Ableitungen

Berechne die erste und zweite Ableitung der Funktion. Beachte die Kettenregel.

1. Ableitung

$f(x)=e^{2x}+e^{-x}$

Die Ableitung von $e^{2x}$ ist $2\cdot e^{2x}$ und von $e^{-x}$ ist $(-1)\cdot e^{-x}$.

$f^{\prime }(x)=2\cdot e^{2x}-e^{-x}$

2. Ableitung

$f^{\prime }(x)=2\cdot e^{2x}-e^{-x}$

Die Ableitung von $2\cdot e^{2x}$ ist $2\cdot 2\cdot e^{2x}=4\cdot e^{2x}$ und von $-e^{-x}$ ist $e^{-x}$.

$f^{\prime \prime }(x)=4\cdot e^{2x}+e^{-x}$; $f^{\prime \prime }(x)$ ist für alle $x>0$.

Extrema

Bedingung: $f^{\prime }(x)=0$ und $f^{\prime \prime }(x)\ne 0$

Setze die 1. Ableitung gleich $0$.

Du hast eine Extremstelle gefunden: $x_E=\frac{1}{3}\cdot \ln (\mathrm{0,5})$

Da die zweite Ableitung für alle $x>0$ ist, handelt es sich bei dem Extremum um einen Tiefpunkt.

Ableitungen

Berechne die erste und zweite Ableitung der Funktion.

1. Ableitung

$f(x)=(x-1)\cdot e^x$

Wende die Produktregel an:

Schreibe $f(x)$ als Produkt der beiden Funktionen $u(x)$ und $v(x)$.

$f(x)=u(x)\cdot v(x)\Rightarrow u(x)=x-1$ und $v(x)=e^x$

$u^{\prime }(x)=1$ und $v^{\prime }(x)=e^x$

$f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x)$

$f^{\prime }(x)=1\cdot e^x+(x-1)\cdot e^x=e^x(1+x-1)=x\cdot e^x$

2. Ableitung

$f^{\prime }(x)=x\cdot e^x$

Wende die Produktregel an:

$u(x)=x$ und $v(x)=e^x\Rightarrow u^{\prime }(x)=1$ und $v^{\prime }(x)=e^x$

$f^{\prime \prime }(x)=1\cdot e^x+x\cdot e^x=e^x\cdot (1+x)$

Wendepunkte

Bedingung: $f^{\prime \prime }(x)=0$ und Vorzeichenwechsel von $f^{\prime \prime }(x)$ bei $x_W$.$$

Setze die 2. Ableitung gleich $0$.

$0=e^x\cdot (1+x)$

Wende den Satz vom Nullprodukt an.

1. Faktor: $e^x\ne 0$ für alle $x$.

2. Faktor: $1+x=0\Rightarrow x=-1$

Du hast eine mögliche Wendestelle gefunden: $x_W=-1$

Prüfe, ob$f^{\prime \prime }(x)$ bei $x_W$​ das Vorzeichen wechselt.

$f^{\prime \prime }(-2)=e^{-2}\cdot (1-2)=-e^{-2}<0$

$f^{\prime \prime }(0)=e^0\cdot (1-0)=1>0$

Es gibt also einen Vorzeichenwechsel von $f^{\prime \prime }(x)$ von $-$ nach $+$ an der Stelle $x=-1$.

Berechne $f(-1)$:

$f(-1)=(-1-1)\cdot e^{-1}=-2\cdot e^{-1}$

Antwort: Der Wendepunkt lautet: $\text{WP}(-1|-2\cdot e^{-1})$

Lösung zu a)

Berechne dazu die 1. Ableitung der gegebenen Funktion. Beachte die Kettenregel.

$f(x)=2\cdot e^{-x}\Rightarrow f^{\prime }(x)=-2\cdot e^{-x}$

Berechne die Steigung im Punkt $P(-1|2e)$:

$f^{\prime }(-1)=-2\cdot e^1$

Für die Steigung der Normalen gilt:

$m_N=-{\displaystyle \frac{1}{f^{\prime }(-1)}}=-{\displaystyle \frac{1}{-2\cdot e}}={\displaystyle \frac{1}{2e}}$

Normalengleichung: $y_N=m_N\cdot x+b={\displaystyle \frac{1}{2e}}\cdot x+b$

Setze $P(-1|2e)$ in $y_N$ ein und berechne $b$:

$2e={\displaystyle \frac{1}{2e}}\cdot (-1)+b\Rightarrow b=2e+{\displaystyle \frac{1}{2e}}$

Antwort: Die Gleichung der Normalen im Punkt $P(-1|2e)$ lautet:

Lösung zu b)

Schnittpunkt der Normalen mit der x-Achse:

Setze $y_N=0$:

Antwort: Der Schnittpunkt der Normalen mit der x-Achse lautet: $N(-4e^2-1|0)$

Lösung zu a)

Es gilt: $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=3\Rightarrow b=3}$$

Damit ist $f(x)=a{e}^x+3$.

