + 3 x_{3} - (3 + 0 + 3) = 0 \Rightarrow x_{1} - 3 x_{2} + 3 x_{3} - 6 = 0$
  Antwort: Die Ebene in Normalenform hat die Gleichung $E : (\vec{x} - (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 1 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 3 \end{array}) = 0$ und in Koordinatenform lautet sie:
  $E : x_{1} - 3 x_{2} + 3 x_{3} = 6$
  Lösung zu b)
  Lageuntersuchung: $g \cap E$
  Setze $g$ in $E$ ein:
  $(4 + 2 t) - 3 (t) + 3 (1)$ $=$ $6$
  ↓
  Löse die Klammern auf.
  $4 + 2 t - 3 t + 3$ $=$ $6$
  ↓
  Löse nach $t$ auf.
  $7 - t$ $=$ $6$ $- 7$
  $- t$ $=$ $- 1$ $\cdot (- 1)$
  $t$ $=$ $1$
  Du hast für $t$ eine Lösung erhalten, d.h. die Gerade und die Ebene schneiden sich.
  Berechnung des Schnittpunktes der Geraden mit der Ebene
  Setze $t = 1$ in die Geradengleichung ein: ${\vec{x}}_{S} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ 1 \\ 1 \end{array})$
  Antwort: Die Gerade $g$ schneidet die Ebene $E$ im Punkt $S (6 | 1 | 1)$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. Gegeben ist die Gerade $g$ mit $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ 7 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array})$ ; $t \in ℝ$ und $h$ mit
  $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 7 \\ 3 \\ 5 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array})$ ; $s \in ℝ$
  a) Zeigen Sie, dass die Geraden $g$ und $h$ orthogonal zueinander liegen.
  b) Untersuchen Sie, ob sich $g$ und $h$ auch schneiden.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geraden
  Lösung zu a)
  Wenn die Geraden $g$ und $h$ orthogonal zueinander liegen sollen, dann muss das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren gleich null sein.
  ${\vec{u}}_{g} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array})$ und ${\vec{u}}_{h} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array})$ $\Rightarrow {\vec{u}}_{g} \circ {\vec{u}}_{h} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) = 2 + 2 - 4 = 0$
  Antwort: Die Geraden $g$ und $h$ liegen orthogonal zueinander.
  Lösung zu b)
  Lageuntersuchung:
  Setze $g = h$ :
  $(\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ 7 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 7 \\ 3 \\ 5 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
  Umgeformt erhältst du: $(\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ 7 \end{array}) - (\begin{array}{c} 7 \\ 3 \\ 5 \end{array}) = s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) - t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array})$ bzw.
  $(\begin{array}{c} - 4 \\ - 5 \\ 2 \end{array}) = s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) - t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array})$
  Damit ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
  $\begin{array}{rccccccc} I & s & - & 2 t & = & - 4 \\ II & 2 s & - & t & = & - 5 \\ III & s & + & 4 t & = & 2 \end{array} $
  Mit dem Additionsverfahren wird aus den Gleichungen $(I)$ und $(I I)$ der Parameter $s$ eliminiert.
  Rechne dazu: $II + (- 2) \cdot I$ $\Rightarrow 3 t = 3 \Rightarrow t = 1$
  Setze $t = 1$ in Gleichung $(I)$ ein $\Rightarrow s - 2 \cdot 1 = - 4 \Rightarrow s = - 2$
  Probe in Gleichung $(I I I)$ : $s + 4 t = 2 \Rightarrow - 2 + 4 \cdot 1 = 2 ✓$
  Zur Berechnung des Schnittpunktes setze $t = 1$ in die Geradengleichung $g$ ein:
  ${\vec{x}}_{S} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ 7 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$
  Antwort: Die Geraden $g$ und $h$ schneiden sich im Punkt $S (5 | - 1 | 3)$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4. Gegeben sind die Punkte $A (12 | 0 | 0)$ , $B (4 | 10 | 5)$ und $C (2 | 8 | 4) .$
  a) Zeigen Sie, dass das Dreieck $A B C$ rechtwinklig ist.
  b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechtwinkliges Dreieck
  Lösung zu a)
  Berechne die Vektoren der drei Dreiecksseiten:
  $\vec{A B} = (\begin{array}{c} 4 \\ 10 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 12 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 8 \\ 10 \\ 5 \end{array})$
  $\vec{B C} = (\begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 10 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{array})$
  $\vec{C A} = (\begin{array}{c} 12 \\ 0 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 10 \\ - 8 \\ - 4 \end{array})$
  Betrachtest du die Längen der drei Vektoren, dann ist der Betrag des Vektors $\vec{A B}$ am größten. Der rechte Winkel muss also der Seite $AB$ gegenüber beim Punkt $C$ liegen, d.h. dann muss das Skalarprodukt $\vec{B C} \circ \vec{C A} = 0$ sein.
  Berechne das Skalarprodukt: $\vec{B C} \circ \vec{C A} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 10 \\ - 8 \\ - 4 \end{array}) = - 20 + 16 + 4 = 0 ✓$
  Antwort: Das Dreieck hat im Punkt $C$ einen rechten Winkel.
  Lösung zu b)
  Bei einem rechtwinkligen Dreieck kann die Dreiecksfläche folgendermaßen berechnet werden:
  $A = \frac{1}{2} \cdot | \vec{B C} | \cdot | \vec{C A} |$
  $= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(- 2)^{2} + (- 2)^{2} + (- 1)^{2}} \cdot \sqrt{10^{2} + (- 8)^{2} + (- 4)^{2}}$
  $= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{180}$
  $= \frac{3}{2} \cdot \sqrt{180}$
  $= \frac{3}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{5}$
  $= 9 \cdot \sqrt{5}$
  Antwort: Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $9 \cdot \sqrt{5} FE$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
5. Gegeben sind die Punkte $A (1 | 3 | 0), B (3 | 7 | - 4)$ und $C (2 | 8 | 1)$ .
  Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt Dreieck
  Flächenberechnung Möglichkeit 1
  Für ein beliebiges Dreieck gilt die folgende Flächenformel:
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{a} \times \vec{b} |$
  $\vec{a} = \vec{A B} = (\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 4 \end{array})$
  $\vec{b} = \vec{A C} = (\begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 1 \end{array})$
  Eingesetzt in die Flächenformel:
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot | (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 4 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 1 \end{array}) | = \frac{1}{2} \cdot | (\begin{array}{c} 24 \\ - 6 \\ 6 \end{array}) |$
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{24^{2} + (- 6)^{2} + 6^{2}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{648} = 9 \cdot \sqrt{2}$
  Antwort: Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $9 \cdot \sqrt{2} FE$ .
  Flächenberechnung Möglichkeit 2
  Für ein beliebiges Dreieck gilt die folgende Flächenformel:
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{{\vec{a}}^{2} \cdot {\vec{b}}^{2} - (\vec{a} \circ \vec{b})^{2}}$
  $\vec{a} = \vec{A B} = (\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 4 \end{array})$
  $\vec{b} = \vec{A C} = (\begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 1 \end{array})$
  Eingesetzt in die Flächenformel:
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{{(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 4 \end{array})}^{2} \cdot {(\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 1 \end{array})}^{2} - {((\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 1 \end{array}))}^{2}}$
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(4 + 16 + 16) \cdot (1 + 25 + 1) - (2 + 20 - 4)^{2}}$
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{36 \cdot 27 - 18^{2}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{648} = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot \sqrt{2} = 9 \cdot \sqrt{2}$
  Antwort: Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $9 \cdot \sqrt{2} FE$ .
  Flächenberechnung Möglichkeit 3
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{A B} | \cdot h_{C}$
  Dabei ist $h_{C}$ der Abstand des Punktes $C$ von der Geraden durch die Punkte $A$ und $B$ . Diesen Abstand kannst du mit dem Lotfußpunktverfahren berechnen.
  Erstelle eine Hilfsebene $H$ durch $C (2 | 8 | 1)$ mit dem Normalenvektor ${\vec{n}}_{H} = \vec{A B} = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 4 \end{array})$ .
  $H : (\vec{x} - (\begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ 1 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 4 \end{array}) = 0$ bzw.
  $H : 2 x_{1} + 4 x_{2} - 4 x_{3} - (4 + 32 - 4) = 0$
  $\Rightarrow H : 2 x_{1} + 4 x_{2} - 4 x_{3} - 32 = 0$
  Die Gerade durch die Punkte $A$ und $B$ hat die Gleichung
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 4 \end{array})$
  Schneide die Gerade $g$ mit der Hilfsebene $H : 2 x_{1} + 4 x_{2} - 4 x_{3} - 32 = 0$
  $2 \cdot (1 + 2 r) + 4 \cdot (3 + 4 r) - 4 \cdot (- 4 r) - 32 = 0$
  $2 + 4 r + 12 + 16 r + 16 r - 32 = 0 \Rightarrow 36 r - 18 = 0 \Rightarrow r = \frac{1}{2}$
  Setze $r = \frac{1}{2}$ in $g$ ein:
  ${\vec{x}}_{F} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + \frac{1}{2} \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ - 2 \end{array})$
  Der Lotfußpunkt hat die Koordinaten $F (2 | 5 | - 2)$ .
  $\vec{F C} = (\begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 3 \end{array})$
  $h_{C} = | \vec{F C} | = \sqrt{0^{2} + 3^{2} + 3^{2}} = \sqrt{18} = 3 \cdot \sqrt{2}$
  $| \vec{A B} | = | (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 4 \end{array}) | = \sqrt{2^{2} + 4^{2} + (- 4)^{2}} = \sqrt{36} = 6$
  Eingesetzt in die Flächenformel:
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{A B} | \cdot h_{C} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} = 9 \cdot \sqrt{2}$
  Antwort: Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $9 \cdot \sqrt{2} FE$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
6. Gegeben sind die Punkte $A (- 7 | 0 | 1), B (- 5 | 3 | 1)$ und $C (- 4 | 0 | - 1)$ .
  a) Zeigen Sie, dass das Dreieck $A B C$ gleichschenklig ist.
  b) Das Dreieck $A B C$ lässt sich so durch einen Punkt $P$ ergänzen, dass eine Raute entsteht. Bestimmen Sie die Koordinaten von $P$ .
  c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck
  Lösung zu a)
  Berechne die Beträge der Vektoren $\vec{A B}$ , $\vec{B C}$ und $\vec{A C}$
  $\vec{A B} = (\begin{array}{c} - 5 \\ 3 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 7 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array})$
  $\Rightarrow | \vec{A B} | = | (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}) | = \sqrt{2^{2} + 3^{2} + 0^{2}} = \sqrt{13}$
  $\vec{B C} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 5 \\ 3 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ - 2 \end{array})$
  $\Rightarrow | \vec{B C} | = | (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ - 2 \end{array}) | = \sqrt{1^{2} + (- 3)^{2} + (- 2)^{2}} = \sqrt{14}$
  $\vec{A C} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 7 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array})$
  $\Rightarrow | \vec{A C} | = | (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) | = \sqrt{3^{2} + 0^{2} + (- 2)^{2}} = \sqrt{13}$
  $| \vec{A B} | = | \vec{A C} | \neq | \vec{B C} |$ , d.h. das Dreieck ist gleichschenklig, mit der Basis $[B C]$ .
