Es handelt sich bei $f(x)$ um eine verkettete Funktion.

Zerlege die Funktion $f(x)$, sodass die Kettenregel angewendet werden kann. Die äußere Funktion ist eine Potenzfunktion $g(x)=x^3$ und die innere Funktion ist die Funktion $h(x)=2-\cos(x)$.

Es gilt also: $f(x)=g(h(x))$

Berechne die einzelnen Ableitungen:

$g'(x)=3\cdot x^2$ und $h'(x)=\sin(x)$

Setze in die Formel der Kettenregel ein: $f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$

Es handelt sich bei $f(x)$ um ein Produkt.

Bringe $f(x)$ in die Form $f(x)=u(x)\cdot v(x)$.

Dazu setzt du $u(x)=x^2-3$ und $v(x)=\sin(3x)$.

Die Ableitung von $u(x)$ lautet: $u'(x)=2x$

Beachte, dass es sich bei $v(x)$ um eine verkettete Funktion handelt. Hier muss bei der Ableitung die Kettenregel beachtet werden.

Die äußere Funktion ist dabei $g(x)=\sin(x)$ und die innere Funktion ist die Funktion $h(x)=3x$. Es gilt also: $v(x)=g(h(x))$

Berechne die einzelnen Ableitungen:

$g'(x)=\cos(x)$ und $h'(x)=3$

Setze alles in die Formel der Kettenregel ein: $v'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$

$v'(x)=\cos(3x) \cdot 3$

Setze nun alles in die Formel für die Produktregel ein:

$f'(x)=(u(x)⋅v(x))'=u'(x)⋅v(x)+u(x)⋅v'(x)$

$f'(x)=2x\cdot \sin(3x)+(x^2-3) \cdot \cos(3x) \cdot 3$

Anders sortiert:

Es handelt sich bei $f(x)$ um eine verkettete Funktion.

Zerlege die Funktion $f(x)$, sodass die Kettenregel angewendet werden kann. Die äußere Funktion ist eine Potenzfunktion $g(x)=x^3$ und die innere Funktion ist die Funktion $h(x)=3-e^{-2x}$.

Es gilt also: $f(x)=g(h(x))$

Berechne die einzelnen Ableitungen: $g'(x)=3\cdot x^2$

Bei der Ableitung von $h(x)$ fällt die $3$ weg, sodass nur $h^*(x)=- e^{-2x}$ abgeleitet wird. Beachte, dass es sich dabei wieder um eine verkettete Funktion handelt. Hier muss bei der Ableitung ebenfalls wieder die Kettenregel beachtet werden.

Die äußere Funktion ist dabei $u(x)=-e^x$ und die innere Funktion ist die Funktion $v(x)=-2x$. Es gilt also: $h^*(x)=u(v(x))$

Berechne die einzelnen Ableitungen:

$u'(x)=-e^x$ und $v'(x)=-2$

Setze alles in die Formel der Kettenregel ein: $h^*(x)'=u'(v(x))\cdot v'(x)$

$h^*(x)'=-e^{-2x} \cdot (-2)=2 \cdot e^{-2x}=h'(x)$

Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein:

$f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$

Es handelt sich bei $f(x)$ um ein Produkt.

Bringe $f(x)$ in die Form $f(x)=u(x)\cdot v(x)$.

Dazu setzt du $u(x)=x^4$ und $v(x)=e^{2x}+1$.

Die Ableitung von $u(x)$ lautet: $u'(x)=4x^3$

Bei der Ableitung von $v(x)$ fällt die $1$ weg, sodass nur $v^*(x)= e^{2x}$ abgeleitet wird. Beachte, dass es sich dabei um eine verkettete Funktion handelt. Hier muss bei der Ableitung die Kettenregel beachtet werden.

Die äußere Funktion ist dabei $g(x)=e^x$ und die innere Funktion ist die Funktion $h(x)=2x$. Es gilt also: $v^*(x)=g(h(x))$

Berechne die einzelnen Ableitungen:

$g'(x)=e^x$ und $h'(x)=2$

Setze alles in die Formel der Kettenregel ein: $v^*(x)'=g'(h(x))\cdot h'(x)$

$v^*(x)'=e^{2x} \cdot 2=2\cdot e^{2x}= v'(x)$

Setze nun alles in die Formel für die Produktregel ein:

$f'(x)=(u(x)⋅v(x))'=u'(x)⋅v(x)+u(x)⋅v'(x)$

Es handelt sich bei $f(x)$ um eine Summe.

Leite nach der Summenregel die einzelnen Funktionsterme ab.

$f(x)=u(x)+v(x)\; \Rightarrow\; f'(x)=u'(x)+v'(x)$

Setze dazu $u(x)=e^{-2x}$ und $v(x)=2\sqrt{x}=2\cdot x^\frac{1}{2}$

Beachte, dass es sich bei $u(x)$ um eine verkettete Funktion handelt. Hier muss bei der Ableitung die Kettenregel beachtet werden.

Die äußere Funktion ist dabei $g(x)=e^x$ und die innere Funktion ist die Funktion $h(x)=-2x$. Es gilt also: $u(x)=g(h(x))$

Berechne die einzelnen Ableitungen:

$g'(x)=e^x$ und $h'(x)=-2$

Setze alles in die Formel der Kettenregel ein: $u(x)'=g'(h(x))\cdot h'(x)$

$u'(x)=e^{-2x} \cdot (-2)=-2\cdot e^{-2x}$

Berechne nun die Ableitung von $v(x)$:

$v'(x)=2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$

Setze die berechneten Ableitungen ein: $f'(x)=u'(x)+v'(x)$

Es handelt sich bei $f(x)$ um ein Produkt.

Bringe $f(x)$ in die Form $f(x)=u(x)\cdot v(x)$.

Dazu setzt du $u(x)= e^{-3x}$ und $v(x)=x^2+1$.

Beachte, dass es sich bei $u(x)$ um eine verkettete Funktion handelt. Hier muss bei der Ableitung die Kettenregel beachtet werden.

Die äußere Funktion ist dabei $g(x)=e^x$ und die innere Funktion ist die Funktion $h(x)=-3x$. Es gilt also: $u(x)=g(h(x))$

Berechne die einzelnen Ableitungen:

$g'(x)=e^x$ und $h'(x)=-3$

Setze alles in die Formel der Kettenregel ein: $u'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$

$u'(x)=e^{-3x} \cdot (-3)=-3\cdot e^{-3x}$

Die Ableitung von $v(x)$ lautet: $v'(x)=2x$

Setze nun alles in die Formel für die Produktregel ein:

$f'(x)=(u(x)⋅v(x))'=u'(x)⋅v(x)+u(x)⋅v'(x)$

$f'(x)=-3\cdot e^{-3x} \cdot(x^2+1)+ e^{-3x}\cdot 2x$

Vereinfacht: