Es handelt sich bei $f(x)$ um eine verkettete Funktion.

Zerlege die Funktion $f(x)$, sodass die Kettenregel angewendet werden kann. Die äußere Funktion ist eine Potenzfunktion $g(x)=x^3$ und die innere Funktion ist die Funktion $h(x)=2-\cos (x)$.

Es gilt also: $f(x)=g(h(x))$

Berechne die einzelnen Ableitungen:

$g^{\prime }(x)=3\cdot x^2$ und $h^{\prime }(x)=\sin (x)$

Setze in die Formel der Kettenregel ein: $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x)$

Es handelt sich bei $f(x)$ um ein Produkt.

Bringe $f(x)$ in die Form $f(x)=u(x)\cdot v(x)$.

Dazu setzt du $u(x)=x^2-3$ und $v(x)=\sin (3x)$.

Die Ableitung von $u(x)$ lautet: $u^{\prime }(x)=2x$

Beachte, dass es sich bei $v(x)$ um eine verkettete Funktion handelt. Hier muss bei der Ableitung die Kettenregel beachtet werden.

Die äußere Funktion ist dabei $g(x)=\sin (x)$ und die innere Funktion ist die Funktion $h(x)=3x$. Es gilt also: $v(x)=g(h(x))$

Berechne die einzelnen Ableitungen:

$g^{\prime }(x)=\cos (x)$ und $h^{\prime }(x)=3$

Setze alles in die Formel der Kettenregel ein: $v^{\prime }(x)=g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x)$

$v^{\prime }(x)=\cos (3x)\cdot 3$

Setze nun alles in die Formel für die Produktregel ein:

$f^{\prime }(x)=(u(x)\cdot v(x){)}^{\prime }=u^{\prime }(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x)$

$f^{\prime }(x)=2x\cdot \sin (3x)+(x^2-3)\cdot \cos (3x)\cdot 3$

Anders sortiert:

Es handelt sich bei $f(x)$ um eine verkettete Funktion.

Zerlege die Funktion $f(x)$, sodass die Kettenregel angewendet werden kann. Die äußere Funktion ist eine Potenzfunktion $g(x)=x^3$ und die innere Funktion ist die Funktion $h(x)=3-e^{-2x}$.

Es gilt also: $f(x)=g(h(x))$

Berechne die einzelnen Ableitungen: $g^{\prime }(x)=3\cdot x^2$

Bei der Ableitung von $h(x)$ fällt die $3$ weg, sodass nur $h^{\ast }(x)=-e^{-2x}$ abgeleitet wird. Beachte, dass es sich dabei wieder um eine verkettete Funktion handelt. Hier muss bei der Ableitung ebenfalls wieder die Kettenregel beachtet werden.

Die äußere Funktion ist dabei $u(x)=-e^x$ und die innere Funktion ist die Funktion $v(x)=-2x$. Es gilt also: $h^{\ast }(x)=u(v(x))$

Berechne die einzelnen Ableitungen:

$u^{\prime }(x)=-e^x$ und $v^{\prime }(x)=-2$

Setze alles in die Formel der Kettenregel ein: $h^{\ast }(x{)}^{\prime }=u^{\prime }(v(x))\cdot v^{\prime }(x)$

$h^{\ast }(x{)}^{\prime }=-e^{-2x}\cdot (-2)=2\cdot e^{-2x}=h^{\prime }(x)$

Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein:

$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x)$

Es handelt sich bei $f(x)$ um ein Produkt.

Bringe $f(x)$ in die Form $f(x)=u(x)\cdot v(x)$.

Dazu setzt du $u(x)=x^4$ und $v(x)=e^{2x}+1$.

Die Ableitung von $u(x)$ lautet: $u^{\prime }(x)=4x^3$

Bei der Ableitung von $v(x)$ fällt die $1$ weg, sodass nur $v^{\ast }(x)=e^{2x}$ abgeleitet wird. Beachte, dass es sich dabei um eine verkettete Funktion handelt. Hier muss bei der Ableitung die Kettenregel beachtet werden.

Die äußere Funktion ist dabei $g(x)=e^x$ und die innere Funktion ist die Funktion $h(x)=2x$. Es gilt also: $v^{\ast }(x)=g(h(x))$

Berechne die einzelnen Ableitungen:

$g^{\prime }(x)=e^x$ und $h^{\prime }(x)=2$

Setze alles in die Formel der Kettenregel ein: $v^{\ast }(x{)}^{\prime }=g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x)$

$v^{\ast }(x{)}^{\prime }=e^{2x}\cdot 2=2\cdot e^{2x}=v^{\prime }(x)$

Setze nun alles in die Formel für die Produktregel ein:

$f^{\prime }(x)=(u(x)\cdot v(x){)}^{\prime }=u^{\prime }(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x)$

Es handelt sich bei $f(x)$ um eine Summe.

Leite nach der Summenregel die einzelnen Funktionsterme ab.

$f(x)=u(x)+v(x)\Rightarrow f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)+v^{\prime }(x)$

Setze dazu $u(x)=e^{-2x}$ und $v(x)=2\sqrt{x}=2\cdot x^{\frac{1}{2}}$

Beachte, dass es sich bei $u(x)$ um eine verkettete Funktion handelt. Hier muss bei der Ableitung die Kettenregel beachtet werden.

Die äußere Funktion ist dabei $g(x)=e^x$ und die innere Funktion ist die Funktion $h(x)=-2x$. Es gilt also: $u(x)=g(h(x))$

Berechne die einzelnen Ableitungen:

$g^{\prime }(x)=e^x$ und $h^{\prime }(x)=-2$

Setze alles in die Formel der Kettenregel ein: $u(x{)}^{\prime }=g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x)$

$u^{\prime }(x)=e^{-2x}\cdot (-2)=-2\cdot e^{-2x}$

Berechne nun die Ableitung von $v(x)$:

$v^{\prime }(x)=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x^{-\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$

Setze die berechneten Ableitungen ein: $f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)+v^{\prime }(x)$

Es handelt sich bei $f(x)$ um ein Produkt.

Bringe $f(x)$ in die Form $f(x)=u(x)\cdot v(x)$.

Dazu setzt du $u(x)=e^{-3x}$ und $v(x)=x^2+1$.

Beachte, dass es sich bei $u(x)$ um eine verkettete Funktion handelt. Hier muss bei der Ableitung die Kettenregel beachtet werden.

Die äußere Funktion ist dabei $g(x)=e^x$ und die innere Funktion ist die Funktion $h(x)=-3x$. Es gilt also: $u(x)=g(h(x))$

Berechne die einzelnen Ableitungen:

$g^{\prime }(x)=e^x$ und $h^{\prime }(x)=-3$

Setze alles in die Formel der Kettenregel ein: $u^{\prime }(x)=g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x)$

$u^{\prime }(x)=e^{-3x}\cdot (-3)=-3\cdot e^{-3x}$

Die Ableitung von $v(x)$ lautet: $v^{\prime }(x)=2x$

Setze nun alles in die Formel für die Produktregel ein:

$f^{\prime }(x)=(u(x)\cdot v(x){)}^{\prime }=u^{\prime }(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x)$

$f^{\prime }(x)=-3\cdot e^{-3x}\cdot (x^2+1)+e^{-3x}\cdot 2x$

Vereinfacht: