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Pflichtteil

  1. 1

    Ableitung

    1. Bilden Sie die Ableitung der Funktion ff mit f(x)=(2cos(x))3.f(x)=(2-\cos(x))^3.

    2. Bilden Sie die Ableitung der Funktion ff mit f(x)=(x23)sin(3x). f(x) = (x²- 3)\cdot \sin(3x).

    3. Bilden Sie die Ableitung der Funktion ff mit f(x)=(3e2x)3f(x)=(3-e^{-2x})^3

    4. Bilden Sie die Ableitung der Funktion ff mit f(x)=x4(e2x+1)f(x) = x⁴\cdot (e^{2x}+1).

    5. Bilden Sie die Ableitung der Funktion ff mit f(x)=e2x+2xf(x) = e^{-2x}+2\sqrt{x}.

    6. Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion ff mit f(x)=e3x(x2+1)f(x) = e^{-3x}\cdot(x²+ 1)und vereinfachen Sie so weit wie möglich.

  2. 2

    Stammfunktion und Integral

    1. Gegeben ist die Funktion ff mit f(x)=3e2x+12xf(x) = 3\cdot e^{-2x}+\dfrac{1}{2x}.

      Bestimmen Sie eine Stammfunktion FF von ff.

    2. Gegeben ist die Funktion ff mit f(x)=1x2+xf(x)=\dfrac{1}{x^2}+x. Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion FF von ff, deren Schaubild den Punkt (10)(1|0) enthält.

    3. Zeigen Sie, dass F(x)=ln(1+x2)F(x) = \ln(1+x²) eine Stammfunktion von f(x)=2x1+x2f(x) =2\cdot \dfrac{x}{1+x²} ist.

    4. Berechnen Sie das Integral 1e(3x1)dx\displaystyle \int_1^e\left(\frac{3}{x}-1\right)\mathrm{d}x.

    5. Berechnen Sie das Integral 0π4(sin(2x)+1)  dx\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\sin(2x)+1)\;\mathrm{d}x.

    6. Die Funktion f mit f(x)=4xf(x) =\dfrac{4}{\sqrt{x}} schließt mit der x-Achse, der Geraden x=4x = 4 und der y-Achse eine nach oben offene Fläche ein (siehe Skizze). Untersuchen Sie, ob diese Fläche einen endlichen Flächeninhalt hat und bestimmen Sie diesen gegebenenfalls.

      Funktion
  3. 3

    Gleichungslehre

    1. Lösen Sie die Gleichung x5+2x33x=0.x^5 + 2x^3- 3x = 0.

    2. Lösen Sie die Gleichung (2x250)(e2x7)=0.(2x^2 – 50) \cdot (e^{2x} – 7) = 0.

    3. Lösen Sie die Gleichung ex+310ex=0.e^x+3-10\cdot e^{-x}=0.

    4. Lösen Sie die Gleichung (ex3)2=4.(e^{-x} - 3 )^2 = 4.

    5. Lösen Sie für 0x2π0\leq x\leq2\pi die Gleichung (sin(x))22sin(x)=3.(\sin(x))^2- 2\sin(x) = 3.

    6. Lösen Sie die Gleichung 2x2+1x=1.\dfrac{2}{x²} +\dfrac{1}{x}= 1.

    7. Lösen Sie die Gleichung 15ex+4e2x=0.1 −\dfrac{5}{e^{x}}+\dfrac{4}{e^{2x}}=0.

    8. Lösen Sie für 0x2π0 \leq x\leq2\pi die Gleichung cos(x)(e2x+1+1)=0.\cos(x)·(e^{-2x+1} + 1) = 0.

  4. 4

    Elemente der Kurvendiskussion

    1. Bestimmen Sie die Extrempunkte der Funktion ff mit f(x)=e2x+ex.f(x)=e^{2x}+e^{-x}.

    2. Bestimmen Sie den Wendepunkt der Funktion ff mit f(x)=(x1)ex.f(x) = (x-1)\cdot e^{x}.

    3. Gegeben ist die Funktion ff mit f(x)=2exf(x) = 2\cdot e^{-x}

      a) Bestimmen Sie die Gleichung der Normalen von ff im Punkt P(12e)P(-1|2e).

      b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Normalen mit der x-Achse.

    4. Die Funktion ff hat das nebenstehende Schaubild und die Funktionsgleichung

      f(x)=aex+bf(x) = ae^{x} + b , (a,bR).(a,b \in \mathbb{R}).

