Dazu ziehst du von der zweiten Zeile das Doppelte der ersten Zeile ab (II−2⋅I).
Anschließend ziehst du von der dritten Zeile das Vierfache der ersten Zeile ab (III−4⋅I).
Jetzt gibt es in deiner erweiterten Koeffizientenmatrix nur noch einen Eintrag unter der Diagonalen, der nicht null ist, in der Matrix ist ergru¨nmarkiert.
Damit auch in diesem Eintrag der Matrix eine null steht, addierst du nun zum minus Dreifachen der dritten Zeile das Fünffache der zweiten Zeile (−3⋅III+5⋅II).
Stellen Sie den Vektor v=14−57 als Linearkombination der drei Vektoren
a=013, b=−137und c=5−22dar.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearkombination
Du machst den Ansatz: v=r⋅a+s⋅b+t⋅c
14−57=r⋅013+s⋅−137+t⋅5−22
Um das Gaußverfahren anzuwenden, sollte in der erweiterten Koeffizientenmatrix an der ersten Stelle keine 0 stehen. Deshalb werden die Spalten 1 und 2 vertauscht.
−1370135−2214−57
Als ersten Schritt des Gaußverfahrens verwendest du jetzt das Additionsverfahren, um die beiden Einträge, die jetzt orange
Dazu addierst du zur zweiten Zeile das Dreifache der ersten Zeile (II+3⋅I).
Anschließend addierst du zur dritten Zeile das Siebenfache der ersten Zeile (III+7⋅I).
Jetzt gibt es in deiner erweiterten Koeffizientenmatrix nur noch einen Eintrag unter der Diagonalen, der nicht null ist, in der Matrix ist ergru¨nmarkiert.
Damit auch in diesem Eintrag der Matrix eine null steht, subtrahierst du das Dreifache der zweiten Zeile von der dritten Zeile (III−3⋅II).
Die Ebene E hat keinen Schnittpunkt mit der x1-Achse, d.h. die Ebenengleichung E hat unter Berücksichtigung der gegebenen Spurpunkte die Achsenabschnittsform:
E:−3x2+4x3=1⇒−4x2+3x3=12
Antwort: Die Gleichung der Ebene E lautet: −4x2+3x3=12
Wenn die beiden Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind, dann gilt g∥h:
ug=3−15und uh=−93−15⇒uh=(−3)⋅ug⇒g∥h
Der Aufpunkt der Geraden g liegt nicht auf der Geraden h, denn:
4−10=4−11+r⋅−93−15⇒00−1=r⋅−93−15
Die letzte Gleichung ist für kein r erfüllbar.
Antwort: Die beiden Geraden sind parallel, aber nicht identisch.
Lösung zu b)
Die gesuchte Ebene hat als Aufpunkt den Aufpunkt der Geraden g und als einen Richtungsvektor den Richtungsvektor der Geraden g. Einen zweiten Richtungsvektor der Ebene E erhältst du als Differenz der beiden Aufpunkte der Geraden g und h.