Die gegebene Funktion ist eine Summe aus zwei Funktionen $u(x)+v(x)u(x)+v(x)$, sodass für jede dieser beiden Funktionen eine Stammfunktion ermittelt werden kann.

$u(x)=3\cdot e^{-2x}u(x)=3\backslash cdot\; e^\{-2x\}$

Die $33$ bleibt als konstanter Vorfaktor erhalten und zu $e^{-2x}e^\{-2x\}$ ist $-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-2x}-\backslash dfrac\{1\}\{2\}\; e^\{-2x\}$ eine Stammfunktion $\Rightarrow U(x)=3\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{2}})e^{-2x}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}{e}^{-2x}\backslash ;\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ;U(x)=3\backslash cdot\; \backslash left(\; -\backslash dfrac\{1\}\{2\}\; \backslash right)e^\{-2x\}=-\backslash dfrac\{3\}\{2\}\; e^\{-2x\}$

$v(x)={\displaystyle \frac{1}{2x}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}v(x)=\backslash dfrac\{1\}\{2x\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash dfrac\{1\}\{x\}$

Die ${\displaystyle \frac{1}{2}}\backslash dfrac\{1\}\{2\}$ bleibt als konstanter Vorfaktor erhalten und zu ${\displaystyle \frac{1}{x}}\backslash dfrac\{1\}\{x\}$ ist $\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\backslash ln|x|$ eine Stammfunktion $\Rightarrow V(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\backslash ;\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ;V(x)=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\; \backslash ln|x|$

Eine Stammfunktion ist also:

Die gegebene Funktion ist eine Summe aus zwei Funktionen $u(x)u(x)$+$v(x)v(x)$, sodass für jede dieser beiden Funktionen eine Stammfunktion ermittelt werden kann.

$u(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2}}=x^{-2}u(x)=\backslash dfrac\{1\}\{x^2\}=x^\{-2\}$

Zu $x^{-2}x^\{-2\}$ ist $-x^{-1}-x^\{-1\}$ eine Stammfunktion $\Rightarrow U(x)=-x^{-1}\backslash ;\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ;U(x)=-x^\{-1\}$

$v(x)=xv(x)=x$

Zu $xx$ ist $\frac{1}{2}\cdot x^2\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; x^2$ eine Stammfunktion $\Rightarrow V(x)=\frac{1}{2}{x}^2\backslash ;\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ;V(x)=\backslash frac\{1\}\{2\}x^2$

Die Menge aller Stammfunktionen ist also:

Gesucht ist die Stammfunktion $FF$ von $ff$, deren Schaubild den Punkt $(1\mathrm{\mid }0)(1|0)$ enthält, d.h.

$F(1)=0\Rightarrow 0=-1^{-1}+\frac{1}{2}{1}^2+CF(1)=0\backslash ;\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ;0=-1^\{-1\}+\backslash frac\{1\}\{2\}1^2+C$

$0=-1+\frac{1}{2}+C\Rightarrow 0=-\frac{1}{2}+C\Rightarrow C=\frac{1}{2}0=-1+\backslash frac\{1\}\{2\}+C\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;0=-\backslash frac\{1\}\{2\}+C\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;C=\backslash frac\{1\}\{2\}$

${\displaystyle F(x)=-x^{-1}+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}\backslash displaystyle\; F(x)=-x^\{-1\}+\backslash frac\{1\}\{2\}x^2+\backslash frac\{1\}\{2\}$ oder ${\displaystyle F(x)=-\frac{1}{x}+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}\backslash displaystyle\; F(x)=-\backslash frac\{1\}\{x\}+\backslash frac\{1\}\{2\}x^2+\backslash frac\{1\}\{2\}$

Berechne die Ableitung von $F(x):F(x):$

Beachte, dass es sich bei $F(x)F(x\; )$ um eine verkettete Funktion handelt.

Zerlege die Funktion $F(x)F(x)$, sodass die Kettenregel angewendet werden kann. Die äußere Funktion ist die natürliche Logarithmusfunktion $g(x)=\ln (x)g(x)=\backslash ln(x)$ und die innere Funktion ist die Funktion $h(x)=1+x^{2}h(x)=1+x²$

Es gilt also: $F(x)=g(h(x))F(x)=g(h(x))$

Berechne die einzelnen Ableitungen:

$g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}g\text{'}(x)=\backslash dfrac\{1\}\{x\}$ und $h^{\mathrm{\prime }}(x)=2xh\text{'}(x)=2x$

Setze in die Formel der Kettenregel ein: $F^{\mathrm{\prime }}(x)=g^{\mathrm{\prime }}(h(x))\cdot h^{\mathrm{\prime }}(x)F\text{'}(x)=g\text{'}(h(x))\backslash cdot\; h\text{'}(x)$