      Funktion

      a) Bestimmen Sie die Werte von aa und bb.

      b) Berechnen Sie, an welcher Stelle die Funktion ff die Steigung 1- 1 besitzt.

    5. Gegeben sind die Funktionen ff und gg mit f(x)=11x+3\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x}+3 und g(x)=11+x\displaystyle g(x)=-\frac{1}{1+x}.

      Geben Sie die waagrechte Asymptote der Funktion ff an.

      Bestimmen Sie die Stelle, an der ff und gg die gleiche Steigung haben.

    6. Gegeben ist die Funktion f f mit f(x)=ex1+1f(x) = e^{-x-1}+1

      a) Skizzieren Sie das Schaubild von ff.

      b) Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von ff an der Stelle 1-1 und zeichnen Sie die Tangente ein.

    7. Gegeben ist die Funktion ff mit f(x)=22x+1f(x)= 2\cdot \sqrt{2x+1}.

      a) Berechnen Sie die Steigung von ff an der Stelle 1,51{,}5.

      b) Berechnen Sie die Stelle, an der die Funktion ff die Steigung 22 hat.

      c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an der Stelle 00.

    8. Gegeben ist die Funktion ff mit f(x)=sin(x)+1.f(x) = -\sin(x) + 1.

      a) Skizzieren Sie das Schaubild von ff für 0x2π0\leq x\leq 2\pi.

      b) Bestimmen Sie die Steigung von ff an der Stelle x=πx = \pi.

      c) Bestimmen Sie cc so, dass der Ursprung auf dem Schaubild von g(x)=f(x+c)g(x) = f(x+c) liegt.

  5. 5

    Funktionskompetenz

    1. Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitung ff' einer Funktion ff. Begründen Sie, ob folgende Aussagen über die Funktion f f wahr, falsch oder unentscheidbar sind.

      Funktion

      a) An der Stelle 00 hat das Schaubild von ff einen Hochpunkt.

      b) Für 0x20\leq x \leq 2 ist f(x)0f(x)\leq 0.

      c) Das Schaubild von ff ist punktsymmetrisch zum Ursprung für 1<x<1-1 \lt x \lt 1.

      d) An der Stelle 22 hat das Schaubild von ff einen Wendepunkt.

    2. Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitung ff' einer Funktion ff.

      Funktion

      a) Begründen Sie, welche Aussagen man in dem dargestellten Bereich hinsichtlich der Anzahl der

      - Extremstellen,

      - Wendestellen

      und Nullstellen

      von ff man treffen kann.

      b) Begründen Sie, dass 23f(x)dx<0\displaystyle \int_{-2}^3f'(x)\,\mathrm{d}x<0 gilt.

    3. Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitung ff' einer Funktion ff.

      Funktion

      Begründen Sie, ob folgende Aussagen über die Funktion ff wahr, falsch oder unentscheidbar sind.

      a) Bei x=0 x = 0 besitzt das Schaubild von ff einen Extrempunkt.

      b) Bei x=2x = -2 besitzt das Schaubild von f eine waagrechte Tangente.

      c) Das Schaubild der Funktion f f besitzt keine Wendepunkte.

      d) f(x)>0f(x) \gt 0 für x>2x \gt -2.

    4. Gegeben sind die Schaubilder zweier Funktionen ff und g.g. Eine der beiden Funktionen ist die Ableitungsfunktion der anderen Funktion.

      Funktion und Ableitung

      a) Begründen Sie, dass die Funktion f f die Ableitung der Funktion gg ist.

      b) Die Funktion gg hat die Funktionsgleichung g(x)=eax+bg(x) = e^{ax}+b. Bestimmen Sie aa und b.b.

    5. Die 4 Abbildungen zeigen die Schaubilder von Funktionen. Eines dieser Schaubilder gehört zu der Funktion ff mit f(x)=a1+x21f(x)=\dfrac{a}{1+x²}-1 .

      Funktion
      Funktion
      Funktion
      Funktion

      a) Begründen Sie, dass Abbildung 2 zur Funktion f f gehört. Bestimmen Sie den Wert von a.

      b) Von den anderen drei Abbildungen gehört eine zur Ableitungsfunktion f f' und eine zur Integralfunktion II mit I(x)=2xf(t)dtI(x)=\int_{2}^{x} f(t) \mathrm{d}t. Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehörigen Abbildungen zu und begründen Sie jeweils Ihre Zuordnung.