  Lösung zu b)
  $[B C]$ ist die Basis des gleichschenkligen Dreiecks, d.h. der Punkt $P$ muss $A$ gegenüberliegen; siehe Skizze.
  Du kannst die folgende Vektorgleichung aufstellen, um $P$ zu berechnen.
  $\vec{O P} = \vec{O C} + \vec{A B} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ - 1 \end{array})$
  Der Punkt $P$ hat die Koordinaten $P (- 2 | 3 | - 1)$ .
  Lösung zu c)
  Flächenberechnung Möglichkeit 1
  Für ein beliebiges Dreieck gilt die folgende Flächenformel:
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{a} \times \vec{b} |$
  $\vec{a} = \vec{A B} = (\begin{array}{c} - 5 \\ 3 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 7 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array})$
  $\vec{b} = \vec{A C} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 7 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array})$
  Eingesetzt in die Flächenformel:
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot | (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) | = \frac{1}{2} \cdot | (\begin{array}{c} - 6 \\ 4 \\ - 9 \end{array}) |$
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(- 6)^{2} + 4^{2} + (- 9)^{2}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{133}$
  Antwort: Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{133} FE$ .
  Flächenberechnung Möglichkeit 2
  Für ein beliebiges Dreieck gilt die folgende Flächenformel:
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{{\vec{a}}^{2} \cdot {\vec{b}}^{2} - (\vec{a} \circ \vec{b})^{2}}$
  $\vec{a} = \vec{B C} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 5 \\ 3 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ - 2 \end{array})$
  $\vec{b} = \vec{A C} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 7 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array})$
  Eingesetzt in die Flächenformel:
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{{(\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ - 2 \end{array})}^{2} \cdot {(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array})}^{2} - {((\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ - 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array}))}^{2}}$
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(1 + 9 + 4) \cdot (9 + 0 + 4) - (3 + 0 + 4)^{2}}$
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{14 \cdot 13 - 7^{2}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{133}$
  Antwort: Das Dreieck $A B C$ hat einen Flächeninhalt von $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{133} FE$
  Flächenberechnung Möglichkeit 3
  Für ein beliebiges Dreieck gilt die folgende Flächenformel:
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{B C} | \cdot h$
  Berechne h:
  Berechne den Mittelpunkt $M_{a}$ der Strecke $[C B]$ .
  $\vec{O M_{a}} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{O C} + \vec{O B})$
  $\vec{O M_{a}} = \frac{1}{2} \cdot ((\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 5 \\ 3 \\ 1 \end{array})) = (\begin{array}{c} - \frac{9}{2} \\ \frac{3}{2} \\ 0 \end{array})$
  $\vec{A M_{a}} = (\begin{array}{c} - \frac{9}{2} \\ \frac{3}{2} \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 7 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{3}{2} \\ - 1 \end{array})$
  $h = | \vec{A M_{a}} | = \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} + {(\frac{3}{2})}^{2} + (- 1)^{2}} = \sqrt{\frac{38}{4}} = \sqrt{\frac{19}{2}}$
  Der Betrag vom Vektor $\vec{B C}$ wurde unter a) berechnet: $| \vec{B C} | = \sqrt{14}$
  Eingesetzt in die Flächenformel:
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{B C} | \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{14} \cdot \sqrt{\frac{19}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{133} $
  Antwort: Das Dreieck $A B C$ hat einen Flächeninhalt von $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{133} FE$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
8
schule-bw.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY 4.0 mit Namensnennung Landesbildungsserver Baden-Württemberg
Stochastik
1. Ein Auto hat einen Wert von 30000€ und soll von eine Versicherung jährlich gegen Schäden versichert werden.
  Die Autoversicherung erwartet, dass bei 10000 versicherten Autos des gleichen Typs pro Jahr folgende Schadensfälle passieren:
  - 10 Versicherungsfälle mit einem Totalschaden,
  - 50 Versicherungsfälle mit einem durchschnittlichen Schaden von 10000€,
  - 250 kleinere Schäden mit einem durchschnittlichen Schaden von 2000€.
  Berechnen Sie, welchen Versicherungsbeitrag die Versicherung jährlich anbieten sollte, wenn Sie pro Kunden einen Gewinn von 100 € (ohne Verwaltungskosten) erwirtschaften möchte.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
  Berechne den Erwartungswert:
  $E (X) = x_{1} \cdot P (X = x_{1} ) + x_{2} \cdot P (X = x_{2} ) + \dots + x_{n} \cdot P (X = x_{n})$
  $E (X) = 30000 \cdot \frac{10}{10000} + 10000 \cdot \frac{50}{10000} + 2000 \cdot \frac{250}{10000} = 30 + 50 + 50 = 130$
  Der Jahresbeitrag pro Kunde berechnet sich als Summe der mittleren Schadensfälle $E (X)$ und dem zu erwirtschafteten Gewinn $G = 100 €$ .
  Jahresbeitag $= 130 € + 100 € = 230 €$
  Antwort: Pro Versicherungskunde muss ein Jahresbeitrag von $230 €$ verlangt werden.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Ein Biathlet trifft erfahrungsgemäß bei 80% seiner Schüsse die Scheibe.
  a) Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit er bei drei Schüssen
  - nur den mit dem ersten Schuss
  - mindestens einen Schuss trifft.
  b) Für ein Ereignis $A$ gilt: $P (A) = (\begin{array}{c} 10 \\ a \end{array}) \cdot b^{7} \cdot {0,2}^{c}$ . Geben Sie geeignete Werte für $a$ , $b$ und $c$ an. Beschreiben Sie das Ereignis $A$ in Worten.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffizienten
  Lösung zu a)
  Treffer= $T$ ; kein Treffer (Niete)= $N$ ; $P (T) = 0,8$ und $P (N) = 1 - P (T) = 1 - 0,8 = 0,2$
  Er trifft nur mit dem ersten Schuss: $P (T N N) = 0,8 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,032$
  Mindestens $1$ Schuss trifft:
  $P (mindestens 1 Treffer) = 1 - P (kein Treffer) = 1 - {0,2}^{3} = 1 - 0,008 = 0,992$
  Antwort: Die Wahrscheinlichkeit nur mit dem $1.$ Schuss zu treffen beträgt $0,032$ und die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $1$ Schuss trifft, beträgt $0,992$ .
  Lösung zu b)
  Willst du die Wahrscheinlichkeit von $k$ Treffern eines Ereignisses mit der Wahrscheinlichkeit $p$ in einer Bernoulli-Kette der Länge $n$ berechnen, dann benutzt du den Binomialkoeffizienten: $B (n, p, k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}$
  Vergleichst du die gegebene Wahrscheinlichkeit $P (A) = (\binom{10}{a}) \cdot b^{7} \cdot {0,2}^{c}$ für das Ereignis $A$ mit dem Binomialkoeffizienten $B (n, p, k)$ , dann ist $n = 10$ , $a = k = 7$ . Wegen $1 - p = 0,2$ ist $b = p = 0,8$ . Außerdem ist $c = n - k = 10 - 7 = 3$ .
  Antwort: Das Ereignis $A$ lautet demnach: Bei $10$ Schussversuchen werden genau $7$ Treffer erzielt.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. Ein Chuck-your-luck ist ein Würfelspiel aus Amerika. Der Spieler setzt einen Dollar und würfelt dann dreimal. Für jede Sechs erhält er von der Bank einen Dollar.
  a) Die Zufallsvariable $X$ soll den Gewinn des Spielers angeben. Geben Sie die möglichen Werte von $X$ und ihre jeweilige Wahrscheinlichkeit an.
  b) Untersuchen Sie, ob das Spiel fair ist.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
  Lösung zu a)
  Wird keine $6$ gewürfelt, verliert der Spieler seinen Einsatz $1$ $ $\Rightarrow x_{1} = - 1$
  Wird eine $6$ gewürfelt, gewinnt der Spieler seinen Einsatz $1$ $ $\Rightarrow x_{2} = 0$
  Werden zwei $6$ er gewürfelt, gewinnt der Spieler $1$ $ $\Rightarrow x_{3} = 1$
  Werden drei $6$ er gewürfelt, gewinnt der Spieler $2$ $ $\Rightarrow x_{4} = 2$
  Die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten sind in der Tabelle angegeben.
  Zufallsvariable $x_{i}$
  $P (X = x_{i})$
  $- 1$
  ${(\frac{5}{6})}^{3} = \frac{125}{216}$
  $0$
  $(\binom{3}{1}) \cdot \frac{1}{6} \cdot {(\frac{5}{6})}^{2} = \frac{75}{216}$
  $1$
  $(\binom{3}{2}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{2} \cdot {(\frac{5}{6})}^{1} = \frac{15}{216}$
  $2$
  ${(\frac{1}{6})}^{3} = \frac{1}{216}$
  Lösung zu b)
  Berechne den Erwartungswert:
  $E (X) = x_{1} \cdot P (X = x_{1} ) + x_{2} \cdot P (X = x_{2} ) + \dots + x_{n} \cdot P (X = x_{n})$
  $E (X) = (- 1) \cdot \frac{125}{216} + 0 \cdot \frac{75}{216} + 1 \cdot \frac{15}{216} + 2 \cdot \frac{1}{216} = - \frac{108}{216} = - 0,5$
  Antwort: Der Spieler verliert im Mittel $0,5$ $ pro Spiel. Es ist kein faires Spiel.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4. Auf einem Tisch liegen verdeckt $4$ Kreuz-Karten und $n$ Herz-Karten.Es werden zwei Karten aufgedeckt.
  Berechnen Sie, für welche Werte von $n$ die Wahrscheinlichkeit, dass unter den aufgedeckten Karten genau eine Herzkarte ist, gleich $\frac{8}{15}$ ist.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm
  Es werden zwei Karten umgedreht. Dabei soll gelten: $P (1 Herz) = \frac{8}{15}$
  Erstelle ein Baumdiagramm.
  Die Zahl der Herzkarten ist gleich $n .$
  Dann gilt für die Wahrscheinlichkeit: $P (1 Herz) = P (K H) + P (H K) = \frac{8}{15}$
  Aus dem Baumdiagramm können die Wahrscheinlichkeiten für die zwei Pfade $P (K H)$ und $P (H K$ ) abgelesen werden.
  $\frac{4}{4 + n} \cdot \frac{n}{3 + n} + \frac{n}{4 + n} \cdot \frac{4}{3 + n}$ $=$ $\frac{8}{15}$
  ↓
  Addiere die Brüche.
  $\frac{8 n}{(4 + n) \cdot (3 + n)}$ $=$ $\frac{8}{15}$ $\cdot \frac{15}{8}$
  $\frac{15 n}{(4 + n) \cdot (3 + n)}$ $=$ $1$ $\cdot (4 + n) \cdot (3 + n)$
  $15 n$ $=$ $(4 + n) \cdot (3 + n)$
  ↓
  Löse die Klammer auf.
  $15 n$ $=$ $12 + 4 n + 3 n + n^{2}$ $- 15 n$
  $0$ $=$ $n^{2} - 8 n + 12$
  Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
  Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel. Lies die Werte für $p$ und $q$ ab: $p = - 8$ und $q = 12$
  $n_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
  ↓
  Setze $p = - 8$ und $q = 12$ ein.
  $=$ $- \frac{(- 8)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 8}{2})}^{2} - 12}$
  ↓
  Vereinfache.
  $=$ $4 \pm \sqrt{16 - 12}$
  $=$ $4 \pm \sqrt{4}$
  $=$ $4 \pm 2$
  $n_{1}$ $=$ $2$
  $n_{2}$ $=$ $6$
  Antwort: Befinden sich entweder $2$ oder $6$ Herzkarten im Stapel, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den zwei aufgedeckten Karten genau eine Herzkarte ist, gleich $\frac{8}{15}$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
5. In einem Behälter befinden sich $2$ weiße und $3$ schwarze Kugeln. Es werden $2$ Kugeln mit Zurücklegen gezogen.
  a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der beiden Kugeln weiß ist.
  b) Berechnen Sie, wie viele weiße Kugeln sich in dem Behälter befinden müssten, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine weiße Kugel zu ziehen, $0,91$ betragen hätte.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ziehen mit Zurücklegen
  Lösung zu a)
  Ziehen mit Zurücklegen.
  Weiße Kugel: $w$
  Schwarze Kugel: $s$
  $P (mindestens 1 w) = 1 - P (kein w) = 1 - P (s s) = 1 - {(\frac{3}{5})}^{2} = \frac{16}{25} = 0,64$
  Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Kugel weiß ist, beträgt $64$ %.
  Lösung zu b)
  Es befinden sich $3$ schwarze und $n$ weiße Kugeln im Behälter.
  Ziehen mit Zurücklegen.
  $P (mindestens 1 w) = 1 - P (kein w) = 1 - P (s s) = 0,91 \Rightarrow P (s s) = 1 - 0,91 = 0,09$
  $P (s s) = {(\frac{3}{n + 3})}^{2} = 0,09$
  ${(\frac{3}{n + 3})}^{2}$ $=$ $0,09$
  ↓
  Berechne das Quadrat.
  $\frac{9}{(n + 3)^{2}}$ $=$ $0,09$ $\cdot (n + 3)^{2}$
  $9$ $=$ $0,09 \cdot (n + 3)^{2}$ $: 0,09$
  $100$ $=$ $(n + 3)^{2}$ $\sqrt{}$
  $\pm 10$ $=$ $n + 3$ $- 3$
  $\pm 10 - 3$ $=$ $n$
  $n_{1}$ $=$ $- 13$
  ↓
  Die negative Lösung entfällt.
  $n_{2}$ $=$ $7$
  Antwort: Befinden sich $3$ schwarze und $7$ weiße Kugeln im Behälter, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit mindestens eine weiße Kugel zu ziehen $0,91$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
9
schule-bw.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY 4.0 mit Namensnennung Landesbildungsserver Baden-Württemberg
Beschreiben, Verstehen, Begründen
1. Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ . Die Ebene $F$ ist parallel zu $E_{1}$ und $E_{2}$ und hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand.
  Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man eine Gleichung der Ebene $F$ bestimmen kann.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalenform
  1. Wähle einen beliebigen Punkt $P_{1} \in E_{1}$ .
  2. Wähle einen beliebigen Punkt $P_{2} \in E_{2}$ .
  3. Berechne den Mittelpunkt $M$ der Strecke $[P_{1} P_{2}]$ .
  $\vec{O M} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{O P_{1}} + \vec{O P_{2}})$
  4. Nimm von den Ebenen $E_{1}$ oder $E_{2}$ einen der beiden Normalenvektoren z.B. ${\vec{n}}_{E_{1}}$ .
  5. Setze in die Normalenform ein:
  $F : (\vec{x} - \vec{O M}) \circ {\vec{n}}_{E_{1}} = 0$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Gegeben ist eine Ebene $E$ . Gesucht ist eine zu $E$ parallele Ebene $F$ im
  Abstand 3.
  Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man eine Gleichung der Ebene $F$ bestimmen kann.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalenform
  Gegeben $E : a x_{1} + b x_{2} + c x_{3} - d = 0$
  $\Rightarrow \vec{n_{E}} = (\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array})$
  Der dazugehörende Normaleneinheitsvektor ist dann:
  $\vec{n_{E}^{0}} = \frac{1}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} \cdot (\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array})$
  Finde einen Punkt $Q \in E$ . Dann führt die Vektorgleichung $\vec{O P} = \vec{O Q} + 3 \cdot \vec{n_{E}^{0}}$ zu einem Punkt $P \in F$ .
  Da $F ∥ E$ ist $\vec{n_{F}} = \vec{n_{E}}$ . Mit dem Punkt $P$ kann die Gleichung der Ebene $F$ in Normalenform angegeben werden.
  $F : (\vec{x} - \vec{O P}) \circ {\vec{n}}_{E} = 0$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. Die vier Punkte $A, B, C$ und $D$ bilden ein Parallelogramm im Raum. Des Weiteren ist ein Punkt $P$ gegeben.
  Beschreiben Sie ein Verfahren, um festzustellen ob der Punkt $P$ im Parallelogramm $A B C D$ liegt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parameterform der Ebene
  Erstelle eine Parameterform der Ebene $E$ , in der das Parallelogramm liegt.
  $E : \vec{x} = \vec{O A} + r \cdot \vec{A B} + s \cdot \vec{A D}$
  Prüfe, ob $P \in E$ ?
  $(I) \vec{O P} = \vec{O A} + r \cdot \vec{A B} + s \cdot \vec{A D}$
  1. Gleichung $(I)$ hat keine Lösung, dann gilt $P \notin E$ und $P \notin □$ .
  2. Gleichung $(I)$ hat eine Lösung, dann gilt $P \in E$ und $P \in □$ , wenn die Bedingung $0 \leq r, s \leq 1$ erfüllt ist.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4. Skizzieren Sie das Schaubild einer Funktion $f$ mit folgenden Eigenschaften:
  $f (x) > 0, f^{'} (x) > 0$ und $f^{''} (x) < 0$
  Begründen Sie: Ist $f^{''} (x) < 0$ , so ist das Schaubild von $f$ eine Rechtskurve.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
  Lösung zu a)
  Das Schaubild der Funktion kann z.B. so wie in der Abbildung aussehen.
  Es hat folgende Eigenschaften:
  $f (x) > 0$ (alle Funktionswerte liegen oberhalb der $x$ -Achse)
  $f^{'} (x) > 0$ (die Steigung ist immer positiv)
  $f^{''} (x) < 0$ (Der Graph ist rechtsgekrümmt)
  Lösung zu b)
  Es gilt: $f^{''} (x) < 0 \Leftrightarrow (f^{'} (x))^{'} < 0 \Rightarrow f^{'} (x)$ ist streng monoton fallend. Fällt die Steigung eines Funktionsgraphen permanent, dann ist der Graph rechtsgekrümmt.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
5. Für ein Ereignis $A$ bei der mehrmaligen Durchführung eines Bernoulli-Experimentes gilt
  $P (A) = 1 - (\begin{array}{c} (\begin{array}{c} 15 \\ 13 \end{array}) \cdot {0,6}^{13} \cdot {0,4}^{2} + 15 \cdot {0,6}^{14} \cdot 0,4 + {0,6}^{15} \end{array})$
  Beschreiben Sie das Ereignis $A$ in Worten.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Experiment
  Gegeben ist: $P (A) = 1 - (P (X = 13) + P (X = 14) + P (X = 15))$
  Es handelt sich um ein Bernoulli-Experiment, das $15$ -mal durchgeführt wird ( $n = 15$ ). Dabei ist die Erfolgswahrscheinlichkeit $p = 0,6$ und $q = 1 - p = 0,4$ .
  Ereignis $A$ : Es gibt höchstens $12$ Erfolge bei $15$ Wiederholungen.
  (andere Formulierung: Es gibt weniger als $13$ Erfolge bei $15$ Wiederholungen)
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉

Zufallsvariable $x_{i}$	$P (X = x_{i})$
$- 1$	${(\frac{5}{6})}^{3} = \frac{125}{216}$
$0$	$(\binom{3}{1}) \cdot \frac{1}{6} \cdot {(\frac{5}{6})}^{2} = \frac{75}{216}$
$1$	$(\binom{3}{2}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{2} \cdot {(\frac{5}{6})}^{1} = \frac{15}{216}$
$2$	${(\frac{1}{6})}^{3} = \frac{1}{216}$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$0$	$=$	$x^{5} + 2 x^{3} - 3 x$
	↓	Klammere $x$ aus.
$0$	$=$	$x (x^{4} + 2 x^{2} - 3)$
	↓	Wende den Satz vom Nullprodukt an.
$x_{1}$	$=$	$0$
$0$	$=$	$x^{4} + 2 x^{2} - 3$
	↓	Substituiere $x^{2} = z$ .
$0$	$=$	$z^{2} + 2 z - 3$

$z_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = 2$ und $q = - 3$ ein.
	$=$	$- \frac{2}{2} \pm \sqrt{{(\frac{2}{2})}^{2} - (- 3)}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$- 1 \pm \sqrt{1 + 3}$
	$=$	$- 1 \pm 2$
$z_{1}$	$=$	$- 3$
$z_{2}$	$=$	$1$

