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SerloDie freie Lernplattform

Pflichtteil

  1. 1

    Ableitung

    1. Bilden Sie die Ableitung der Funktion ff mit f(x)=(2cos(x))3.f(x)=(2-\cos(x))^3.

    2. Bilden Sie die Ableitung der Funktion ff mit f(x)=(x23)sin(3x). f(x) = (x²- 3)\cdot \sin(3x).

    3. Bilden Sie die Ableitung der Funktion ff mit f(x)=(3e2x)3f(x)=(3-e^{-2x})^3

    4. Bilden Sie die Ableitung der Funktion ff mit f(x)=x4(e2x+1)f(x) = x⁴\cdot (e^{2x}+1).

    5. Bilden Sie die Ableitung der Funktion ff mit f(x)=e2x+2xf(x) = e^{-2x}+2\sqrt{x}.

    6. Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion ff mit f(x)=e3x(x2+1)f(x) = e^{-3x}\cdot(x²+ 1)und vereinfachen Sie so weit wie möglich.

  2. 2

    Stammfunktion und Integral

    1. Gegeben ist die Funktion ff mit f(x)=3e2x+12xf(x) = 3\cdot e^{-2x}+\dfrac{1}{2x}.

      Bestimmen Sie eine Stammfunktion FF von ff.

    2. Gegeben ist die Funktion ff mit f(x)=1x2+xf(x)=\dfrac{1}{x^2}+x. Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion FF von ff, deren Schaubild den Punkt (10)(1|0) enthält.

    3. Zeigen Sie, dass F(x)=ln(1+x2)F(x) = \ln(1+x²) eine Stammfunktion von f(x)=2x1+x2f(x) =2\cdot \dfrac{x}{1+x²} ist.

    4. Berechnen Sie das Integral 1e(3x1)dx\displaystyle \int_1^e\left(\frac{3}{x}-1\right)\mathrm{d}x.

    5. Berechnen Sie das Integral 0π4(sin(2x)+1)  dx\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\sin(2x)+1)\;\mathrm{d}x.

    6. Die Funktion f mit f(x)=4xf(x) =\dfrac{4}{\sqrt{x}} schließt mit der x-Achse, der Geraden x=4x = 4 und der y-Achse eine nach oben offene Fläche ein (siehe Skizze). Untersuchen Sie, ob diese Fläche einen endlichen Flächeninhalt hat und bestimmen Sie diesen gegebenenfalls.

      Funktion
  3. 3

    Gleichungslehre

    1. Lösen Sie die Gleichung x5+2x33x=0.x^5 + 2x^3- 3x = 0.

    2. Lösen Sie die Gleichung (2x250)(e2x7)=0.(2x^2 – 50) \cdot (e^{2x} – 7) = 0.

    3. Lösen Sie die Gleichung ex+310ex=0.e^x+3-10\cdot e^{-x}=0.

    4. Lösen Sie die Gleichung (ex3)2=4.(e^{-x} - 3 )^2 = 4.

    5. Lösen Sie für 0x2π0\leq x\leq2\pi die Gleichung (sin(x))22sin(x)=3.(\sin(x))^2- 2\sin(x) = 3.

    6. Lösen Sie die Gleichung 2x2+1x=1.\dfrac{2}{x²} +\dfrac{1}{x}= 1.

    7. Lösen Sie die Gleichung 15ex+4e2x=0.1 −\dfrac{5}{e^{x}}+\dfrac{4}{e^{2x}}=0.

    8. Lösen Sie für 0x2π0 \leq x\leq2\pi die Gleichung cos(x)(e2x+1+1)=0.\cos(x)·(e^{-2x+1} + 1) = 0.

  4. 4

    Elemente der Kurvendiskussion

    1. Bestimmen Sie die Extrempunkte der Funktion ff mit f(x)=e2x+ex.f(x)=e^{2x}+e^{-x}.

    2. Bestimmen Sie den Wendepunkt der Funktion ff mit f(x)=(x1)ex.f(x) = (x-1)\cdot e^{x}.

    3. Gegeben ist die Funktion ff mit f(x)=2exf(x) = 2\cdot e^{-x}

      a) Bestimmen Sie die Gleichung der Normalen von ff im Punkt P(12e)P(-1|2e).

      b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Normalen mit der x-Achse.