  6. 6

    Lineare Gleichungssysteme, Inzidenzgeometrie

    1. Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Linearen Gleichungssystems.

      x1+x2+7x3=2x_1 + x_2 +7x_3 = 2

      2x1x23x3=52x_1 - x_2 - 3x_3 = -5

      4x1x2+4x3=7.4x_1 - x_2 + 4x_3 = -7.

    2. Stellen Sie den Vektor v=(1457)\vec{v}= \begin{pmatrix} 14 \\ -5 \\ 7 \end{pmatrix} als Linearkombination der drei Vektoren

      a=(013)\vec{a}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}, b=(137)\vec{b}= \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix}und c=(522)\vec{c}= \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}dar.

    3. Gegeben sind die Ebenen E1:(x(006))(232)=0E_1:\begin{pmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6\end{pmatrix} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 3 \\ 2\end{pmatrix}=0 und E2:x3=2.E_2 : x_3 = 2.

      a) Stellen Sie die Ebenen E1E_1 und E2E_2 in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar.

      b) Zeichnen Sie die Schnittgerade g g von E1E_1und E2E_2 ein und bestimmen Sie die Gleichung der Schnittgeraden.

    4. Gegeben sind die Ebenen E:x1+2x2=4E:x_1+2x_2=4 und F:2x1+x2+2x3=8.F : 2x_1 + x_2 + 2x_3 = 8.

      a) Stellen Sie die Ebenen EE und F F in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar.

      b) Zeichnen Sie die Schnittgerade von EE und F F ein und bestimmen Sie die Gleichung der Schnittgeraden.

    5. a) Geben Sie die Gleichung der Ebene EE an, welche die Spurpunkte (004)(0|0|4) und (030)(0|-3|0) und keinen Schnittpunkt mit der x1x_1-Achse hat.

      b) Geben Sie die Gleichung der Ebene FF an, welche den Punkt A(331A(3|-3|-1) enthält und parallel zur Ebene E:x1=2E:x_1=2 ist.

      c) Geben Sie die Gleichung der Geraden gg an, welche durch den Punkt P(514)P(5|1|-4) geht und senkrecht zur Ebene

      E:(x(120))(210)=0E:\begin{pmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2\\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=0 steht.

    6. Gegeben sind die Geraden g g und hh mit g:x=(410)+r(315)g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1\\ 5 \end{pmatrix} und

      h:x=(411)+r(9315)h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot\begin{pmatrix} -9 \\ 3 \\ -15 \end{pmatrix}

      a) Zeigen Sie, dass gg und hh parallel, aber nicht identisch sind.

      b) Geben Sie eine Gleichung der Ebene an, in der die Geraden gg und hh liegen.

  7. 7

    Metrische Geometrie

    1. Gegeben sind die beiden Ebenen EE und FF mit

      E:x=(123)+s(101)+t(112)E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+ t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}; s,tRs,t\in\mathbb{R} und

      F:x1x2+x31=0.F: x_1 – x_2 + x_3 - 1 = 0.

      a) Weisen Sie nach, dass EE und FF parallel zueinander liegen.

      b) Bestimmen Sie den Abstand von EE und FF.

    2. Gegeben sind die Punkte A(301),A(3|0|1), B(622) B(6|2|2) und C(035). C(0|3|5). Die Ebene EE enthält die Punkte A,BA,B und C.C.

      a) Bestimmen Sie die Gleichung von EE in Normalenform und Koordinatenform.

      b) Untersuchen Sie die Lage der Ebene EE zur Geraden gg mit

      g:x=(401)+t(210)g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

    3. Gegeben ist die Gerade gg mit g:x=(327)+t(214)g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix}; tRt\in\mathbb{R} und hh mit

      h:x=(735)+s(121)h:\vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}; sRs\in\mathbb{R}

      a) Zeigen Sie, dass die Geraden gg und hh orthogonal zueinander liegen.

      b) Untersuchen Sie, ob sich gg und hh auch schneiden.

    4. Gegeben sind die Punkte A(1200)A(12|0|0), B(4105)B(4|10|5) und C(284).C (2|8|4).

      a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABCABC rechtwinklig ist.

      b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABCABC.

    5. Gegeben sind die Punkte A(130),B(374)A(1|3|0), B(3|7|-4) und C(281) C(2|8|1).

      Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABCABC.

