Pflichtteil
- 1
Ableitung
Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=(2−cos(x))3.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
Es handelt sich bei f(x) um eine verkettete Funktion.
Zerlege die Funktion f(x), sodass die Kettenregel angewendet werden kann. Die äußere Funktion ist eine Potenzfunktion g(x)=x3 und die innere Funktion ist die Funktion h(x)=2−cos(x).
Es gilt also: f(x)=g(h(x))
Berechne die einzelnen Ableitungen:
g′(x)=3⋅x2 und h′(x)=sin(x)
Setze in die Formel der Kettenregel ein: f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)
Hast du eine Frage oder Feedback?
Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=(x2−3)⋅sin(3x).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
Es handelt sich bei f(x) um ein Produkt.
Bringe f(x) in die Form f(x)=u(x)⋅v(x).
Dazu setzt du u(x)=x2−3 und v(x)=sin(3x).
Die Ableitung von u(x) lautet: u′(x)=2x
Beachte, dass es sich bei v(x) um eine verkettete Funktion handelt. Hier muss bei der Ableitung die Kettenregel beachtet werden.
Die äußere Funktion ist dabei g(x)=sin(x) und die innere Funktion ist die Funktion h(x)=3x. Es gilt also: v(x)=g(h(x))
Berechne die einzelnen Ableitungen:
g′(x)=cos(x) und h′(x)=3
Setze alles in die Formel der Kettenregel ein: v′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)
v′(x)=cos(3x)⋅3
Setze nun alles in die Formel für die Produktregel ein:
f′(x)=(u(x)⋅v(x))′=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)
f′(x)=2x⋅sin(3x)+(x2−3)⋅cos(3x)⋅3
Anders sortiert:
Hast du eine Frage oder Feedback?
Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=(3−e−2x)3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
Es handelt sich bei f(x) um eine verkettete Funktion.
Zerlege die Funktion f(x), sodass die Kettenregel angewendet werden kann. Die äußere Funktion ist eine Potenzfunktion g(x)=x3 und die innere Funktion ist die Funktion h(x)=3−e−2x.
Es gilt also: f(x)=g(h(x))
Berechne die einzelnen Ableitungen: g′(x)=3⋅x2
Bei der Ableitung von h(x) fällt die 3 weg, sodass nur h∗(x)=−e−2x abgeleitet wird. Beachte, dass es sich dabei wieder um eine verkettete Funktion handelt. Hier muss bei der Ableitung ebenfalls wieder die Kettenregel beachtet werden.
Die äußere Funktion ist dabei u(x)=−ex und die innere Funktion ist die Funktion v(x)=−2x. Es gilt also: h∗(x)=u(v(x))
Berechne die einzelnen Ableitungen:
u′(x)=−ex und v′(x)=−2
Setze alles in die Formel der Kettenregel ein: h∗(x)′=u′(v(x))⋅v′(x)
h∗(x)′=−e−2x⋅(−2)=2⋅e−2x=h′(x)
Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein:
f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)
Hast du eine Frage oder Feedback?
Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=x4⋅(e2x+1).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
Es handelt sich bei f(x) um ein Produkt.
Bringe f(x) in die Form f(x)=u(x)⋅v(x).
Dazu setzt du u(x)=x4 und v(x)=e2x+1.
Die Ableitung von u(x) lautet: u′(x)=4x3
Bei der Ableitung von v(x) fällt die 1 weg, sodass nur v∗(x)=e2x abgeleitet wird. Beachte, dass es sich dabei um eine verkettete Funktion handelt. Hier muss bei der Ableitung die Kettenregel beachtet werden.
Die äußere Funktion ist dabei g(x)=ex und die innere Funktion ist die Funktion h(x)=2x. Es gilt also: v∗(x)=g(h(x))
Berechne die einzelnen Ableitungen:
g′(x)=ex und h′(x)=2
Setze alles in die Formel der Kettenregel ein: v∗(x)′=g′(h(x))⋅h′(x)
v∗(x)′=e2x⋅2=2⋅e2x=v′(x)
Setze nun alles in die Formel für die Produktregel ein:
f′(x)=(u(x)⋅v(x))′=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)
Hast du eine Frage oder Feedback?
Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=e−2x+2x.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
Es handelt sich bei f(x) um eine Summe.
Leite nach der Summenregel die einzelnen Funktionsterme ab.
f(x)=u(x)+v(x)⇒f′(x)=u′(x)+v′(x)
Setze dazu u(x)=e−2x und v(x)=2x=2⋅x21
Beachte, dass es sich bei u(x) um eine verkettete Funktion handelt. Hier muss bei der Ableitung die Kettenregel beachtet werden.
Die äußere Funktion ist dabei g(x)=ex und die innere Funktion ist die Funktion h(x)=−2x. Es gilt also: u(x)=g(h(x))
Berechne die einzelnen Ableitungen:
g′(x)=ex und h′(x)=−2
Setze alles in die Formel der Kettenregel ein: u(x)′=g′(h(x))⋅h′(x)
u′(x)=e−2x⋅(−2)=−2⋅e−2x
Berechne nun die Ableitung von v(x):
v′(x)=2⋅21⋅x−21=x−21=x1
Setze die berechneten Ableitungen ein: f′(x)=u′(x)+v′(x)
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Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f(x)=e−3x⋅(x2+1)und vereinfachen Sie so weit wie möglich.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
Es handelt sich bei f(x) um ein Produkt.
Bringe f(x) in die Form f(x)=u(x)⋅v(x).
Dazu setzt du u(x)=e−3x und v(x)=x2+1.
Beachte, dass es sich bei u(x) um eine verkettete Funktion handelt. Hier muss bei der Ableitung die Kettenregel beachtet werden.
Die äußere Funktion ist dabei g(x)=ex und die innere Funktion ist die Funktion h(x)=−3x. Es gilt also: u(x)=g(h(x))
Berechne die einzelnen Ableitungen:
g′(x)=ex und h′(x)=−3
Setze alles in die Formel der Kettenregel ein: u′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)
u′(x)=e−3x⋅(−3)=−3⋅e−3x
Die Ableitung von v(x) lautet: v′(x)=2x
Setze nun alles in die Formel für die Produktregel ein:
f′(x)=(u(x)⋅v(x))′=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)
f′(x)=−3⋅e−3x⋅(x2+1)+e−3x⋅2x
Vereinfacht:
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- 2
Stammfunktion und Integral
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=3⋅e−2x+2x1.
Bestimmen Sie eine Stammfunktion F von f.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
Die gegebene Funktion ist eine Summe aus zwei Funktionen u(x)+v(x), sodass für jede dieser beiden Funktionen eine Stammfunktion ermittelt werden kann.
u(x)=3⋅e−2x
Die 3 bleibt als konstanter Vorfaktor erhalten und zu e−2x ist −21e−2x eine Stammfunktion ⇒U(x)=3⋅(−21)e−2x=−23e−2x
v(x)=2x1=21⋅x1
Die 21 bleibt als konstanter Vorfaktor erhalten und zu x1 ist ln∣x∣ eine Stammfunktion ⇒V(x)=21ln∣x∣
Eine Stammfunktion ist also:
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Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=x21+x. Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion F von f, deren Schaubild den Punkt (1∣0) enthält.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
Die gegebene Funktion ist eine Summe aus zwei Funktionen u(x)+v(x), sodass für jede dieser beiden Funktionen eine Stammfunktion ermittelt werden kann.
u(x)=x21=x−2
Zu x−2 ist −x−1 eine Stammfunktion ⇒U(x)=−x−1
v(x)=x
Zu x ist 21⋅x2 eine Stammfunktion ⇒V(x)=21x2
Die Menge aller Stammfunktionen ist also:
Gesucht ist die Stammfunktion F von f, deren Schaubild den Punkt (1∣0) enthält, d.h.
F(1)=0⇒0=−1−1+2112+C
0=−1+21+C⇒0=−21+C⇒C=21
F(x)=−x−1+21x2+21 oder F(x)=−x1+21x2+21
Hast du eine Frage oder Feedback?
Zeigen Sie, dass F(x)=ln(1+x2) eine Stammfunktion von f(x)=2⋅1+x2x ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
Berechne die Ableitung von F(x):
Beachte, dass es sich bei F(x) um eine verkettete Funktion handelt.
Zerlege die Funktion F(x), sodass die Kettenregel angewendet werden kann. Die äußere Funktion ist die natürliche Logarithmusfunktion g(x)=ln(x) und die innere Funktion ist die Funktion h(x)=1+x2
Es gilt also: F(x)=g(h(x))
Berechne die einzelnen Ableitungen:
g′(x)=x1 und h′(x)=2x
Setze in die Formel der Kettenregel ein: F′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)
F′(x)=1+x21⋅2x=2⋅1+x2x=f(x)
Antwort: Damit ist gezeigt, dass F(x)=ln(1+x2) eine Stammfunktion von f(x)=2⋅1+x2x ist.