$F^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}\cdot 2x=2\cdot {\displaystyle \frac{x}{1+x^2}}=f(x)F\text{'}(x)=\backslash dfrac\{1\}\{1+x²\}\backslash cdot\; 2x=2\; \backslash cdot\; \backslash dfrac\{x\}\{1+x²\}=f(x)$

Antwort: Damit ist gezeigt, dass $F(x)=\ln (1+x^2)F(x)\; =\; \backslash ln(1+x²)$ eine Stammfunktion von $f(x)=2\cdot {\displaystyle \frac{x}{1+x^2}}f(x)\; =2\backslash cdot\; \backslash dfrac\{x\}\{1+x²\}$ ist.

Eine Stammfunktion zu ${\displaystyle \frac{3}{x}}\backslash dfrac\{3\}\{x\}$ ist $3\cdot \ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }3\backslash cdot\backslash ln|x|$und zu 1 gehört die Stammfunktion $xx$.

$\Rightarrow {\int }_1^e({\displaystyle \frac{3}{x}}-1)\mathrm{d}x={[3\cdot \ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-x]}_1^e\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ;\backslash int\_\{1\}^\{e\}\; \backslash left(\backslash dfrac\{3\}\{x\}-1\backslash right)\; \backslash mathrm\{d\}x=\backslash left[3\backslash cdot\backslash ln|x|-x\backslash right]\_\{1\}^\{e\}$

$=(3\cdot \underset{1}{\underbrace{\ln \mathrm{\mid }e\mathrm{\mid }}}-e)-(3\cdot \underset{0}{\underbrace{\ln \mathrm{\mid }1\mathrm{\mid }}}-1)=3-e+1=4-e=(3\backslash cdot\backslash underbrace\{\backslash ln|e|\}\_\{1\}-e)-(3\backslash cdot\; \backslash underbrace\{\backslash ln|1|\}\_\{0\}-1)=3-e+1=4-e$

Eine Stammfunktion zu $\sin (2x)\backslash sin(2x)$ ist $-\frac{1}{2}\cos (2x)-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cos(2x)$ und zu 1 gehört die Stammfunktion $xx$.

$\Rightarrow {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}(\sin (2x)+1)\mathrm{d}x={[-\frac{1}{2}\cos (2x)+x]}_0^{\frac{\pi }{4}}\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ;\backslash int\_\{0\}^\{\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}\}\; (\backslash sin(2x)+1)\; \backslash mathrm\{d\}x=\backslash left[-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cos(2x)+x\backslash right]\_\{0\}^\{\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}\}$

$=(-\frac{1}{2}\cdot \underset{0}{\underbrace{\cos (2\cdot \frac{\pi }{4})}}+\frac{\pi }{4})-(-\frac{1}{2}\cdot \underset{1}{\underbrace{\cos (2\cdot 0)}}+0)=(-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\backslash underbrace\{\backslash cos(2\backslash cdot\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\})\}\_\{0\}+\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\})-(-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\backslash underbrace\{\backslash cos(2\backslash cdot\; 0)\}\_\{1\}+0)$

$={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}=\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{4\}+\backslash dfrac\{1\}\{2\}$

Berechne die eingeschlossene Fläche in Abhängigkeit von $kk$.

$A(k)={\int }_k^4\left({\displaystyle \frac{4}{\sqrt{x}}}\right)\mathrm{d}x={[8\cdot \sqrt{x}]}_k^{4}A(k)=\backslash int\_\{k\}^\{4\}\; \backslash left(\backslash dfrac\{4\}\{\backslash sqrt\{x\}\}\backslash right)\; \backslash mathrm\{d\}x=\backslash left[8\backslash cdot\; \backslash sqrt\{x\}\backslash right]\_\{k\}^\{4\}$

$=(8\cdot \sqrt{4})-(8\cdot \sqrt{k})=16-8\cdot \sqrt{k}=(8\backslash cdot\; \backslash sqrt\{4\})-(8\backslash cdot\; \backslash sqrt\{k\})=16-8\backslash cdot\; \backslash sqrt\{k\}$

Berechne nun den Grenzwert von $A(k)A(k)$ für $k\to 0k\backslash rightarrow0$

$A={\lim }_{k\to 0}(16-8\cdot \sqrt{k})=16A=\backslash lim\_\{k\backslash rightarrow0\}(16-8\backslash cdot\; \backslash sqrt\{k\})=16$

Antwort: Die Fläche hat einen endlichen Flächeninhalt $A=16\text{FE}A=16\; \backslash ;\backslash text\{FE\}$.