    6. Gegeben sind die Punkte A(701),B(531)A(-7|0|1), B(-5|3|1) und C(401)C(-4|0|-1).

      a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABCABC gleichschenklig ist.

      b) Das Dreieck ABCABC lässt sich so durch einen Punkt PP ergänzen, dass eine Raute entsteht. Bestimmen Sie die Koordinaten von PP.

      c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABCABC.

  8. 8

    Stochastik

    1. Ein Auto hat einen Wert von 30000€ und soll von eine Versicherung jährlich gegen Schäden versichert werden.

      Die Autoversicherung erwartet, dass bei 10000 versicherten Autos des gleichen Typs pro Jahr folgende Schadensfälle passieren:

      - 10 Versicherungsfälle mit einem Totalschaden,

      - 50 Versicherungsfälle mit einem durchschnittlichen Schaden von 10000€,

      - 250 kleinere Schäden mit einem durchschnittlichen Schaden von 2000€.

      Berechnen Sie, welchen Versicherungsbeitrag die Versicherung jährlich anbieten sollte, wenn Sie pro Kunden einen Gewinn von 100 € (ohne Verwaltungskosten) erwirtschaften möchte.

    2. Ein Biathlet trifft erfahrungsgemäß bei 80% seiner Schüsse die Scheibe.

      a) Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit er bei drei Schüssen

      - nur den mit dem ersten Schuss

      - mindestens einen Schuss trifft.

      b) Für ein Ereignis AA gilt: P(A)=(10a)b70,2cP(A)= \begin{pmatrix} 10 \\ a \end{pmatrix} \cdot b⁷ \cdot 0{,}2^{c}. Geben Sie geeignete Werte für aa, bb und cc an. Beschreiben Sie das Ereignis AA in Worten.

    3. Ein Chuck-your-luck ist ein Würfelspiel aus Amerika. Der Spieler setzt einen Dollar und würfelt dann dreimal. Für jede Sechs erhält er von der Bank einen Dollar.

      a) Die Zufallsvariable XX soll den Gewinn des Spielers angeben. Geben Sie die möglichen Werte von XX und ihre jeweilige Wahrscheinlichkeit an.

      b) Untersuchen Sie, ob das Spiel fair ist.

    4. Auf einem Tisch liegen verdeckt 44 Kreuz-Karten und nn Herz-Karten.Es werden zwei Karten aufgedeckt.

      Berechnen Sie, für welche Werte von nn die Wahrscheinlichkeit, dass unter den aufgedeckten Karten genau eine Herzkarte ist, gleich 815\dfrac{8}{15} ist.

    5. In einem Behälter befinden sich 22 weiße und 33 schwarze Kugeln. Es werden 22 Kugeln mit Zurücklegen gezogen.

      a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der beiden Kugeln weiß ist.

      b) Berechnen Sie, wie viele weiße Kugeln sich in dem Behälter befinden müssten, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine weiße Kugel zu ziehen, 0,910{,}91 betragen hätte.

  9. 9

    Beschreiben, Verstehen, Begründen

    1. Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen E1E_1 und E2 E_2. Die Ebene FF ist parallel zu E1E_1 und E2E_2 und hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand.

      Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man eine Gleichung der Ebene FF bestimmen kann.

    2. Gegeben ist eine Ebene EE. Gesucht ist eine zu EE parallele Ebene FF im

      Abstand 3.

      Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man eine Gleichung der Ebene FF bestimmen kann.

    3. Die vier Punkte A,B,CA, B, C und DD bilden ein Parallelogramm im Raum. Des Weiteren ist ein Punkt PP gegeben.

      Beschreiben Sie ein Verfahren, um festzustellen ob der Punkt PP im Parallelogramm ABCDABCD liegt.

    4. Skizzieren Sie das Schaubild einer Funktion ff mit folgenden Eigenschaften:

      f(x)>0,f(x)>0f(x)\gt0, f'(x)\gt0 und f(x)<0f''(x)\lt0

      Begründen Sie: Ist f(x)<0f''(x)\lt0, so ist das Schaubild von ff eine Rechtskurve.

    5. Für ein Ereignis AA bei der mehrmaligen Durchführung eines Bernoulli-Experimentes gilt

      P(A)=1((1513)0,6130,42+150,6140,4+0,615)P\left(A\right)=1-\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 15 \\ 13 \end{pmatrix} \cdot 0{,}6^{13} \cdot 0{,}4^{2}+15 \cdot 0{,}6^{14} \cdot 0{,}4+ 0{,}6^{15}\end{pmatrix}

      Beschreiben Sie das Ereignis AA in Worten.


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