Hast du eine Frage oder Feedback?
F(x) ist dann eine Stammfunktion, wenn F′(x)=f(x) ist.
Berechnen Sie das Integral ∫1e(x3−1)dx.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
Eine Stammfunktion zu x3 ist 3⋅ln∣x∣und zu 1 gehört die Stammfunktion x.
⇒∫1e(x3−1)dx=[3⋅ln∣x∣−x]1e
=(3⋅1ln∣e∣−e)−(3⋅0ln∣1∣−1)=3−e+1=4−e
Hast du eine Frage oder Feedback?
Berechnen Sie das Integral ∫04π(sin(2x)+1)dx.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
Eine Stammfunktion zu sin(2x) ist −21cos(2x) und zu 1 gehört die Stammfunktion x.
⇒∫04π(sin(2x)+1)dx=[−21cos(2x)+x]04π
=(−21⋅0cos(2⋅4π)+4π)−(−21⋅1cos(2⋅0)+0)
=4π+21
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Die Funktion f mit f(x)=x4 schließt mit der x-Achse, der Geraden x=4 und der y-Achse eine nach oben offene Fläche ein (siehe Skizze). Untersuchen Sie, ob diese Fläche einen endlichen Flächeninhalt hat und bestimmen Sie diesen gegebenenfalls.
Berechne die eingeschlossene Fläche in Abhängigkeit von k.
A(k)=∫k4(x4)dx=[8⋅x]k4
=(8⋅4)−(8⋅k)=16−8⋅k
Berechne nun den Grenzwert von A(k) für k→0
A=limk→0(16−8⋅k)=16
Antwort: Die Fläche hat einen endlichen Flächeninhalt A=16FE.
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- 3
Gleichungslehre
Lösen Sie die Gleichung x5+2x3−3x=0.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
0 = x5+2x3−3x ↓ Klammere x aus.
0 = x(x4+2x2−3) ↓ Wende den Satz vom Nullprodukt an.
x1 = 0 0 = x4+2x2−3 ↓ Substituiere x2=z.
0 = z2+2z−3 Du hast eine quadratische Gleichung erhalten, die mit der Mitternachtsformel oder mit der pq-Formel gelöst werden kann. Hier wird die pq-Formel verwendet.
Lies aus der Gleichung die Werte für p und q ab:p=2 und q=−3
z1,2 = −2p±(2p)2−q ↓ Setze p=2 und q=−3 ein.
= −22±(22)2−(−3) ↓ Vereinfache.
= −1±1+3 = −1±2 z1 = −3 z2 = 1 Rücksubstituieren
Setze z1 und z2 wieder in die Substitutionsgleichung x2=z ein, so erhältst du die zwei Gleichungen: (I)x2=−3 und (II)x2=1
Die Gleichung (I) hat keine reelle Lösung und Gleichung (II) hat die beiden Lösungen x2=−1 und x3=1.
Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge L={−1;0;1}.
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Lösen Sie die Gleichung (2x2–50)⋅(e2x–7)=0.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz vom Nullprodukt
Wenn das Produkt zweier Faktoren 0 ist, so ist mindestens einer dieser Faktoren gleich 0.
Also ist entweder (I)2x2–50=0 oder (II)e2x–7=0
Lösung für Gleichung (I):
2x2–50 = 0 +50 ↓ Löse nach x2 auf.
2x2 = 50 :2 x2 = 25 x1 = −5 x2 = 5 Lösung für Gleichung (II):
e2x–7 = 0 +7 ↓ Löse nach x auf.
e2x = 7 ln ln(e2x) = ln(7) 2x = ln(7) :2 x3 = 21⋅ln(7) Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge L={−5;21ln(7);5}.
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Lösen Sie die Gleichung ex+3−10⋅e−x=0.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung
0 = ex+3−10⋅e−x ⋅ex ↓ Multipliziere mit ex.
0 = e2x+3⋅ex−10 ↓ Substituiere ex=z.
0 = z2+3z−10 Du hast eine quadratische Gleichung erhalten, die mit der Mitternachtsformel oder mit der pq-Formel gelöst werden kann. Hier wird die pq-Formel verwendet.
Lies aus der Gleichung die Werte für p und q ab:p=3 und q=−10
z1,2 = −2p±(2p)2−q ↓ Setze p=3 und q=−10 ein.
= −23±(23)2−(−10) ↓ Vereinfache.