$2 x^{2} – 50$	$=$	$0$	$+ 50$
	↓	Löse nach $x^{2}$ auf.
$2 x^{2}$	$=$	$50$	$: 2$
$x^{2}$	$=$	$25$	$\sqrt{}$
$x_{1}$	$=$	$- 5$
$x_{2}$	$=$	$5$

$e^{2 x} – 7$	$=$	$0$	$+ 7$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$e^{2 x}$	$=$	$7$	$\ln$
$\ln (e^{2 x})$	$=$	$\ln (7)$
$2 x$	$=$	$\ln (7)$	$: 2$
$x_{3}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot \ln (7)$

$0$	$=$	$e^{x} + 3 - 10 \cdot e^{- x}$	$\cdot e^{x}$
	↓	Multipliziere mit $e^{x}$ .
$0$	$=$	$e^{2 x} + 3 \cdot e^{x} - 10$
	↓	Substituiere $e^{x} = z$ .
$0$	$=$	$z^{2} + 3 z - 10$

$z_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = 3$ und $q = - 10$ ein.
	$=$	$- \frac{3}{2} \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$- \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} + 10}$
	$=$	$- \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{49}{4}}$
	$=$	$- \frac{3}{2} \pm \frac{7}{2}$
$z_{1}$	$=$	$- 5$
$z_{2}$	$=$	$2$

$(e^{- x} - 3)^{2}$	$=$	$4$	$\sqrt{}$
$e^{- x} - 3$	$=$	$- 2$
$e^{- x} - 3$	$=$	$+ 2$

$e^{- x} - 3$	$=$	$- 2$	$+ 3$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$e^{- x}$	$=$	$1$	$\ln$
$- x$	$=$	$\ln (1)$
	↓	$\ln (1) = 0$ .
$x$	$=$	$0$

$(\sin (x))^{2} - 2 \sin (x)$	$=$	$3$	$- 3$
$(\sin (x))^{2} - 2 \sin (x) - 3$	$=$	$0$
	↓	Setze $\sin (x)$ =z.
$z^{2} - 2 z - 3$	$=$	$0$

$z_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = - 2$ und $q = - 3$ ein.
	$=$	$- \frac{(- 2)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 2}{2})}^{2} - (- 3)}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$1 \pm \sqrt{1 + 3}$
	$=$	$1 \pm 2$
$z_{1}$	$=$	$- 1$
$z_{2}$	$=$	$3$

$\frac{4}{4 + n} \cdot \frac{n}{3 + n} + \frac{n}{4 + n} \cdot \frac{4}{3 + n}$	$=$	$\frac{8}{15}$
	↓	Addiere die Brüche.
$\frac{8 n}{(4 + n) \cdot (3 + n)}$	$=$	$\frac{8}{15}$	$\cdot \frac{15}{8}$
$\frac{15 n}{(4 + n) \cdot (3 + n)}$	$=$	$1$	$\cdot (4 + n) \cdot (3 + n)$
$15 n$	$=$	$(4 + n) \cdot (3 + n)$
	↓	Löse die Klammer auf.
$15 n$	$=$	$12 + 4 n + 3 n + n^{2}$	$- 15 n$
$0$	$=$	$n^{2} - 8 n + 12$

${(\frac{3}{n + 3})}^{2}$	$=$	$0,09$
	↓	Berechne das Quadrat.
$\frac{9}{(n + 3)^{2}}$	$=$	$0,09$	$\cdot (n + 3)^{2}$
$9$	$=$	$0,09 \cdot (n + 3)^{2}$	$: 0,09$
$100$	$=$	$(n + 3)^{2}$	$\sqrt{}$
$\pm 10$	$=$	$n + 3$	$- 3$
$\pm 10 - 3$	$=$	$n$
$n_{1}$	$=$	$- 13$
	↓	Die negative Lösung entfällt.
$n_{2}$	$=$	$7$

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x}$	$=$	$1$	$\cdot x^{2}$
	↓	Multipliziere mit dem Hauptnenner $x^{2}$ .
$2 + x$	$=$	$x^{2}$	$- 2 - x$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$0$	$=$	$x^{2} - x - 2$

$x_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = - 1$ und $q = - 2$ ein.
	$=$	$- \frac{(- 1)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 1}{2})}^{2} - (- 2)}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 2}$
	$=$	$\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}}$
	$=$	$\frac{1}{2} \pm \frac{3}{2}$
$x_{1}$	$=$	$- 1$
$x_{2}$	$=$	$2$

$0$	$=$	$1 - \frac{5}{e^{x}} + \frac{4}{e^{2 x}}$	$\cdot e^{2 x}$
	↓	Multipliziere mit dem Hauptnenner $e^{2 x}$ .
$0$	$=$	$e^{2 x} - 5 e^{x} + 4$
	↓	Substituiere $e^{x} = z$ .
$0$	$=$	$z^{2} - 5 z + 4$