Aus der Abbildung entnimmst du:

$f(0)=1\Rightarrow 1=a{e}^0+3\Rightarrow a=-2$

Antwort: Die gesuchten Werte lauten $a=-2$ und $b=3$.

Lösung zu b)

Die Funktion $f(x)$ ist demnach $f(x)=-2e^x+3$.

Die 1. Ableitung von $f(x)$ ist dann: $f^{\prime }(x)=-2e^x$.

Gesucht ist $f^{\prime }(x)=-1$

Antwort: An der Stelle $x=\ln (\frac{1}{2})=-\ln (2)$ hat die Funktion $f(x)$ die Steigung $-1$.

Lösung zu a)

Es gilt: $${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }(\underset{\to 0}{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{1-x}}}}+3)=3\Rightarrow y_A=3}$$

Antwort: Die waagrechte Asymptote der Funktion $f(x)$ lautet $y_A=3$.

Lösung zu b)

Berechne die Ableitungen von $f(x)$ und $g(x)$:

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{1-x}}+3=(1-x{)}^{-1}+3$

Beachte die Kettenregel:

$f^{\prime }(x)=-(1-x{)}^{-2}\cdot (-1)=(1-x{)}^{-2}={\displaystyle \frac{1}{(1-x{)}^2}}$

$g(x)=-{\displaystyle \frac{1}{1+x}}=-(1+x{)}^{-1}$

$g^{\prime }(x)=-(-1)\cdot (1+x{)}^{-2}\cdot (1)=(1+x{)}^{-2}={\displaystyle \frac{1}{(1+x{)}^2}}$

Setze $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x):$

Antwort: An der Stelle $x=0$ haben $f(x)$ und $g(x)$ die gleiche Steigung.

Lösung zu a)

Lösung zu b)

Berechne die 1. Ableitung der gegebenen Funktion und beachte die Kettenregel:

$f^{\prime }(x)=e^{-x-1}\cdot (-1)+0=-e^{-x-1}$

An der Stelle $x=-1$ hat $f^{\prime }(x)$ den Wert $-e^{-(-1)-1}=-e^{1-1}=-e^0=-1$

Für die Tangente im Punkt $A(-1|2)$ ergibt sich dann die Gleichung:

$y_T=m\cdot x+b=f^{\prime }(-1)\cdot x+b=-1\cdot x+b$

Setze $A$ in $y_T$ ein: $2=-1\cdot (-1)+b=1+b\Rightarrow b=1$

Antwort: Die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f(x)$ an der Stelle $x=-1$ lautet $y_T=-x+1$

Lösung zu a)

Berechne die 1. Ableitung der gegebenen Funktion und beachte die Kettenregel:

$f(x)=2\cdot \sqrt{2x+1}=2\cdot (2x+1{)}^{\frac{1}{2}}$

$f^{\prime }(x)=2\cdot \frac{1}{2}\cdot (2x+1{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot 2=2\cdot (2x+1{)}^{-\frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2x+1}}}$

$f^{\prime }(\mathrm{1,5})={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2\cdot \mathrm{1,5}+1}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{4}}}={\displaystyle \frac{2}{2}}=1$

Antwort: Die Steigung von $f(x)$ an der Stelle $x=\mathrm{1,5}$ beträgt $1$.

Lösung zu b)

Setze $f^{\prime }(x)=2$:

Antwort: An der Stelle $x=0$ hat die Funktion $f(x)$ die Steigung $2$.

Lösung zu c)

Aus b) folgt $f^{\prime }(0)=2$ und $f(0)=2\cdot \sqrt{2\cdot 0+1}=2$$\Rightarrow A(0|2)$

Für die Tangente im Punkt $A(0|2)$ ergibt sich dann die Gleichung:

$y_T=m\cdot x+b=f^{\prime }(0)\cdot x+b=2\cdot x+b$

Setze $A$ in $y_T$ ein: $2=2\cdot 0+b\Rightarrow b=2$

Antwort: Die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f(x)$ an der Stelle $x=0$ lautet $y_T=2x+2$

Lösung zu a)

Lösung zu b)

Berechne die 1. Ableitung der gegebenen Funktion:

$f^{\prime }(x)=-\cos (x)$

$f^{\prime }(\pi )=-\cos (\pi )=-(-1)=1$

Antwort: Die Steigung von $f(x)$ an der Stelle $x=\pi$ beträgt $1$.

Lösung zu c)

Aus der Abbildung zu a) kannst du entnehmen, dass die Funktion $f(x)$ um ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ nach links verschoben werden muss.

$g(x)=f(x+c)=-\sin (x+\frac{\pi }{2})+1\Rightarrow c={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

Antwort: Für $c={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ liegt der Ursprung auf dem Schaubild von $g(x)=f(x+c)$.