= −23±49+10 = −23±449 = −23±27 z1 = −5 z2 = 2 Rücksubstituieren
Setze z1 und z2 wieder in die Substitutionsgleichung ex=z ein, so erhältst du die zwei Gleichungen: (I)ex=−5 und (II)ex=2
Die Gleichung (I) hat keine Lösung (ex ist für alle x immer >0) und Gleichung (II) hat die Lösung x=ln(2).
Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge L={ln(2)}.
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Lösen Sie die Gleichung (e−x−3)2=4.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
(e−x−3)2 = 4 e−x−3 = −2 e−x−3 = +2 Du hast zwei Gleichungen erhalten:
(I)e−x−3=−2 und (II)e−x−3=2
Lösung für Gleichung (I):
e−x−3 = −2 +3 ↓ Löse nach x auf.
e−x = 1 ln −x = ln(1) ↓ ln(1)=0.
x = 0 Lösung für Gleichung (II):
e−x−3 = 2 +3 ↓ Löse nach x auf.
e−x = 5 ln −x = ln(5) ⋅(−1) x = −ln(5) Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge L={−ln(5);0}.
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Lösen Sie für 0≤x≤2π die Gleichung (sin(x))2−2sin(x)=3.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
(sin(x))2−2sin(x) = 3 −3 (sin(x))2−2sin(x)−3 = 0 ↓ Setze sin(x)=z.
z2−2z−3 = 0 Du hast eine quadratische Gleichung erhalten, die mit der Mitternachtsformel oder mit der pq-Formel gelöst werden kann. Hier wird die pq-Formel verwendet.
Lies aus der Gleichung die Werte für p und q ab:p=−2 und q=−3
z1,2 = −2p±(2p)2−q ↓ Setze p=−2 und q=−3 ein.
= −2(−2)±(2−2)2−(−3) ↓ Vereinfache.
= 1±1+3 = 1±2 z1 = −1 z2 = 3 Rücksubstituieren
Setze z1 und z2 wieder in die Substitutionsgleichung sin(x)=z ein, so erhältst du die zwei Gleichungen: (I)sin(x)=−1 und (II)sin(x)=3
Gleichung (I) hat die Lösung x=23π.
Die Gleichung (II) hat keine Lösung, da für alle x gilt −1≤sin(x)≤1).
Antwort: Die Gleichung hat im Bereich 0≤x≤2π die Lösungsmenge L={23π}.
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Lösen Sie die Gleichung x22+x1=1.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
x22+x1 = 1 ⋅x2 ↓ Multipliziere mit dem Hauptnenner x2.
2+x = x2 −2−x ↓ Bringe alle Terme auf eine Seite.
0 = x2−x−2 Du hast eine quadratische Gleichung erhalten, die mit der Mitternachtsformel oder mit der pq-Formel gelöst werden kann. Hier wird die pq-Formel verwendet.
Lies aus der Gleichung die Werte für p und q ab:p=−1 und q=−2
x1,2 = −2p±(2p)2−q ↓ Setze p=−1 und q=−2 ein.
= −2(−1)±(2−1)2−(−2) ↓ Vereinfache.
= 21±41+2 = 21±49 = 21±23 x1 = −1 x2 = 2 Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge L={−1;2}.
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Lösen Sie die Gleichung 1−ex5+e2x4=0.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
0 = 1−ex5+e2x4 ⋅e2x ↓ Multipliziere mit dem Hauptnenner e2x.
0 = e2x−5ex+4 ↓ Substituiere ex=z.
0 = z2−5z+4 Du hast eine quadratische Gleichung erhalten, die mit der Mitternachtsformel oder mit der pq-Formel gelöst werden kann. Hier wird die pq-Formel verwendet.
Lies aus der Gleichung die Werte für p und q ab:p=−5 und q=4
z1,2 = −2p±(2p)2−q ↓ Setze p=−5 und q=4 ein.
= −2(−5)±(2−5)2−4 ↓ Vereinfache.
= 25±425−4 = 25±49 = 25±23 z1 = 1 x2 = 4 Rücksubstituieren
Setze z1 und z2 wieder in die Substitutionsgleichung ex=z ein, so erhältst du die zwei Gleichungen: (I)ex=1 und (II)ex=4
Gleichung (I) hat die Lösung x=0.
Die Gleichung (II) hat die Lösung x=ln(4).
Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge L={0;ln(4)}.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Lösen Sie für 0≤x≤2π die Gleichung cos(x)⋅(e−2x+1+1)=0.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz vom Nullprodukt
Wenn das Produkt zweier Faktoren 0 ist, so ist mindestens einer dieser Faktoren gleich 0.