$z_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = - 5$ und $q = 4$ ein.
	$=$	$- \frac{(- 5)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 5}{2})}^{2} - 4}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} - 4}$
	$=$	$\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}}$
	$=$	$\frac{5}{2} \pm \frac{3}{2}$
$z_{1}$	$=$	$1$
$x_{2}$	$=$	$4$

$0$	$=$	$2 \cdot e^{2 x} - e^{- x}$	$\cdot e^{x}$
	↓	Beseitige den negativen Exponenten.
$0$	$=$	$2 \cdot e^{3 x} - e^{0}$
	↓	Vereinfache.
$0$	$=$	$2 \cdot e^{3 x} - 1$	$+ 1$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$1$	$=$	$2 \cdot e^{3 x}$	$: 2$
$0,5$	$=$	$e^{3 x}$	$\ln$
$\ln (0,5)$	$=$	$3 x$	$: 3$
$\frac{1}{3} \cdot \ln (0,5)$	$=$	$x$

$0$	$=$	$\frac{1}{2 e} \cdot x + 2 e + \frac{1}{2 e}$	$- 2 e - \frac{1}{2 e}$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$- 2 e - \frac{1}{2 e}$	$=$	$\frac{1}{2 e} \cdot x$	$\cdot 2 e$
$(- 2 e - \frac{1}{2 e}) \cdot 2 e$	$=$	$x$
	↓	Löse die Klammer auf.
$- 4 e^{2} - 1$	$=$	$x$

$- 1$	$=$	$- 2 e^{x}$	$: (- 2)$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\frac{- 1}{- 2}$	$=$	$e^{x}$
	↓	Vereinfache.
$\frac{1}{2}$	$=$	$e^{x}$	$\ln$
$\ln (\frac{1}{2})$	$=$	$x$

$\frac{1}{(1 - x)^{2}}$	$=$	$\frac{1}{(1 + x)^{2}}$	$\cdot (1 + x)^{2}$
	↓	Beseitige die Nenner.
$\frac{(1 + x)^{2}}{(1 - x)^{2}}$	$=$	$1$	$\cdot (1 - x)^{2}$
$(1 + x)^{2}$	$=$	$(1 - x)^{2}$
	↓	Löse die Klammern auf.
$1 + 2 x + x^{2}$	$=$	$1 - 2 x + x^{2}$	$- x^{2}$
$1 + 2 x$	$=$	$1 - 2 x$	$+ 2 x - 1$
$4 x$	$=$	$0$	$: 4$
$x$	$=$	$0$

$2$	$=$	$\frac{2}{\sqrt{2 x + 1}}$	$\cdot \sqrt{2 x + 1}$
	↓	Beseitige den Nenner.
$2 \cdot \sqrt{2 x + 1}$	$=$	$2$	$: 2$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\sqrt{2 x + 1}$	$=$	$1$	$()^{2}$
$2 x + 1$	$=$	$1$	$- 1$
$2 x$	$=$	$0$	$: 2$
$x$	$=$	$0$

$(4 + 2 t) - 3 (t) + 3 (1)$	$=$	$6$
	↓	Löse die Klammern auf.
$4 + 2 t - 3 t + 3$	$=$	$6$
	↓	Löse nach $t$ auf.
$7 - t$	$=$	$6$	$- 7$
$- t$	$=$	$- 1$	$\cdot (- 1)$
$t$	$=$	$1$

Pflichtteil

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Rücksubstituieren

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Rücksubstituieren

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Rücksubstituieren

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Rücksubstituieren

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Ableitungen

1. Ableitung

2. Ableitung

Extrema

Hast du eine Frage oder Feedback?

Ableitungen

1. Ableitung

2. Ableitung

Wendepunkte

Hast du eine Frage oder Feedback?

Lösung zu a)

Lösung zu b)

Hast du eine Frage oder Feedback?

Lösung zu a)

Lösung zu b)

Hast du eine Frage oder Feedback?

Lösung zu a)

Lösung zu b)

Hast du eine Frage oder Feedback?

Lösung zu a)

Lösung zu b)

Hast du eine Frage oder Feedback?

Lösung zu a)

Lösung zu b)

Lösung zu c)

Hast du eine Frage oder Feedback?

Lösung zu a)

Lösung zu b)

Lösung zu c)

Hast du eine Frage oder Feedback?

Lösung zu a)

Lösung zu b)

Lösung zu c)

Lösung zu d)

Hast du eine Frage oder Feedback?

Lösung zu a)

Lösung zu b)

Hast du eine Frage oder Feedback?

Lösung zu a)

Lösung zu b)

Lösung zu c)

Lösung zu d)

Hast du eine Frage oder Feedback?

Lösung zu a)

Lösung zu b)

Hast du eine Frage oder Feedback?

Lösung zu a)

Lösung zu b)

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Lösung zu a)

Lösung zu b)

Bestimmung der Geradengleichung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Lageuntersuchung: $g \cap E$

$n_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = - 8$ und $q = 12$ ein.
	$=$	$- \frac{(- 8)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 8}{2})}^{2} - 12}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$4 \pm \sqrt{16 - 12}$
	$=$	$4 \pm \sqrt{4}$
	$=$	$4 \pm 2$
$n_{1}$	$=$	$2$
$n_{2}$	$=$	$6$