Ableitungen

Berechne die erste und zweite Ableitung der Funktion. Beachte die Kettenregel.

1. Ableitung

$f(x)=e^{2x}+e^{-x}$

Die Ableitung von $e^{2x}$ ist $2\cdot e^{2x}$ und von $e^{-x}$ ist $(-1) \cdot e^{−x}$.

$f'(x)=2\cdot e^{2x}- e^{−x}$

2. Ableitung

$f'(x)=2\cdot e^{2x}- e^{−x}$

Die Ableitung von $2\cdot e^{2x}$ ist $2\cdot 2\cdot e^{2x}=4\cdot e^{2x}$ und von $- e^{−x}$ ist $e^{−x}$.

$f''(x)=4\cdot e^{2x}+ e^{-x}$; $f''(x)$ ist für alle $x>0$.

Extrema

Bedingung: $f'(x)=0$ und $f''(x)\neq 0$

Setze die 1. Ableitung gleich $0$.

Du hast eine Extremstelle gefunden: $x_E=\frac{1}{3}\cdot \ln(0{,}5)$

Da die zweite Ableitung für alle $x>0$ ist, handelt es sich bei dem Extremum um einen Tiefpunkt.

Ableitungen

Berechne die erste und zweite Ableitung der Funktion.

1. Ableitung

$f(x) = (x-1)\cdot e^{x}$

Wende die Produktregel an:

Schreibe $f(x)$ als Produkt der beiden Funktionen $u(x)$ und $v(x)$.

$f(x)=u(x) \cdot v(x)\;\;\Rightarrow u(x)=x-1$ und $v(x) =e^x$

$u'(x)=1$ und $v'(x)=e^x$

$f'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)$

$f'(x)=1\cdot e^{x}+(x-1)\cdot e^{x}=e^x(1+x-1)=x\cdot e^x$

2. Ableitung

$f'(x)=x\cdot e^{x}$

Wende die Produktregel an:

$u(x)=x$ und $v(x) =e^x\;\;\Rightarrow u'(x)=1$ und $v'(x)=e^x$

$f''(x)=1\cdot e^x+x \cdot e^x=e^x \cdot (1+x)$

Wendepunkte

Bedingung: $f''(x)=0$ und Vorzeichenwechsel von $f''(x)$ bei $x_W$.$$

Setze die 2. Ableitung gleich $0$.

$0=e^x \cdot (1+x)$

Wende den Satz vom Nullprodukt an.

1. Faktor: $e^x \neq 0$ für alle $x$.

2. Faktor: $1+x=0\;\Rightarrow \;x=-1$

Du hast eine mögliche Wendestelle gefunden: $x_W=-1$

Prüfe, ob$f''(x)$ bei $x_W$​ das Vorzeichen wechselt.

$f''(-2)=e^{-2}\cdot(1-2)=-e^{-2}<0$

$f''(0)=e^{0}\cdot(1-0)=1>0$

Es gibt also einen Vorzeichenwechsel von $f''(x)$ von $-$ nach $+$ an der Stelle $x=-1$.

Berechne $f(-1)$:

$f(-1)=(-1-1)\cdot e^{-1}=-2\cdot e^{-1}$

Antwort: Der Wendepunkt lautet: $\text{WP}(-1|-2\cdot e^{-1})$

Lösung zu a)

Berechne dazu die 1. Ableitung der gegebenen Funktion. Beachte die Kettenregel.

$f(x) = 2\cdot e^{-x}\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=-2\cdot e^{-x}$

Berechne die Steigung im Punkt $P(-1|2e)$:

$f'(-1)=-2\cdot e^{1}$

Für die Steigung der Normalen gilt:

$m_N=-\dfrac{1}{f'(-1)}=-\dfrac{1}{-2\cdot e}=\dfrac{1}{2e}$

Normalengleichung: $y_N=m_N\cdot x+b=\dfrac{1}{2e}\cdot x+b$

Setze $P(-1|2e)$ in $y_N$ ein und berechne $b$:

$2e=\dfrac{1}{2e}\cdot (-1)+b\;\;\Rightarrow \;\;b=2e+\dfrac{1}{2e}$

Antwort: Die Gleichung der Normalen im Punkt $P(-1|2e)$ lautet:

Lösung zu b)

Schnittpunkt der Normalen mit der x-Achse:

Setze $y_N=0$:

Antwort: Der Schnittpunkt der Normalen mit der x-Achse lautet: $N(-4e^2-1|0)$

Lösung zu a)

Es gilt: $\displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=3\;\Rightarrow b=3$

Damit ist $f(x) = ae^{x}+3$.

Aus der Abbildung entnimmst du:

$f(0)=1\;\Rightarrow\;1=ae^{0}+3\;\Rightarrow\;a=-2$

Antwort: Die gesuchten Werte lauten $a=-2$ und $b=3$.

Lösung zu b)

Die Funktion $f(x)$ ist demnach $f(x)=-2e^x+3$.

Die 1. Ableitung von $f(x)$ ist dann: $f'(x)=-2e^x$.

Gesucht ist $f'(x)=-1$

Antwort: An der Stelle $x=\ln(\frac{1}{2})=-\ln(2)$ hat die Funktion $f(x)$ die Steigung $- 1$.

Lösung zu a)

Es gilt: $\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\left(\underbrace{\dfrac{1}{1-x}}_{\rightarrow 0}+3\right)=3\;\Rightarrow y_A=3$

Antwort: Die waagrechte Asymptote der Funktion $f(x)$ lautet $y_A=3$.

Lösung zu b)

Berechne die Ableitungen von $f(x)$ und $g(x)$:

$f(x)=\dfrac{1}{1-x}+3=(1-x)^{-1}+3$

Beachte die Kettenregel:

$f'(x)=-(1-x)^{-2}\cdot (-1)=(1-x)^{-2}=\dfrac{1}{(1-x)^2}$

$g(x)=-\dfrac{1}{1+x}=-(1+x)^{-1}$

$g'(x)=-(-1)\cdot (1+x)^{-2}\cdot(1)=(1+x)^{-2}=\dfrac{1}{(1+x)^2}$

Setze $f'(x)=g'(x):$

Antwort: An der Stelle $x=0$ haben $f(x)$ und $g(x)$ die gleiche Steigung.

Lösung zu a)

Lösung zu b)

Berechne die 1. Ableitung der gegebenen Funktion und beachte die Kettenregel:

$f'(x)=e^{-x-1}\cdot(-1)+0=-e^{-x-1}$

An der Stelle $x=-1$ hat $f'(x)$ den Wert $-e^{-(-1)-1}=-e^{1-1}=-e^{0}=-1$

Für die Tangente im Punkt $A(-1|2)$ ergibt sich dann die Gleichung:

$y_T=m\cdot x+b=f'(-1)\cdot x+b=-1\cdot x+b$

Setze $A$ in $y_T$ ein: $2=-1\cdot (-1)+b=1+b\;\Rightarrow\;b=1$

Antwort: Die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f(x)$ an der Stelle $x=-1$ lautet $y_T=-x+1$

Lösung zu a)

Berechne die 1. Ableitung der gegebenen Funktion und beachte die Kettenregel:

$f(x)= 2\cdot \sqrt{2x+1}=2\cdot (2x+1)^{\frac{1}{2}}$

$f'(x)=2\cdot \frac{1}{2}\cdot (2x+1)^{-\frac{1}{2}}\cdot 2=2\cdot(2x+1)^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{2x+1}}$

$f'(1{,}5)=\dfrac{2}{\sqrt{2\cdot 1{,}5+1}}=\dfrac{2}{\sqrt{4}}=\dfrac{2}{2}=1$

Antwort: Die Steigung von $f(x)$ an der Stelle $x=1{,}5$ beträgt $1$.

Lösung zu b)

Setze $f'(x)=2$:

Antwort: An der Stelle $x=0$ hat die Funktion $f(x)$ die Steigung $2$.

Lösung zu c)

Aus b) folgt $f'(0)=2$ und $f(0)= 2\cdot \sqrt{2\cdot 0+1}=2$$\;\Rightarrow \;A(0|2)$

Für die Tangente im Punkt $A(0|2)$ ergibt sich dann die Gleichung:

$y_T=m\cdot x+b=f'(0)\cdot x+b=2\cdot x+b$

Setze $A$ in $y_T$ ein: $2=2\cdot 0+b\;\Rightarrow\;b=2$

Antwort: Die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f(x)$ an der Stelle $x=0$ lautet $y_T=2x+2$

Lösung zu a)

Lösung zu b)

Berechne die 1. Ableitung der gegebenen Funktion:

$f'(x)=-\cos(x)$

$f'(\pi)=-\cos(\pi)=-(-1)=1$

Antwort: Die Steigung von $f(x)$ an der Stelle $x = \pi$ beträgt $1$.

Lösung zu c)

Aus der Abbildung zu a) kannst du entnehmen, dass die Funktion $f(x)$ um $\dfrac{\pi}{2}$ nach links verschoben werden muss.

$g(x) = f(x+c)=-\sin (x+\frac{\pi}{2}) + 1\;\Rightarrow \; c=\dfrac{\pi}{2}$

Antwort: Für $c=\dfrac{\pi}{2}$ liegt der Ursprung auf dem Schaubild von $g(x) = f(x+c)$.