Also ist entweder (I)cos(x)=0 oder (II)e−2x+1+1=0
Lösung für Gleichung (I):
Im Bereich 0≤x≤2π ist cos(2π)=0 und cos(23π)=0
⇒x1=2πundx2=23π
Lösung für Gleichung (II):
e−2x+1+1=0⇒(II′)e−2x+1=−1
Die Gleichung (II′) hat keine Lösung (e−2x+1 ist für alle x immer >0).
Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge L={2π;23π}.
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- 4
Elemente der Kurvendiskussion
Bestimmen Sie die Extrempunkte der Funktion f mit f(x)=e2x+e−x.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema
Ableitungen
Berechne die erste und zweite Ableitung der Funktion. Beachte die Kettenregel.
1. Ableitung
f(x)=e2x+e−x
Die Ableitung von e2x ist 2⋅e2x und von e−x ist (−1)⋅e−x.
f′(x)=2⋅e2x−e−x
2. Ableitung
f′(x)=2⋅e2x−e−x
Die Ableitung von 2⋅e2x ist 2⋅2⋅e2x=4⋅e2x und von −e−x ist e−x.
f′′(x)=4⋅e2x+e−x; f′′(x) ist für alle x>0.
Extrema
Bedingung: f′(x)=0 und f′′(x)=0
Setze die 1. Ableitung gleich 0.
0 = 2⋅e2x−e−x ⋅ex ↓ Beseitige den negativen Exponenten.
0 = 2⋅e3x−e0 ↓ Vereinfache.
0 = 2⋅e3x−1 +1 ↓ Löse nach x auf.
1 = 2⋅e3x :2 0,5 = e3x ln ln(0,5) = 3x :3 31⋅ln(0,5) = x Du hast eine Extremstelle gefunden: xE=31⋅ln(0,5)
Da die zweite Ableitung für alle x>0 ist, handelt es sich bei dem Extremum um einen Tiefpunkt.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Bestimmen Sie den Wendepunkt der Funktion f mit f(x)=(x−1)⋅ex.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte
Ableitungen
Berechne die erste und zweite Ableitung der Funktion.
1. Ableitung
f(x)=(x−1)⋅ex
Wende die Produktregel an:
Schreibe f(x) als Produkt der beiden Funktionen u(x) und v(x).
f(x)=u(x)⋅v(x)⇒u(x)=x−1 und v(x)=ex
u′(x)=1 und v′(x)=ex
f′(x)=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)
f′(x)=1⋅ex+(x−1)⋅ex=ex(1+x−1)=x⋅ex
2. Ableitung
f′(x)=x⋅ex
Wende die Produktregel an:
u(x)=x und v(x)=ex⇒u′(x)=1 und v′(x)=ex
f′′(x)=1⋅ex+x⋅ex=ex⋅(1+x)
Wendepunkte
Bedingung: f′′(x)=0 und Vorzeichenwechsel von f′′(x) bei xW.
Setze die 2. Ableitung gleich 0.
0=ex⋅(1+x)
Wende den Satz vom Nullprodukt an.
1. Faktor: ex=0 für alle x.
2. Faktor: 1+x=0⇒x=−1
Du hast eine mögliche Wendestelle gefunden: xW=−1
Prüfe, ob f′′(x) bei xW das Vorzeichen wechselt.
f′′(−2)=e−2⋅(1−2)=−e−2<0
f′′(0)=e0⋅(1−0)=1>0
Es gibt also einen Vorzeichenwechsel von f′′(x) von − nach + an der Stelle x=−1.
Berechne f(−1):
f(−1)=(−1−1)⋅e−1=−2⋅e−1
Antwort: Der Wendepunkt lautet: WP(−1∣−2⋅e−1)
Hast du eine Frage oder Feedback?
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=2⋅e−x
a) Bestimmen Sie die Gleichung der Normalen von f im Punkt P(−1∣2e).
b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Normalen mit der x-Achse.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normale
Lösung zu a)
Berechne dazu die 1. Ableitung der gegebenen Funktion. Beachte die Kettenregel.
f(x)=2⋅e−x⇒f′(x)=−2⋅e−x
Berechne die Steigung im Punkt P(−1∣2e):
f′(−1)=−2⋅e1
Für die Steigung der Normalen gilt:
mN=−f′(−1)1=−−2⋅e1=2e1
Normalengleichung: